9.1. Mit mond ki a Black-Scholes egyenlet, mire vonatkozik a Black-Scholes képlet? Milyen esetben érvényes a BS egyenlet és a BS képlet? Melyek a BS modell feltételei?
Megoldás:
BS egyenlet:theta + (r · S) ·delta + 0,5 · (2· S2) · gamma = r · f BS képlet: osztalékot nem fizető, európai típusú opciókra vonatkozik c = S · N(d1) - PV(K) · N(d2)
d1 = ln(S/PV(K)) / · T0,5 + · T0,5/2 d2 = d1 -· T0,5
BS modell:
- A részvényárfolyam geometrikus Brown mozgást követ (fix volatilitás).
- Nincs adó, tranzakciós ktg.
- Értékpapírok tökéletesen oszthatók, folyamatosan kereskedhetők, van shortolás.
- Hozamgörbe vízszintes, nem változik időben.
- Hitelt lehet felvenni és betétet lehet elhelyezni a kockázatmentes hozam mellett.
- Nincs arbitrázs
9.2. A Black-Scholes-Merton modell feltevései közül mutasson hármat, amelyik általában a valós piacokon nem teljesül!
Megoldás:
A tranzakciós költség és adó gyakran nem teljesül, de a GBM is eléggé erős feltevés, meg azért a hozamok is tudnak meglepetéseket okozni….
9.3. A Black-Scholes-Merton opcióárazó modell feltételezései közül mutasson 3 olyat, amelyiknek nemteljesülése feltehetően komoly problémát okoz a valóságban és egyet, amelyiknek a nemteljesülése még viszonylag könnyen kezelhető!
Megoldás:
A dinamikus fedezés során komoly problémát okoznak, ha ezek nem teljesülnek:
- az alaptermék „nagyon” nem GBM-et követ, pl a volatilitás nagyon váltakozik az egyes időszakokban
- risk free görbe eleve nem vízszintes és nem determinisztikusan változik - ha egyes időszakokban nem lehet shortolni
- ha nagyon nagy a tranzakciók fix költsége (ticket cost) Kevésbé komoly, kiküszöbölhető problémék:
- arbitrázsmentesség nemteljesülése végülis nem gond, ekkor arbitrálunk - értékpapírok oszthatósága nem gond, picike kis maradék kockázat nem zavaró. Pl ha mindig van +/-0,5 darab részvénypozíciónk, azon azért nem fogunk sokat bukni. Eleve nem centiznénk ki minden pillanatban a delta-fedezést, kell valamennyi delta-tűréshatár, hogy lehetőleg ne legyen extrém nagy számú üzletkötés.
- ha a hozamgörbe nem vízszintes, de állandó, vagy determinisztikusan változik az kiküszöbölhető
- ha hitelt és betétet nem ugyanazon a szinten lehet felvenni, az kiküszöbölhető, hasonlóan a forward-hoz: midngi el tudom dönteni, hogy melyik kamattal számoljak.
9.4. Egy részvény árfolyama geometrikus Brown mozgást követ. Ebből következik, hogy:
a) a részvény piaca gyengén hatékony, b) a részvény piaca közepesen hatékony, c) a részvény árfolyama nem lehet negatív, d) a részvény hozama nem lehet negatív,
e) a részvény T időpontbeli árfolyama lognormális eloszlást követ, f) a részényre szóló opció értéke Ito-folyamatot követ.
g) a részvény loghozamok normális eloszlású valószínűségi változók, bármely időtávra?
h) a részvény napi hozamai függetlenek?
i) a részvényárfolyam általánosított Wiener folyamatot követ?
j) a részvényárfolyam Ito-folyamatot követ?
k) a részvényre szóló európai call opció napi hozamai függetlenek?
l) a részvényre szóló európai call opció értéke Ito-folyamatot követ?
Megoldás:
a) igen b) nem c) igen d) nem e) igen f) igen g) igen h) igen i) nem j) igen
131 k) igen
l) igen
9.5. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló, K=100 kötési árfolyamú európai call opcióból visszaszámított implicit volatilitás 20%, míg egy ugyanerre a termékre szóló, K=150 kötési árfolyamú európai call opcióból visszaszámított implicit volatilitás 22%. Arbitrázs- vagy spekulációs lehetőség ez a Black-Scholes modell feltételein belül, illetve a valóságban? Válaszát indokolja!
Megoldás:
Black-Scholes modell feltételein belül: arbitrázs /a második opció túl van árazva/
Valóságban: spekuláció (sztochasztikus volatilitás és kamatláb, a dinamikus fedezést nem lehet folytonosan csinálni). Nem teljesül a konstans volatilitás a valóságban, helyette a ’volatilitás-mosoly’
figyelhető meg.
9.6. Milyen arbitrázsra van lehetőség (statikus-dinamikus), illetve fix vagy változó nagyságú nyereséget lehet realizálni az alábbi esetekben, ha fennállnak a BS-modell feltételei?
a) Sérül egy európai call opció alsó korlátja.
b) Nem áll fenn a Boksz-ügylet.
c) Nem áll fenn a BS-egyenlet.
d) Osztalékot nem fizető részvényre szóló, azonos lejáratú és azonos kötési árfolyamú európai és amerikai put opció ára megegyezik.
Megoldás:
a) statikus, változó b) statikus, fix c) dinamikus, fix
d) dinamikus, változó (dinamikus, mert menet közben figyelni kell és alkalomadtán lehívni az amerikai putot)
9.7. Egy részvényre szóló európai vételi (call) opció lejárata 1 év, lehívási árfolyama 100. Az alaptermék árfolyama jelenleg 110, volatilitása 20%, és a kockázatmentes logkamatláb évi 12% minden lejáratra. (Az alaptermék tartásából sem bevétel, sem kiadás nem származik az opció futamideje alatt.)
a) Mennyit ér az opció a Black-Scholes feltételek mellett?
b) Bontsa fel az opció értékét belső értékre, kamatértékre és görbületi értékre!
Megoldás:
a) S/PV(K) =110/100*e-0,12 = 0,9756
∙t0,5=0,2
Call = 0,212*110 = 23,32
b) belső érték= S - K =10
kamatérték= S - PV(K) - belső érték = 110 - 88,69 – 10 =11,31 görbületi érték=opció értéke-belső érték-kamatérték=2,01
9.8. Ha P1=0.9, T=1, S=100 Ft, =20% továbbá az alaptermék egy osztalékot nem fizet a részvény
a) Mennyit ér egy K=110 európai eladási jog Black-Scholes képlet szerint?
b) Bontsa fel a put opció értékét belső értékre, kamatértékre és görbületi értékre!
Megoldás:
a) S/PV(K) =100/110*0,9= 1,01
∙t0,5=0,2
Call = 0,084*100 = 8,4 Put= c + PV(K) - S =7,4
b) Belső érték= K – S=110-100 = 10 Kamatérték=-10
Görbületi érték=+7,4
9.9. Egy osztalékot nem fizető részvényre szóló, K=500 kötési árfolyamú, T=1 év futamidejű európai put opció pontosan kétszer annyit ér mint egy ugyanilyen call opció. A kockázatmentes effektív hozam r=25%, a részvény prompt árfolyama S=360. Mennyit érnek az opciók? Adóktól, partnerkockázattól és tranzakciós költségektől tekintsünk el! Mekkora a call opció implicit volatilitása az előző feladatban a Black-Scholes képlet alapján? Használja a BS-táblázatot!
Megoldás:
p=2c
put-call paritás alapján:
c – p + PV(K) = S
c – 2c + 400 = 360 ebből c = 40 és p=80 c/S=40/360=11,11%
S/PK=360/400=0,9 Táblázatból: σ ≈ 40%
133
9.10. Egy részvény félév múlva 20 Ft osztalékot fizet, prompt árfolyama 100 Ft. A kockázatmentes loghozam minden lejáratra 10%, a részvény indexmodell szerint számított várható hozama 20%, és volatilitása is 20%.
Mennyit ér a fenti értékpapírra szóló egy év lejáratú európai call opció, amelyet K=100 Ft-ra kötöttek?
Megoldás:
Alaptermék most nem a prompt árfolyam, hanem a korrigált prompt árfolyam:
S’ = S-P*DIV = 100-20·exp(-0,5·0,1) = 80,98 Használjuk a BS táblázatot:
∙t0,5=0,2
S’/PK=80,98/(100·exp(-0,1))= 80,98/90,48=0,9 c=80,98·4%=3,24 Ft
BS képlettel számolva 3,10 Ft jön ki (az eltérést a kerekítés alkalmazása okozza).
9.11. A dollár/euro árfolyam geometrikus Brown mozgást követ és paraméterek mellett. Vezesse le, hogy milyen folyamatot követ az euro/dollár árfolyam, milyen paraméterekkel?
Megoldás:
dS=mű·S·dt+∙S·dz
G=1/S delta= -1/S2 gamma= 2/S3 theta=0 dG= (-1/S·mű + 1/S·2)·dt-(1/S∙)·dz Ito-folyamat Nehezebb feladatok
9.12. Tegyük fel, hogy egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama geometrikus Brown mozgást követ „μ” és „σ” paraméterek mellett. A kockázatmentes loghozamgörbe adott „r” pozitív szinten vízszintes. Egy futures kontraktus 100 részvényről szól. Vezesse le, hogy milyen folyamatot követ a részvényre szóló 1 kontraktusnyi long futures pozíció!
Megoldás:
Itô -lemma képlete:
𝑑𝑔 = (𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜇𝑆 +𝜕𝑔
𝜕𝑡 +1 2
𝜕2𝑔
𝜕𝑆2𝜎2𝑆2) 𝑑𝑡 +𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜎𝑆𝑑𝑊 Q=1
P=exp(-r*(T-t))
g(S) = 100*futures =100*(F – K) = 100*(QS/P –K) = 100*S/P – 100*K
= 100*S*exp(r*(T-t)) – 100*K
delta= 100*exp(r*(T-t)) = 100/P; Gamma=0; Theta= -r *100*
S*exp(r(T-t))= -100*rS/P
d_long_futures_kontraktus=(100*1/P*mű*S– 100*rS/P + 0)dt + 100*1/P*szigma*S*dW, ez is Ito-folyamat.
9.13. Egy osztalékot nem fizető részvény azonnali árfolyama S dollár. A részvény geometrikus Brown mozgást követ μ és σ paraméterek mellett.
Egy bank egy speciális certifikát kibocsátását tervezi. A certifikát egyetlen lényeges tulajdonsága, hogy azt a bank bármelyik banki napon S2 dollár árfolyamon visszavásárolja. Vezesse le, milyen folyamatot követ a certifikát árfolyama!
Megoldás:
Fel kell ismerni a mese mögött, hogy ez egy Itô – lemma típusú feladat, ahol f=S^2 a függvény. Delta= 2S; Gamma=2; Theta=0 Ezután csak össze kell rakni az Ito-t:
𝑑𝑔 = (𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜇𝑆 +𝜕𝑔
𝜕𝑡 +1 2
𝜕2𝑔
𝜕𝑆2𝜎2𝑆2) 𝑑𝑡 +𝜕𝑔
𝜕𝑆𝜎𝑆𝑑𝑊 df= (2S*mű*S+0+1/2*2*szigma^2*S^2)dt +2S*szigma*S*dW df=((2mű+szigma^2)*S^2)dt+2*szigma*S^2*dW
esetleg az S^2 helyére még be lehetne írni az f-et, de már így is látszik, hogy Ito-folyamat marad és a paraméterei is leolvahatóak
9.12. Az S&P500 futures kontraktus az indexérték 250-szereséről, az S&P500 mini futures pedig az indexérték 50-szereséről szól. Feltéve, hogy az S&P500 futures árfolyama geometrikus Brown mozgást követ μ és σ paraméterek mellett, vezesse le, hogy milyen folyamatot követ az S&P500 mini futures árfolyama!
Megoldás:
Ez egy Itô – lemma típusú feladat, ahol f=1/5*S a transzformált függvény, ami elég egyszerűen deriválható:
Delta= 1/5; Gamma=0; Theta=0
Ezután csak össze kell rakni az Ito-t a képlet alapján.
135
Ez Ito-folyamat, ráadásul most még GBM is, sőt lényegében ugyanaz, mint az előző GBM „ötöde”, az 1/5-ödös szorzó kiemelhető.
9.13. Feltéve, hogy az EURHUF árfolyam geometrikus Brown-mozgást követ és paraméterek mellett, vezesse le, hogy milyen folyamatot követ annak az ötezer forintos bankjegynek az értéke euróban kifejezve, amelyet egy turista elfelejtett a repülőtéren visszaváltani!
Megoldás:
S = USDHUF
g(S) = 5000/S, innen Ito-lemmával megoldható
Delta= -5000/(S^2) Gamma = 10000 / (S^3) Theta = 0
Ezután csak össze kell rakni az Ito-t a képlet alapján.
𝑑𝑔 = (𝜕𝑔 dg= (-5000*mű/S + ½* 10000/S*szigma^2)dt – 5000/S *szigma*dW dg= (-5000*mű/S + 5000*(szigma^2)/S)dt – 5000/S *szigma*dW Ez Ito-folyamat, ami nem meglepő, hiszen az Ito-lemma pont erről szól.
9.14. Egy befektetési alap az Exxon részvények opciós piacán 500 kontraktus 85-ös európai put opciót vásárolt, melyek lejárata 6 hónap. Egy kontraktus 100 részvényről szól (multiplier = 100x). Az Exxon részvény azonnali árfolyama 90,65 dollár, volatilitása 32,50%, a kockázatmentes dollár hozam olyan alacsony, hogy a számítás során tekintsük nullának.
Az opció lejáratáig az Exxon 2 alkalommal is fizetni fog 70 cent osztalékot. Mennyit fizetett az alap összesen az opciókért?
Megoldás:
BSM-táblázatból kikereshető, de figyelni kell, hogy most egyrészt van osztalék, másrészt put opció kell, a BSM tábla pedig call-ra jó
A (QS)=S*=90,65-0,7-0,7=89,25
P=1, mert a dollár hozam nullának tekinthető.
táblázat oszlopa: (QS)/(PK) = 89,25/85 = 1,05 táblázat sora (0,5)^(0,5)*0,325=0,2298 = kb 0,23
táblaérték: 11,50, ez a QS százalékáan értendő, vagyis 11,50%*89,25=10,26375 dollár, node ez még csak a call opció értéke! A put opcióhoz kell a put-call paritás:
fwd=call-put, vagyis QS-PK=call-put innen:
89,25-85=10,26375-put
put=6,01375 dollárba kerül 1 darab put opció, node az alap 500 x 100 = 50000 névértékben vásárolt, így összesen 300.687,50 dollárt fizetett.
137