8.2. Megjegyzés
1. A tételben szereplő szót a egy tanújának nevezzük.
2. Az előbbi tétel alapján azt mondhatjuk, hogy a tanú segítségével ellenőrizhetjük, hogy egy szó beletartozik-e az adott nyelvbe.
Emiatt a tulajdonsága miatt az -be tartozó nyelveket polinomiális időben ellenőrizhető nyelveknek is szokták nevezni.
2. NP-teljesség
Az előzőekben megvizsgáltuk hogyan tudjuk ellenőrizni egy nyelv -be tartozását. Még mindig nem tisztáztuk azonban, hogy szükséges-s ez egyáltalán. Azt tudjuk ugyan, hogy de nem beszéltünk arról, hogy a tartalmazás valódi-e, vagy egyenlőség áll fenn. Bár elvileg semmi nem zárja ki a bizonyítás lehetőségét, mind a mai napig nem ismert sem a bizonyítása, sem a cáfolata annak, hogy .
Az állítást cáfolni úgy lehetne, hogy keresünk egy -beli nyelvet, amiről belátjuk, hogy determinisztikus Turing-géppel nem lehet polinomiális időben felismerni.
A cáfolatára és igazolására is komoly erőfeszítéseket tettek. Ez utóbbi érdekében vezették be az -tejesség fogalmát. Ha röviden akarjuk meghatározni, az -teles nyelvek az különleges tulajdonságú, legnehezebb feladatinak tekinthetők. Ha akár csak egyről is sikerülne belátni, hogy -be tartozik, akkor az összes -beli nyelvere igaz lenne.
Az első szükséges fogalom a következő.
8.3. Definíció (Karp-redukció)
Legyen két nyelv. Azt mondjuk, hogy Karp-redukálható -re (jelekben: ), ha létezik egy polinomiális időbonyolultságú determinisztikus Turing-gép, amelyikkel esetén akkor és csak akkor, ha .
8.4. Megjegyzés
A Karp-redukálhatóság megközelítőleg annyit jelent, hogy ha van egy feladatunk, azt könnyen át tudjuk fogalmazni egy másik feladattá, illetve ha ezt a másikat - egyszerűen - meg tudjuk oldani, akkor az eredeti feladatot is - egyszerűen - meg
tudjuk oldani. Erre utal a jelölés is: a könnyebb feladat felől a nehezebb irányába nyílik a jel.
A Karp-redukciót arra tudjuk használni, hogy a nyelveket (feladatokat) nehézség szerint összehasonlítsuk.
Ehhez belátjuk a Karp-redukálhatóság, mint reláció néhány tulajdonságát.
8.5. Tétel
Legyen három nyelv. Ekkor 1. (reflexivitás),
2. ha és akkor (tranzitivitás).
Bizonyítás
1. A Karp-redukció definíciójában a leképező Turing-gép legyen egy olyan Turing-gép, ami amikor elindul, egyből megáll, anélkül, hogy a szalagjának tartalmát megváltoztatta volna. Ez a Turing-gép az identikus leképezést valósítja meg, azaz , minden bemeneten. A definíció alapján ekkor pontosan a bizonyítandó állítást kapjuk. alapján egy tetszőleges legfeljebb hosszúságú bemeneten a Turing-gép számításának hossza legfeljebb
, azaz . Beláttuk tehát, hogy polinomiális
időbonyolultságú Turing-gép és teljesülnek rá a Karp-redukció definíciójánál előírt feltételek, vagyis . ✓ A Karp-redukálhatóság szűkítésével egy ekvivalenciarelációt definiálhatunk.
8.6. Definíció
Legyen és két nyelv. Azt mondjuk, hogy és Karp-ekviavalensek
(jelekben ), ha és .
8.7. Tétel
A Karp-ekvaivalencia tényleg ekvivalenciareláció, azaz nyelvek esetén
Két nyelv (feladat) akkor Karp-ekvivalens, ha polinomiális időben egymásba alakíthatók, azaz a nehézségük polinomiális átalakítástól eltekintve azonos.
A Karp-redukálhatóság értelmezése alapján nem meglepő a következő tétel.
Legyen egy polinomiális időbonyolultságú Turing-gép, amelyikkel a Karp-redukálhatóság igazolható. amiből az előző tételekhez hasonlóan Turing-gép időbonyolultságára azt kapjuk, hogy , azaz polinomiális időbonyolultságú. Ezzel az állítást igazoltuk.
2.
Hasonlóan az előző esethez, mivel , ezért létezik egy polinomiális időbonyolultságú nemdeterminisztikus Turing-gép, amelyikre . Legyen . A Karp-redukció definíciója alapján
, azaz .
Legyen és , valamint egy hosszúságú szó és . A bemeneten
legfeljebb ideig számol, és . Mivel az előzőek miatt ezért legfeljebb időben elfogadja, amiből az előző tételekhez hasonlóan nemdeterminisztikus Turing-gép időbonyolultságára azt kapjuk, hogy , azaz polinomiális időbonyolultságú. Ezzel az állítást igazoltuk. ✓
Az alábbi tétel meghatározza a Karp-ekvivalencia alapján legkönnyebb feladatok osztályát.
8.10. Tétel
Legyen két nem triviális nyelv (azaz nem üresek és a komplementerük sem az). Ekkor .
Bizonyítás
Elegendő azt belátni, hogy , ekkor ugyanis a szimmetria miatt is teljesül.
Mivel nem triviális nyelv, ezért léteznek és szavak. Továbbá, mivel , ezért létezik egy polinomiális időbonyolultságú determinisztikus Turing-gép, amelyikre .
Legyen és olyan Turing-gépek, amelyek letörlik a szalagjukat és -t illetve -t írnak rá.
Definiáljuk a következő Turing-gépet:
Ekkor egy tetszőleges szó esetén . Mivel polinomiális és pedig
konstans időbonyolultságú, ezért is polinomiális időbonyolultságú Turing-gép. Ez viszont definíció szerint pontosan a bizonyítandó állítás. ✓
8.11. Megjegyzés
Ha bármely két nem triviális -beli nyelv Karp-ekvivalens lenne, akkor a egyenlőség igaz lenne. Legyen ugyanis az egyik nyelv egy rögzített , a másik pedig egy
tetszőleges . Mivel , ez azt jelentené, hogy .
Mivel a állítás igazságát nem ismerjük, ezért nem tudjuk, hogy Karp-ekvivalens-e bármely két -beli nyelv. Definiálható viszont egy ehhez szorosan kötődő tulajdonság.
8.12. Definíció
1. Egy nyelvet -nehéznek nevezünk, ha minden -beli nyelv Karp-redukálható rá.
2. Egy nyelvet -teljesnek nevezünk, ha -beli és -nehéz.
Egy nyelv -teljessége azt jelenti, hogy az -beli nyelvek (feladatok) közül a legnehezebb.
8.13. Megjegyzés
Ha egy -teljes nyelvről sikerülne belátni, hogy -beli, akkor a igaz lenne.
Egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy létezik -teljes nyelv. Ha viszont sikerül egyet találni, akkor egy újabb nyelv -teljességének igazolásához már csak azt kell ellenőrizni, hogy -beli legyen és Karp-redukálható legyen rá a másik -teljes nyelv. (A tranzitív tulajdonság miatt ugyanis ekkor minden -beli nyelv redukálható rá.) Ezen az elven már sok -beli nyelvről sikerült igazolni az -teljességet. Néhányat közülük a következő listában adunk meg.
-teljes nyelvek:
1. - nyelv: a kielégíthető konjunktív normálformák nyelve.
2. A Hamilton-körrel rendelkező gráfok nyelve.
3. A színnel színezhető gráfok nyelve.
4. -klikk probléma (k-elemű teljes részgráf létezése) 5. -csúcsú lefedés gráfokban
Irodalomjegyzék
1] Ivanyos G., Rónyai L., Szabó R. Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1996
[2] Harry R. Lewis, Christos H. Papadimitriou : ELEMENTS OF THE THEORY OF COMPUTATION 1998
Error: no bibliography entry: d0e14231 found in
http://docbook.sourceforge.net/release/bibliography/bibliography.xml