O HM - TÖRVÉNY

Egy vezető két vége közt mérhető potenciálkülönbség és vezetőben folyó áram hányadosa állandó. Ez az állandó a vezető ellenállása, azaz

IR

U  , (3.1)

ahol U a potenciálkülönbség voltban kifejezve,

I

az áram amperben mérve és

R

az ellenállás ohmokban. A törvényt George Ohm fedezte fel 1827-ben. Ez az egyszerű lineáris törvény a legtöbb anyagra nem érvényes. Azokat az ellenállásokat, amelyekre fennáll, ohmikus ellenállásnak nevezik, de a törvény csak addig érvényes, amíg a fizikai feltételek, mint például a hőmérséklet állandó marad. Legpontosabban a fémek követik az Ohm-törvényt.

3.1.1 Integrális Ohm törvény 0

E

rot , (3.2)

0 J

div , (3.3)

 E E  E J

_b

J   

_b

  

, (3.4)

ahol az

E

_b beiktatott térerőséggel jelöljük a nem elektromos hatásokat,



az anyag fajlagos vezetőképessége.

Vizsgáljuk meg a 3.1 ábrán látható egyszerű áramkört: telep (akkumulátor vagy galván-elem) és pólusaira kapcsolt ellenállás. Az elrendezésben

E

_b fizikai tartalma nyilvánvaló.

A telep elektródái között nyugalmi helyzetben

E

elektromos térerősség lép fel, amit a fegyverzeteken felhalmozódott töltések hoznak létre. Ennek ellenére a véges



fajlagos

vezetőképességű elektrolitban nem folyik áram. Ez csak úgy lehetséges, hogy az elrendezésben fellép egy olyan hatás, amely (3.5) értelmében kioltja a térerősség hatását:

Jdl dl E Edl

l

l l

b





^



^

_

^{, (3.5)}

ahol az első integrál a (3.2) miatt zérus. A második integrál csak a telep belsejében vett úton értelmezett, és az ún. üresjárási feszültséget (elektromotoros erőt) definiálja. A jobb oldali integrál két szakaszon történő integrálásra bontható: integrálás a telep belsejében, ill. azon kívül, a kapcsok közé helyezett ellenálláson. Miután az áram a változó keresztmetszet ellenére az egész körben azonos (3.3) értelmében, a fenti egyenlet végül:

U

_b

 IR

_k

 IR

_b alakba írható, ahol

R

_b a telep belső ellenállását,

R

_k pedig a kapcsok közé helyezett külső ellenállás.

3.1 ábra: Az Ohm törvény levezetéséhez

Forrás:

http://www.scribd.com/doc/91193228/16/MAXWELL-EGYENLETEK-%E2%80%93-KIRCHHOFF-EGYENLETEK

Véges hosszúságú

A

keresztmetszetű vezeték esetén az ^



^



^

l l

A IR dl dl U J





összefüggéshez jutunk, amelyet integrális Ohm törvényének nevezünk. Egyúttal az ellenállás definícióját is megkapjuk.

3.1.2 Differenciális Ohm törvény

Legyen a vezető

A

keresztmetszetű, l hosszúságú és anyaga



fajlagos vezetőképességű. Ekkor az ellenállása

A

ahol



a fajlagos ellenállás. Figyelembe véve a (3.2)-t és behelyettesítve az

R

értékét a (3.6)-be, kapjuk

Figyelembe véve, hogy a vezetőben a villamos tér hatására mozdulnak el a töltések és hogy a kialakult áramlási tér homogén:

JA

A (3.8) egyenlet az Ohm-törvény differenciális alakja.

Egy vezető (fém)



fajlagos vezetőképessége kifejezhető az alábbi összefüggéssel

E

J  q

_e

 n

, (3.10)

ahol

q

_e elektronok töltése,

E

 v



mozgékonysága (elektronok v sebessége egységnyi

E

elektromos térben), n koncentrációja.

A kapott összefüggés az ún. vezetési vagy konduktív áram értékét adja meg

A

A szigetelőanyagokban folyó áramok megkülönböztetésére szolgál a konvektív és az eltolási áram elnevezés A konvektív áram (

J   v

) is töltéshordozók elmozdulásához kötődik, de nagyszámú, térbeli töltéselmozdulással leírható töltés esetén. Ilyen áram folyik például a gázok vezetésekor. Az eltolási áram keletkezése az időben változó villamos térhez kötődik. Eltolási áramként foghatjuk fel a kondenzátorok áramát váltakozó áramú körökben. Az eltolási (

 t

  D

J

) áram fiktív áram, fizikailag nincs szó töltésáramlásról. A különféle áramfajták nem zárják ki egymást. Akár egy ugyanazon áramkörben  különböző elemeken  egyidejűleg folyhat mindhárom áram. Ha pl. egy ellenállás és egy kondenzátor soros kapcsolását valósítjuk meg váltakozó áramú körben, az áramuk megegyezik. Tehát az ellenállás vezetési árama megegyezik a kondenzátor

eltolási áramával

.

Ebből arra lehet következtetni, hogy a különböző áramfajták képesek egymásba átalakulni.

A differenciális Ohm-törvény teljes alakja

t

Azokra az elemekre, melyekben a konvektív áram illetve az eltolási áram folyik gyakran nem igaz  vagy csak igen szűk határok között  az Ohm-törvény. Ezeknek az elemeknek ugyanis a feszültsége és árama között nem lineáris a kapcsolat.

3.1.3 Kontinuitási egyenlet

Az anyag-, ill. tömegmegmaradásból következik, hogy ha egy csőben stacionárius módon áramlik a folyadék, akkor a cső bármely keresztmetszetén másodpercenként ugyanannyi tömegű folyadék áramlik át. Tegyük fel, hogy a cső vékony, azaz egy adott keresztmetszetnél a sebesség minden pontban ugyanakkora. Az első keresztmetszet legyen

A

₁, a második

A

₂, a megfelelő sűrűségek, ill. sebességek



₁ és



₂, ill. v₁ és v₂. Egy kis

 t

idő alatt a folyadékrészecskék

v t

utat tesznek meg, így az átáramlott folyadék térfogata

Av t

, a tömege

 Av t

. A két keresztmetszeten egységnyi idő alatt átáramlott tömeg (stacionárius esetben) egyenlő, tehát

2

Ezt úgy hívják, hogy kontinuitási egyenlet vékony áramcsőre. Ha azt is feltesszük, hogy a folyadék összenyomhatatlan, akkor



₁

 

₂ vagyis

2 2 1

1

v A v

A 

. (3.14)

Ezt általánosíthatjuk tetszőleges térfogatra. A térfogatban található folyadék tömege



V

 dV

.

Ezzel a kontinuitási egyenlet általános alakja:



3.1.4 Kirchhoff I. törvénye

Mint mindenhol, itt is igaz a töltésmegmaradás törvénye. Mivel az elektromos töltés éppúgy megmaradó mennyiség, mint a tömeg, ezért a töltésmegmaradás törvényét formailag ugyanolyan (kontinuitási) egyenlet írja le, mint a tömegmegmaradásét:





^{tdV  d}

dt

d



j A.

Itt

F

a rögzített V térfogat zárt burkolófelülete,



_t a töltéssűrűség,

j

az áramsűrűség.

A konvenció szerint a felület normálvektora és így

 A

is kifelé mutat. Az előjeleket úgy választjuk meg, hogy I 0, ha

j  A  0

(kifelé megy az áram) és I 0, ha

j  A  0

(befelé megy az áram). A jobb oldali felületi integrál tehát akkor pozitív, ha kiáramlás van, ekkor viszont a térfogatban található töltés csökken, a baloldali derivált tehát negatív. Ezért kell a mínusz előjel a jobb oldalra. Stacionárius áramlás esetén a bal oldali kifejezés zérust ad, hiszen a V térfogatban a töltés nem változhat (ugyanis ekkor a töltések által keltett térerősség is változna). Időben állandósult állapotban a változási gyorsaság nyilvánvalóan zérus. Ebből az következik, hogy bármilyen zárt felületen ugyanannyi töltés áramlik ki, mint be: „Ami befolyik, az rögtön kifolyik” (Beatrice: „8 óra munka” dalszövegéből). Alkalmazzuk ezt a törvényt vékony vonalas hálózat esetén egy csomópontba befutó vezetékekre.

Csomóponti törvény állítása

A csomópontban töltés nem halmozódhat fel, tehát a zárt felületen átfolyó áram zérus Egy csomópontba befolyó és onnan kifolyó áramok algebrai (előjeles) összege zérus.

Miután az áramok most csak a vezetékekben folynak, az egyenlet egyszerűen

 0



k

I

k . (3.16)

3.2 ábra: Ellenállások párhuzamos kapcsolása

3

...

Ebből a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének reciproka

1 ...

Ellenállások párhuzamosan kapcsolása esetén az eredő vezetőképesség (

e

e

R

G  1

) egyenlő az egyes vezetőképességek összegével.

3

...

2

1

  

 G G G

G

_e . (3.20)

Két párhuzamosan kapcsolt ellenállásra az eredő ellenállást az alábbi képlet alapján számolhatjuk ki:

2 1

2 1

R R

R R

_e

R

 

. (3.21)

3.1.5 Kirchhoff II. törvénye

Huroktörvény egyenáramú, koncentrált paraméterű hálózatra. A törvény állítása:

bármely zárt hurok körüljárása esetén a feszültségek összege, tehát a körülhaladó töltésen végzett összes munka zérus.

A stacionárius elektromos mező konzervatív mező. A stacionárius mezőben fennáll ugyanaz az alapvető törvény, ami az elektrosztatikus mező esetén:

 0



g

r

Ed

. (3.22)

3.3 ábra: Ellenállások soros kapcsolása



1



2



3

 ^... 

 I R R R

IR

_e . (3.23)

Sorosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállása egyenlő az ellenállások összegével:

3

...

2

1

  

 R R R

R

_e . (3.24)

In document Villamosságtan (Pldal 46-52)