Először definiálni fogjuk a determinisztikus és nemdeterminisztikus Turing-gépek idő-, tár- és programbonyolultságát. Ezekkel a fogalmakkal tudjuk kifejezni, hogy egy-egy algoritmusnak (Turing-gépnek) a különböző erőforrásokból milyen mennyiségre van szüksége. A Turing-gép fogalma lehetővé teszi, hogy a mennyiségi egységet nagyon pontosan meghatározzuk.
Mivel az algoritmusainkat általában nem egy feladat megoldására szeretnénk használni, hanem egy egész feladatosztály minden feladatára, ezért az erőforrásszükségletet úgy kell tudnunk kifejezni, hogy a feladatosztály minden elemére kielégítő pontossággal rendelkezzen.
Először a legfontosabb bonyolultságfogalommal, az időbonyolultsággal foglalkozunk.
7.1. Definíció
Legyen egy determinisztikus Turing-gép és egy szó. Legyen továbbá a számítása a bemeneten .
Tegyük fel, hogy van olyan amelyre állapotkomponense
végállapot. Ekkor azt a legkisebb értéket amire ez a tulajdonság teljesül, a számítás hosszának nevezzük.
Ha nincs ilyen , akkor a számítás hosszát végtelennek tekintjük.
A Turing-gép által a bemeneten végrehajtott számítás hossza
jelekben: , illetve .
A számítás hosszának definíciójával tulajdonképpen az idő fogalmát tudjuk helyettesíteni. Anélkül, hogy tudnánk mit is jelent, definiáltuk az időegységet: egy konfigurációátmenet végrehajtásához szükséges erőforrás.
Ezáltal egyben függetlenítjük magunkat attól, hogy a valós idő múlásával fejezzük ki az algoritmusaink, programjaink ilyen jellegű erőforrásigényét. A számítás hosszának segítségével definiálhatjuk a Turing-gépek általános időszükségletét.
7.2. Definíció
Legyen egy determinisztikus Turing-gép.
A Turing-gép időbonyolultsága a függvény, amelyre:
Amennyiben az egyértelműség nem sérül, az időbonyolultság jelöléséből elhagyhatjuk a Turing-gép megadását.
Az így definiált időbonyolultság segítségével azt tudjuk kifejezni, hogy egy adott Turing-gép (algoritmus) egy rögzített korlátnál nem nagyobb méretű feladaton legrosszabb esetben mennyi ideig számol. Emiatt szokás ezt az értéket a legrosszabb esethez tartozó időbonyolultságnak is nevezni.
Hasonló módon értelmezhető az átlagos időbonyolultság, ami a hétköznapi programozás szempontjából lényegesen kifejezőbb mérték, viszont jóval nehezebben kezelhető. Szükséges hozzá többek között a bemenő adatok eloszlásának ismerete, ami a valós esetekben ritkán határozható meg pontosan.
7.3. Megjegyzés
Észrevehetjük, hogy a definíció alapján ha egy Turing-gép időbonyolultsága minden esetén definiált, akkor az minden bemeneten megáll, vagyis az általa felismert nyelv rekurzív.
7.4. Megjegyzés
Legyen egy determinisztikus Turing-gép és az időbonyolultsága.
értéke a leghosszabb számítás hossza a legfeljebb hosszúságú, míg értéke a leghosszabb számítás hossza a legfeljebb hosszúságú bemeneteken. Mivel az utóbbi eset tartalmaz minden bemenetet az előbbiből ezért ennek értéke nem lehet kisebb, azaz . Ez azt jelenti, hogy monoton növekvő.
Hasonló módon határozhatjuk meg egy algoritmus (Turing-gép) számítás során jelentkező tárigényét.
7.5. Definíció
Legyen egy determinisztikus Turing-gép és egy szó. Legyen továbbá a számítása a bemeneten .
Tegyük fel, hogy és legyen .
Ha létezik ilyen a értéket a számítás tárigényének nevezzük.
Ha nincs ilyen, akkor a számítás tárigényét végtelennek tekintjük.
A Turing-gép által a bemeneten végrehajtott számításhoz szükséges tárigényét -vel jelöljük.
Az időbonyolultságnál alkalmazott módszerrel definiálhatjuk a tárbonyolultságot is.
7.6. Definíció
Legyen egy determinisztikus Turing-gép. A Turing-gép tárbonyolultsága a függvény, amelyre:
A Turing-gép jelölését természetesen ebben az esetben is elhagyhatjuk, ha nem megy az érthetőség rovására.
Az időbonyolultságéhoz hasonló tulajdonság itt is megfigyelhető.
7.7. Megjegyzés
Legyen egy determinisztikus Turing-gép és a tárbonyolultsága.
értéke a legnagyobb tárigény a legfeljebb hosszúságú, míg értéke a legnagyobb tárigény a legfeljebb hosszúságú bemeneteken. Mivel az utóbbi eset tartalmaz minden bemenetet az előbbiből ezért ennek értéke nem lehet
kisebb, azaz hasonlóan az időbonyolultság esetéhez
. Ez azt jelenti, hogy monoton növekvő.
Végül definiáljuk a Turing-gép összetettségét is.
7.8. Definíció
Legyen egy determinisztikus Turing-gép és a Turing-gép programja.
programbonyolultságának az értéket nevezzük.
7.9. Megjegyzés
A definíció alapján a programbonyolultság érteke nem függ a bemenet hosszától. Az algoritmusok implementációjáról mindez már nem mondható el egyértelműen. Amennyiben ugyanis a bemenet értéke egy bizonyos korlátot meghalad, más szerkezetű programot kell írnunk. Értelem szerűen hosszabb bemenethez hosszabb program tartozik. Más módszereket kell ugyanis használni a bemenet beolvasásához, az adatok memóriában való tárolásához és előfordulhat, hogy az egyes műveletek is más formában jelennek meg.
A determinisztikus Turing-gépekhez hasonlóan nemdeterminisztikus Turing-gépek esetén is definiálhatunk idő- és tárbonyolultságot. Mivel azonban a teljesen általános definíció lényegesen bonyolultabb és kevésbé kifejező lenne, így a megfelelő fogalmakat csak felismerő Turing-gépekre vezetjük be.
7.10. Definíció
Legyen egy nemdeterminisztikus felismerő Turing-gép és egy szó.
Tegyük fel, hogy -nek van olyan számítása a bemeneten amelyik elfogadó állapotban megáll. A legrövidebb ilyen lépéseinek számát a számítás hosszának nevezzük.
Ha nincs elfogadó állapotban megálló számítása, akkor a számítás hosszát végtelennek tekintjük.
A által a bemeneten végrehajtott számítás hosszát a
determinisztikus Turing-gépekhez hasonló módon -vel jelöljük.
Nemdeterminisztikus Turing-gépek esetén a számítás hosszát csak olyan bemenő szavakra definiáltuk, amelyeket a Turing-gép elfogad. Ennek megfelelően az időbonyolultság fogalmán is módosítani kell egy kicsit.
7.11. Definíció
Legyen egy nemdeterminisztikus Turing-gép.
A Turing-gép időbonyolultsága a függvény, amelyre:
.
A nemdeterminisztikus Turing-gépek tárbonyolultságát a következőképen definiálhatjuk.
7.12. Definíció
Legyen egy nemdeterminisztikus felismerő Turing-gép és egy szó.
Tegyük fel, hogy -nek van olyan számítása a bemeneten amelyik elfogadó állapotban megáll.
Legyen egy elfogadó állapotban megálló lehetséges számítása a
bemeneten . Tegyük fel, hogy
és legyen .
Az elfogadó számításhoz tartozó tárigény:
.
A lehetséges elfogadó számításokhoz tartozó tárigények közül a legkisebbet a Turing-gép bementhet tartozó tárigényének nevezzük.
Ha nincs elfogadó állapotban megálló számítása, akkor a számítás tárigényét végtelennek tekintjük.
A által a bemeneten végrehajtott számítás tárigényét a determinisztikus Turing-gépekhez hasonló módon -vel jelöljük.
Hasonlóan az időbonyolultsághoz, a nemdeterminisztikus Turing-gépek esetén a számítás tárigényét csak olyan bemenő szavakra definiáltuk, amelyeket a Turing-gép elfogad. Ennek megfelelően az tárbonyolultság fogalmán is módosítani kell egy kicsit.
7.13. Definíció
Legyen egy nemdeterminisztikus Turing-gép.
A Turing-gép tárbonyolultsága a függvény, amelyre:
A következő tétel a rekurzív nyelvek alaposabb megismeréséhez nyújt segítséget. Azt láthatjuk be általa, hogy ha egy nyelv rekurzív felsorolható és időbonyolultsága nem túl nagy, akkor a nyelv egyben rekurzív is. Ez azt jelenti, hogy ha egy nyelv nem rekurzív, akkor (ha van egyáltalán) az őt felismerő Turing-gép időbonyolultsága kiszámolhatatlanul nagy. A kiszámolhatatlanul nagy az tényleg valami nagyon gyorsan növő függvényt jelent, hiszen még az Ackermann-függvény is kiszámolható.
7.14. Tétel
Legyen egy nyelv. Tegyük fel, hogy létezik egy Turing-géppel kiszámolható függvény és egy determinisztikus Turing-gép,
amelyikre .
Amennyiben az elemein legfeljebb lépésben megáll, akkor . Bizonyítás
Legyen az a Turing-gép, amelyik kiszámolja -t, azaz és legyen a korábbiakban megismert elven -ből készített korlátozott futásidejű Turing-gép. Ezek segítségével készítsük el a következő működésű Turing-gépet:
1. A bemenet alapján az új Turing-gép . szalagjára írjunk darab -t.
2. A bemeneten indítsuk el a Turing-gépet. Ha a futás során a rész áll meg előbb, akkor annak döntése lesz a tényleges végállapot, ha a korlátozó rész áll meg előbb akkor nemleges választ adunk.
Világos, hogy az új Turing-gép minden bemeneten megáll, és pontosan azokat a szavakat fogadja el, amelyeket amúgy is elfogadott, hiszen ha elfogadja, akkor azt kevesebb mint lépésben teszi. Definíció szerint ez azt jelenti, hogy . ✓