Félszögképletek
2. példa: Az átlaghőmérséklet változása Alaszkában
Az alaszkai távvezetéket szigetelés védi a külső hőmérsékleti változásoktól. A szigetelés tervezésekor a mérnököknek szükségük volt az átlaghőmérséklet éves ingadozását jelző adatokra. Az adatok ábrázolásához általános szinuszfüggvényt használtak, amelynek alakja:
ahol az amplitúdó, a periódus,C a horizontális,D pedig a vertikális eltolás (1.76. ábra).
1.76. ábra. Az általános szinuszgörbe; esetünkben az állandók mindegyike pozitív
1.77. ábra. A levegő átlaghőmérséklete Fairbanksben (Alaszka).
A pontokkal jelzett mérési adatokra legjobban illeszkedő általános szinuszfüggvény:
A 1.77. ábrán azt tanulmányozhatjuk, hogyan használhatjuk az általános szinuszfüggvényt a gyakorlatban. A 1.77. ábrán pontok jelölik a Fairbanksben mért napi átlaghőmérsékletet
Fahrenheit-fokban, amelyet a Nemzeti Meteorlógiai Szolgálat 1941 és 1970 között mért adataiból számoltak ki. Az adatokra legjobban illeszkedő általános szinuszfüggvény az
függvény, amely meglehetős pontossággal megadja az év x-edik napjának (Fahrenheit-fokban mért) átlagos hőmérsékletét. A legjobban illeszkedő függvényt a szinuszos regresszió módszerével keresték meg, a módszerről a következő fejezetben részletesebben is szót ejtünk.
6.7. 1.6. Feladatok
6.7.1. Radiánok és fokok
1. Milyen hosszú ív tartozik egy 10 méter sugarú körben egy (a) rad, illetve egy (b) 110° nagyságú középponti szöghöz?
2. Mekkora egy 8 egység sugarú kör hosszúságú ívéhez tartozó középponti szög? Adjuk meg a szög nagyságát radiánban és fokokban is.
3. 12 cm átmérőjű korongban 80° nagyságú középponti
szöget akarunk berajzolni. Adjuk meg tized centiméter pontossággal a megfelelő ív hosszát.
4. Sík terepen 30 centiméternyivel hajtunk előre egy 1 méter átmérőjű kereket. Mekkora szöggel fordul el közben a kerék? Adjuk meg a szög nagyságát radiánban (tized pontossággal) és fokokban (egy fok pontossággal) is.
6.7.2. Trigonometrikus függvények értékének kiszámítása
5. Töltsük ki a táblázatot. Jelezzük, ahol a szóban forgó függvényérték nem létezik. Ne használjunk számológépet.
θ 0
6. Töltsük ki a táblázatot. Jelezzük, ahol a szóban forgó függvényérték nem létezik. Ne használjunk számológépet.
θ
A következő feladatokban a , a és a értékek közül az egyiket megadtuk. Állapítsuk meg a másik kettő pontos értékét abban az esetben, amikor x a megadott intervallumba esik.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
6.7.3. Trigonometrikus függvények grafikonjának ábrázolása
Ábrázoljuk a megadott függvényeket, mindegyiknek állapítsuk meg a periódusát.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Ábrázoljuk a függvényeket a -síkon (t a vízszintes, s a függőleges tengely). Állapítsuk meg a függvények periódusát; milyen szimmetriatulajdonságai vannak a grafikonoknak? (23–26. feladatok.)
23.
összefüggés van a két függvény értékeinek nagysága és előjele között?
2. Ábrázoljuk az és a függvényt a intervallumon. Milyen összefüggés van a két függvény értékeinek nagysága és előjele között?
28. Ábrázoljuk az és a függvényt a intervallumon. Milyen összefüggés van a két függvény értékeinek nagysága és előjele között?
29. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az és az függvényt. Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát és értékkészletét.
30. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az és az függvényt. Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát és értékkészletét.
6.7.4. További trigonometriai összefüggések
Az összegezési képleteket felhasználva bizonyítsuk be az alábbi összefüggéseket (31–36. feladatok).
3.
eredmény azzal, amit már korábban is tudtunk?
10. Mit mondanak a esetben az összegezési képletek? Olyasmit talán, amit már korábban is tudtunk?
6.7.5. Az összegezési képletek alkalmazása
Fejezzük ki a megadott kifejezéseket és segítéségével (39–42. feladatok).
11.
12.
13.
14.
15. Határozzuk meg értékét kifejtésével.
16. Határozzuk meg értékét kifejtésével.
17. Számoljuk ki pontos értékét.
18. Számoljuk ki pontos értékét.
6.7.6. A kétszeres szögekre vonatkozó képletek alkalmazása
Határozzuk meg a kifejezések pontos értékét (47–50. feladatok).
19.
20.
21.
22.
6.7.7. További példák és feladatok
23. Két szög összegének tangensét az alábbi képlet adja meg:
Igazoljuk az összefüggést.
24. (Az előző folytatása.) Vezessük le a -re vonatkozó összefüggést.
25. Vezessük le a -re vonatkozó képletet az ábrán feltüntetett háromszög leghosszabb oldalára felírt koszinusztétel alapján.
26.
1. Alkalmazzuk a -re kapott formulát a összefüggésre, és vezessük le a
29. A szinusztétel. A szinusztétel szerint amennyiben egy háromszög a, b és c oldalával szemben rendre A, B és C nagyságú szög helyezkedik el, akkor
Bizonyítsuk be a tételt. Használjuk az ábrát és ha szükséges, a összefüggést.
30. Egy háromszögben , és (mint a 55. feladatban). Számítsuk ki a B szög nagyságát.
31. Mekkora annak a háromszögnek az a oldala, amelyben , az a és b oldallal szemközti szögek pedig rendre és nagyságúak?
32. A közelítés. Jó tudni, hogy ha az x szög nagyságát radiánban adjuk meg, akkor megfelelően kicsi x értékek esetén . (A 3.8. alfejezetben kiderül, miért érvényes ez a közelítés.) Ha , akkor a közelítés hibája kisebb x értékének -ed részénél.
1. Vizsgáljuk meg számítógéppel – rad állásban – az és az függvény grafikonját az origó közelében. Mit tapasztalunk akkor, amikor x értéke egyre kisebb?
2. Vizsgáljuk meg számítógéppel – deg állásban – az és az függvény grafikonját az origó közelében. Különbözik-e az ábra az előzőtől?
3. Könnyen megállapíthatjuk, hogy számológépünk rad üzemmódban van-e, ha egy megfelelően kicsi számot – például 0.1-et – beírva benyomjuk a gombot. Ha azt találjuk, hogy az output közelítőleg egyenlő az inputtal, a számológép radiánban számol, ha nem, akkor valamilyen más egységben. Próbáljuk ki.
6.7.8. Általános szinuszgörbék
Az alábbi függvények az
általános szinuszgörbe speciális esetei; állapítsuk meg az A, B, C, D állandók értékét (61–64. feladatok).
4.
5.
6.
7.
8. A fairbanksi (Alaszka) átlaghőmérséklet. Határozzuk meg az alábbi általános szinuszfüggvényben (a) az amplitúdó, (b) a periódus, (c) a horizontális és (d) a vertikális eltolás nagyságát:
9. A fairbanksi (Alaszka) átlaghőmérséklet. Az előző feladat képlete alapján adjunk közelítőleg pontos választ az alábbi kérdésekre (tegyük fel, hogy az év 365 napból áll; l. még a 1.77. ábrát is).
a. Mennyi a legmagasabb és a legalacsonyabb napi átlaghőmérséklet?
b. Menyi a legmagasabb és a legalacsonyabb napi átlaghőmérséklet átlaga? Miért egyezik meg ez az átlag a vertikális eltolás nagyságával?
6.7.9. Általános szinuszgörbe ábrázolása
A 67–70. feladatokban az
általános szinuszgörbe grafikonját vizsgáljuk az A, B, C, D állandók különböző értékei mellett. A megoldáshoz használhatunk számítógépet is.
3. A B periódus. Legyen , .
a. Vázoljuk az függvény grafikonját a intervallumon a értékekkel. Mi történik a grafikonnal, ha a periódus nő?
b. Mi történik a grafikonnal, ha B-nek negatív értékeket adunk? Próbáljuk ki a és a eseteket.
4. A C horizontális eltolás. Legyen , és .
a. Vázoljuk az függvény grafikonját a intervallumon a értékekkel. Mi történik grafikonjával, ha C-nek egyre nagyobb pozitív értékeket adunk?
b. Mi történik a grafikonnal, ha C-nek negatív értékeket adunk?
c. Melyik az a legkisebb pozitív érték, amelyet C helyébe írva a grafikonon nem észlelhető a horizontális eltolás? Ellenőrizzük válaszunkat néhány függvényérték kiszámításával.
5. A D vertikális eltolás.
Legyen , és .
a. Vázoljuk az függvény grafikonját a intervallumon a értékek esetén. Mi történik grafikonjával, ha D-nek egyre nagyobb pozitív értékeket adunk?
b. Mi történik a grafikonnal, ha D-nek negatív értékeket adunk?
6. Az A amplitúdó.
Legyen , .
a. Mi történik az általános szinuszfüggvény grafikonjával, ha az A amplitúdónak egyre nagyobb pozitív értékeket adunk? Illusztráljuk válaszunkat az értékekkel.
b. Mi történik a grafikonnal, ha A-nak negatív értékeket adunk?
7. 1.7. Grafikus módszerek
Számítógép vagy újabb típusú számológép segítségével a legbonyolultabb függvények grafikonját is nagy pontossággal ábrázolhatjuk. Sok olyan függvény van, amelynek grafikus megjelenítése más módon különösen nehéz feladat lenne. Ebben az alfejezetben a függvényábrázoló programok és számológépek hatékony használatához szükséges ismereteket tárgyaljuk. A 4. fejezetben majd kiderül, hogyan bizonyosodhatunk meg arról, hogy a grafikus módszer nem vezetett félre bennünket.
7.1. A megfelelő ablakméret
Amikor egy függvényábrázoló programot vagy függvénygrafikon megjelenítésére is alkalmas számológépet használunk, maga a grafikon egy erre szolgáló ablakban jelenik meg. A default (alapértelmezésben adott) ablak gyakran hiányos, esetenként egyenesen félrevezető képet ad a vizsgált függvényről. Az ablakot négyzetesnek nevezzük, ha a vízszintes és a függőleges tengelyen ugyanazt a skálát alkalmazza. A kifejezés tehát nem az ablak alakjára utal – ez általában téglalap –, hanem csupán arra, hogy az x-egységek ugyanolyan hosszúak, mint az y-egységek.
Egy függvény grafikonjának ábrázolásakor a x-skála nem feltétlenül egyezik meg az y-skálával. Az ablak kijelölése azt jelenti, hogy a program rögzít két és intervallumot, ezzel megadja az méretű ablakot, amelyben tehát a függő és független változók összetartozó értékeiből alkotott pontok csak akkor jelenhetnek meg, ha mindkét kordinátájuk a megfelelő intervallumba esik. Ezután az intervallumban egyenlő eloszlásban meghatározza az ábrázolandó pontok x-koordinátáit. Az első kijelölt x számnál először ellenőrzi, hogy eleme-e x a függvény értelmezési tartományának. Ha igen, és a hozzá tartozó függvényérték ráadásul a intervallumba esik, akkor az ablak koordináta-rendszerében feltűnik az
pont. Amennyiben a szóban forgó x nem eleme az értelmezési tartománynak, vagy a hozzá tartozó függvényérték nem esik bele a intervallumba, a program az intervallum soron következő számával folytatja. Végeredményben általában elég sok összetartozó pont bekerül az ablakba. A szomszédos pontokat a gép – rövid kis egyenes szakaszokkal, ahogy papíron és ceruzával mi is tennénk – összeköti, aminek eredményeként a kapott grafikon többnyire folytonos görbe benyomását kelti. Az eljárás azonban nem mindig vezet megfelelő eredményhez, amint azt a következő példák is mutatják.