11.1. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 100 Ft, amely évente vagy megduplázódik vagy a felére csökken. Az állampapír-piaci (effektív) hozamgörbe 10%.
a) Mennyit ér egy 2 év futamidejű, amerikai típusú, K=200-as kötési árfolyamú put opció?
b) Milyen értékeket vehet fel a fenti put opció deltája a futamidő alatt?
Megoldás: árfolyama 200Ft. A kockázatmentes loghozam minden lejáratra 12%.
Mennyit ér az opció?
151 Részvény
T=0 t=0,5 T=1 312,5 250
200 200 160
128 Amerikai put opció
T=0 t=0,5 T=1 0 19,69
50 50
90
122
p=50. Az amerikai opciót T=0 pillanatban rögtön érdemes lehívni, mert belső értéke 50, ami magasabb, mint 46,23
11.3. Egy osztalékot nem fizető részvény árfolyama ma 1200, ami egy év alatt vagy megduplázódik, vagy a felére csökken, a kockázatmentes hozam 25%.
a) Mennyit ér egy a részvényre szóló, két éves ATM amerikai put opció?
b) Írja pontosan, hogy mit tesz, ha a feladatban szereplő opciót 300-ért lehet adni-venni! Mennyi részvénye és betéte/hitele lesz az egyes csomópontokban?
Megoldás:
a) q=(1,25-0,5)/(2-0,5)=0,5 Részvény
1200 2400 4800
600 1200
300 Opció:
240 0 0
600 (360) 0 900 900 · 0,5 / 1,25=360
ha az árfolyam lefelé mozdul el, már az első évben lehívja az opció
b) Eladom az opciót és szintetikusan előállítja részvény-eladással és betéttel.
Delta0=-600 / (2400 - 600) = -1/3 SP+deltaSU+betét
1 t=0 t=1 (fel) t=1(le)
SP +300 0 -600
SU (-1/3) +400 -800 -200
Betét -700 +875 +875
Arbitrázsprofit 0 +75 +75
11.4. Egy részvény jelenlegi árfolyama 100, a részvény nem fizet osztalékot.
A CRR modell felhasználásával árazzon be egy 170 kötési árfolyamú, 1 éves amerikai eladási opciót, ha az AD árak az alábbiak:
PAD Csökkenés 0,5455 Emelkedés 0,3636 A hozamgörbe vízszintes.
Megoldás:
Az AD árak összege 0,9091. Ez az egyéves DF. Ebből az effektív hozam:
10%.
0,3636-ból az állapotvalószínűség: 0,3636 · 1,1=0,4. Ebből a q=0,4.
Mivel p=(1,1 - 1/u) / (u - 1/u), ebből az u=2 vagy 110 = 0,4 · u · 100 + 0,6 · 100/u -ból u=2 Ezután fel lehet írni a binomiális fát. Részvény:
100 200
50 Put opció
70 (65,45) 0 120
Másképp: 120·0,5455=65,46, ennél nagyobb az azonnali lehívás haszna 70.
Az amerikai eladási opció díja 70.
11.5. Egy osztalékot nem fizető részvény prompt árfolyama 100 Ft, amely évente vagy megduplázódik vagy a felére csökken. Az állampapír-piaci (effektív) hozamgörbe 10%. Mennyibe kerül egy 3 éves európai call opció, ha delta-t=1 év és a kötési árfolyam a legalacsonyabb és a legmagasabb árfolyam átlaga?
153 Megoldás:
q = (1,1-0,5)/(2-0,5) = 0,4 Részvény
100 200 400 800 50 100 200 25 50
12,5
Lehetséges utak és hozzájuk tartozó kötési árfolyamok, valamint opcióértékek
1) 100 200 400 800 K=450 c=350
2) 100 200 400 200 K=250 c=0
3) 100 200 100 200 K=150 c=50
4) 100 50 100 200 K=125 c=75
5) 100 200 100 50 K=125 c=0
6) 100 50 100 50 K=75 c=0
7) 100 50 25 50 K=62,5 c=0
8) 100 50 25 12,5 K=56,25 c=0
Az opció értéke: [(350·0,43)+(50+75)·0,42·0,6]/1,13= 25,845
11.6.Önt egy derivatív eszköz árazására kérik fel. Az eszköz futamideje 2 év, a futamidő végén a kifizetés egy adott alaptermék 1. és 2. év végi árfolyamának átlaga lesz. Az alaptermék árfolyama binomiális (CRR) mozgást követ t=1 és u=2 paraméterek mellett, jelenlegi árfolyama 100, a kockázatmentes hozam évi 25%. Mennyit ér ma ez a derivatív eszköz?
Megoldás:
Részvény:
100 200 400 50 100 25
q= (1,25 - 0,5) / (2 - 0,5) = 0,5 lehetséges utak és valószínűségek:
uu: (200 Ft + 400 Ft) / 2 = 300 Ft – 0,25 ud: (200 Ft + 100 Ft) / 2 = 150 Ft –0,25 du: (50 Ft + 100 Ft) / 2 = 75 Ft –0,25 dd: (50 Ft + 25 Ft) / 2 = 37,5 Ft – 0,25
Innen a várható érték: 140,625, a jelenérték: 90
11.7. Mi az Arrow-Debreu árak kapcsolata a diszkontkincstárjegy árfolyamával és miért nem lehet az Arrow-Debreu árakat amerikai opciók árazásához használni?
Megoldás:
Az AD-árak összege kiadja a DKJ árfolyamát, hiszen a DKJ minden jövőbeli világállapotban fizet 1-et, vagyis olyan, mintha az összes AD terméket megvettem volna.
Az amerikai opció a korai lehívhatóság miatt nem T-termék, míg az AD termékek T-termékek, nem lehet belőlük kirakni. Az AD-termékekel nem lehet útvonalfüggő opciókat árazni, mert ők érzéketlenek az útvonalra.
11.8. Mutasson példát olyan esetre, amikor egy amerikai call opció jelentősen többet ér, mint egy minden más paraméterében megegyező európai call!
Megoldás:
Ha az alaptermék osztalékot fizet, vagy a base currency hozama angyobb, mint a secondary currency-é, akkor nagyon sokat érhet a korai lehívhatóság
11.9. Mutasson olyan esetet, amikor az amerikai call opciót lejárat előtt érdemes lehívni!
Megoldás:
Az európai call opció időértéke alapesetben mindig pozitív, és a korai lehívással az amerikai esetén is csak a belső értéket kapjuk meg, tehát valami extrának kell történni. Ilyen például egy időértéket meghaladó mértékű osztalék. Az osztalék kifizetése előtt megérheti lehívni az opciót, mert akkor még osztalékszelvénnyel együtt kapjuk meg a részvényt. Tehát le kell ellenőrizni, hogy az így kapott belső érték többet ér-e, mint az osztalékfizetés után az opció és ha igen, akkor a korai lehívás indokolt.
Nehezebb feladatok
11.10. Egy részvények árfolyama ma 100 dollár, mely, egy modell szerint, binomiális mozgást követ, Δt=1 év, u=2 és d=1/u paraméterekkel. A részvény nem fizet osztalékot, a kockázatmentes dollár effektív hozamgörbe 10%-on vízszintes. Mekkora ma egy 3 év futamidejű, 80-as kötési árfolyamú, amerikai put opció deltája?
155 Megoldás:
11.11. Egy részvény azonnal árfolyama 100 dollár, mely egy modell szerint binomiális mozgást követ, Δt=1 nap, u=1,02 és d=1/u paraméterekkel. A részvény a következő héten nem fizetnek osztalékot. A kockázatmentes effektív hozamgörbe 0%-on vízszintes.
a) Mennyit ér egy T=3 nap futamidejű, K=99 kötési árfolyamú, európai call opció?
b) Hány darab részvényt vegyen, vagy adjon el a delta-fedezés során az a bank, amelyik ügyfeleinek az a) pontban lévő opcióból 1 millió darab részvényre szóló névértékben adott el?
c) Mennyit érne az a) pontban lévő opció, ha lenne egy olyan „Knock-Out-at-Expiry” tulajdonsága, amely esetén az opció közvetlenül a lehívás előtt megsemmisül, ha lejáratkor a részvényárfolyam eléri a 105 dollárt?
u 2,0000 Részvényfa
d 0,5000 800,00
S 100,00 400,00 200,00
K 80,00 200,00 100,00 50,00
r 10,00% 100,00 50,00 25,00 12,50
dt 1,0000 csak ezen a két helyen lehet korai lehívás implied_vol 69,31%
DF(dt) 0,9091 Európai put fa 0,00
p 0,4000 0 0,00
8,9256 16,36 30,00 20,69121 31,983 47,73 67,50
Belső érték fa 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 30,00 0,00 30,00 55,00 67,50
itt megéri korábban lehívni
Amerikai put fa 0,00
0 0,00 8,93 16,36 30,00 22,8550 35,95 55,00
korai lehívás Delta = -0,1802
11.12. Egy részvény árfolyama ma 100 drachma, mely, egy modell szerint, binomiális mozgást követ, Δt=3 hónap, u=1,25 és d=1/u paraméterekkel.
A részvénynem fizetnek osztalékot. A kockázatmentes drachma effektív hozamgörbe 10%-on vízszintes. Egy 9 hónap futamidejű No-touch bináris opció akkor fizet lejáratkor 10 000 drachmát, ha a futamidő alatt a részvények árfolyama végig 70 drachma felett van.
a) Mennyit ér ma ez az opció?
b) Ha most megvesznek tőlünk fair áron egy ilyen opciót és az így kialakult pozíciónkat delta-fedezni szeretnénk, akkor hány darab részvényt kellene megvenni/eladni?
Megdolás:
Az biztos, hogy ez az opció útvonalfüggő (path dependent), hiszen a lejáratkori árfolyam mellett az is számít, hogy az útvonal során volt-e 70 dollár alatt.
u 1.0200 részvényfa
d 0.9804 106.12
S 100.00 104.04 102.00
r_eff 0.0000% 102 100 98.04
dt = 1/365 0.0027397 100.00 98.04 96.12 94.23
implied_vol 37.83%
a) Tehát 1,98 (kb 2) dollárt ér a vanilla call opció.
K=99 vanilla call deltája 1
c) Tehát 1,11 dollárt ér a KO-at-Expiry opció
b) A bank SC pozícióban van, tehát vegyen 630000 darab részvényt a delta fedezéshez
itt éppen lehetne q=0,5-tel is számolni, kerekítve, akkor picit más eredméynek jönnek ki, de nagyságrendileg nem tér el
Abban tér el egymástól a vanilla call és a KO-at-Expiry call, hogy a legjobb kimenetelt a KO-at-Expiry nem
157
u 1.2500
d 0.8000
S 100.00
r 10.00%
dt 0.25
implied_vol 44.63%
DF(dt) 0.9765
payout 10000
NT barrier 70
p 0.4980
Részvényfa
195
156 125
125 100 80
100 80 64 51.20
binary NT_70 fa 10000
9765 10000
9534.6259 9765 10000
6964.2202 4748.5337 0 0
erősen útvonalfüggő, a kiütődéseket egyből lenullázzuk
A zöld azért lehet 10k, mert ha 100-as részvényárfolyamból jövök, akkor ennyi lesz, ha meg a 64-ből, akkor azt úgyis kinulláztuk már
b) A longnak a deltája (9534,6-4748,5)/(125-80)=106,36 = kb 106 darab részvény, tehát ha megvesznek tőlünk egy ilyen NT opciót, akkor azzal érdemes kezdeni, hogy 106 részvényt azonnal megveszünk, hogy a short NT által kialakult short részvény érzékenységünket ezzel kompenzáljuk.
11.13. Egy részvény árfolyama ma 100 drachma, mely, egy modell szerint, binomiális mozgást követ, Δt=1 év, u=2 és d=1/u paraméterekkel. A részvény nem fizetnek osztalékot. A kockázatmentes drachma effektív hozamgörbe 10%-on vízszintes. Egy 3 éves bermuda put opció lehetővé teszi, hogy 120-as árfolyamon eladjunk 1 darab részvényt. Az opció bermuda jellege abban nyilvánul meg, hogy két alkalommal van lehetőség
az opció lehívására: vagy a 2. év végén, vagy lejáratkor. (Ha egyszer már lehívták az opciót, akkor később már nem lehet.)
a) Mennyit ér ma ez a bermuda put opció?
b) Mekkora a bermuda put opció deltája?
Megoldás:
A bermuda opció átmenet az amerikai és az európai között: lejárat előtt is lehívható alkalmanként, de nem mindig, csak előre megadott napokon.
Ilyen értelemben ezt a bermuda opciót nagyon hasonlóan kell kezelni, mintha amerikai lenne, de még egyszerűbb is, hiszen a korai lehívást csak a 2. év végén kell leellenőrizni.
u 2,0000 részvényfa
d 0,5000 800
S 100,00 400 200
r 10,00% 200 100 50
dt 1,00 100 50 25 12,50
implied_vol 69,31%
DF(dt) 0,9091 európai put fa
K 120 0
p 0,4000 0,00 0
20,83 38,18 70
40,17 59,75 84,09 107,50
belső érték fa
0,00 0,00 0,00 0,00 20,00 70,00
20,00 70,00 95,00 107,50
A sárga esetben megéri a korai lehívás.
bermuda put fa
mindegy 0,00 mindegy 20,83 38,18 mindegy 43,41 65,70 95,00 mindegy
put delta ma '=(20,83-65,70)/200-50)= -0,2992 =kb -30%
árazás szempontjából mindegy, hogy mi történik lejáratkor, elég, ha tudjuk, hogy a 2. év végén mennyit ér, úgyis abból számoljuk ki visszafelé
A zöld esetekben nem éri meg a korai lehívás, ezért "európaiként" tovább megy.
159