1 bis 108000.
VON
K A R L B A B B A G E , ESQ ., M. A.
L U K . P R 0 F E S 8 0 R DF.K M A T H E M A T IK A N D E I l U N IV E R S IT Ä T Z U C A M B R ID G E . M IT G L IE D D E R V O R Z Ü G L IC H S T E N G E L E H R T E N G E S E L L S C H A F T E N B E ID E R E R D H A L F T E N .
D R I T T E S T E R E O T Y P -A U F L A G E ,
BESO RG T U N D M IT D ER E IN L E IT U N G IN D E U T SC H ER SPRA CH E H ERA U SG EG EBEN ,
VON
K A R L N A G Y ,
D E R U N O . A K A D E M IE D E R W 18S . K O R R ., U N D D E R A M E R . P H Y L O H . G E S . W I R K L . M IT G L IE D .
L O N D O N :
G E D R U C K T F Ü R D I E U N G A R IS C H E A K A D E M IE D E R W IS S E N S C H A F T E N .
1834.
G E D R U C K T B E I W IL H E L M C L O W E S , STA M F O R D -S T K E B T .
1 .OND ON î
V O R W O R T .
A ls die L ogarithm en-T afeln Babbages m ir zum erstenm al in die H än d e kamen, war ich durch die Eleganz in d er A nordnung d e r
selben, ihre D eutlichkeit, Schönheit und das gute Verhältnis« der K a raktere, freudig überrascht. Bei häufigerem G ebrauche dieser Tafeln hatte ich später G elegenheit, ihre K orrektheit und jene L eichtigkeit, welche sie dem R echner gewähren, zu bewundern.
T rotz d er grossen A nzahl L ogarithm en-T afeln, sind wir a u f dem C ontinente fast ausschliesslich au f V e g a u n d C allet beschränkt.
Die K arak tere d er älteren A uflagen V egaischer T afeln sind schattenlos, daher deutlich, ebenso die C allet’schen. Jen e der neueren Auflagen V egas sind jedoch schon m it Schattenstrichen verseh en ; d e r
Druck
ist hingegen weniger gedrängt. D as schlechte P ap ier in V ega’s ist w iderw ärtig; das in C allet’s, obschon nochzu
dünn, besser; die K arak tere des lezteren viel zu klein, in beiden die D ruckerschw ärze nicht die beste. Jed em U ibelstaiule ist in B ab
bages Tafeln abgeholfen und m it ihrem trefflichen P ap ier lassen sie nients
zu
wünschen übrig.Ich fasste bald den E ntschluss diese herrlichen Tafeln in mein V aterland zu verpflanzen; und als ich sp äter das G lück h atte den b erühm ten Verfasser kennen zu lernen, fand ich, wie e r m it vollem R echte die B ew underung und A chtung d er W elt besizt.
Die gegenwärtige Auflage d er T afeln ist zum G ebrauche der ungarischen Academ ie d e r W issenschaften bestim m t, u n d die E in leitung des V erfassers unverändert in der ungarischen Sprache gegeben. Sein W unsch ist es, dass diese auch in d e r deutschen Sprache erscheine und dass seine Tafeln auch in D eutschland E ingang und V erbreitung finden mögen. Grosse F reu d e gew ährt m ir hierm it seinen W unsch erfüllen zu können.
Bei A usgabe neuer L ogarithm en-T afeln forderten vorzüg
lich zwei G egenstände die A ufm erksam keit des V erfassers: die K o rrektheit d er T afeln und die L eichtigkeit ihres G ebrauches.
D am it ihre G enauigkeit V ertrauen erwecke, ist es nöthig, dass die
iv VORWORT.
Berechnungen w ahr seien, deren R esultate fehlerfrei gedruckt und dass die dies bezweckenden M itteln offen dargelegt werden.
U m die G enauigkeit bei dem D rucke zu sichern, w urde folgende A nordnung befolgt.
D ie stereotyp A usgabe von C allets L ogarithm en w urde m it d er Folio-A usgabe V ega’s (1 7 9 4 m it 10 Ziffern) verglichen u n d die lezte erhöhte Ziffer in C allets T afeln m it rother D inte bezeichnet. A lle diese Endziffern sollten m it einem P u n k te u nter denselben gedruckt werden. Diese m it unteren P u n k ten versehenen K arak tere wurden neu gegossen, so auch kleinere als jen e d e r T afel. Diese lezteren sind dort angew endet, wo die dritte Ziffer eines L ogarithm wechselt.
D ie Probe-A bdrücke d er gegenwärtigen T afeln wurden dreim al vergliechen : 1 tens. m it den bezeichneten C allet’s, 2tens. m it H u tto n ’s Logarithm en 1804, und 3tens. m it V ega’s Folio 1794. H ie ra u f w urden sie nach dem D rucke aberm als m it V eg a’s bis 100,000, und die lezten 8,000, m it C allet’s, endlich ntens. die ersten 20,000 m it B rigg’s T rigonom etria artificialis folio Gouda? 1633 vergliechen.
N achdem sie stereotypirt waren, wurden die A bdrücke 6tens. bis 47,5 0 0 m it V ega, 7tens. m it dem G anzen des G ardiner 4° London 1742, 8tens. m it T ay lo r’s 4° 1792, und 9tens. d u rc h andere L eser aberm als mit. T a y lo r’s vergliechen.
D er V erfasser k annte früher schon, m it welcher G enauigkeit die Pressen des H e rrn A pplegath, izt H e rrn Clowes, T afeln lieferten, und das gegenwärtige W erk erfreute sich d er sorgevollen Aufsicht des H e rrn Cox, V orsteher d er A nstalt, dem es vorzüglich seine genaue A usführung verdankt.
In den m it 10,000 anfangenden und m it 108,000 endigenden T afeln wurden vor dem Stereotypiren 10 F e h ler entdeckt, von welchen 8 in dem ersten Bogen enthalten waren, bevor H e rr Cox sein System in A usübung brachte. U n te r den Differenzen waren 4 Fehler.
U n te r den p unktirten Ziffern, deren V erfertigung und C orrectur schwieriger ist, wurden 18 fehlerhafte gefunden.
D a diese gegenwärtigen T afeln zum baldigen G ebrauche mit U ngeduld erw artet w urden, m ussten sie schnell gedruckt werden, dam it zur T rocknung der F arb e noch vor dem B inden Zeit übrig bleibe. N ach dem Stereotypiren wurden noch in den L ogarithm en 7 F ehler, und unter den Differenzen einer entdeckt. Diese sind in den P latten alle verbessert.
Bei dem vierten Vergleich m it V ega’s wurden 93 F alle beobachtet, in welchen die drei lezten Ziffern in diesen Tafeln 500 waren. D a diese T afeln in sich selbst bis zur nächsten E inheit richtig sind, war es nicht gewiss, ob die 8te, 9te, und lOte Ziffer bei einer grösseren Stellenanzahl nicht 499 seyn sollte, in welchem F alle die lezte Ziffer in einer Tafel von 7 Stellen nicht zu erhöhen wäre.
So ist d er Log. von 1 0 1 1 7 = 0050517 500.
VORWORT. v aber der Log. von der nem lichen Z ahl m it 7 Stellen ist nicht 0050518., weil d er Log. m it 12 Stellen -0050517 4 9 9 93. und die 8te Stelle wirklich 4 ist, folglich der Log. m it 7 Stellen -0050517.
In 77 Fällen waren die lezten Stellen 499 oder 500.
In 14 Fallen waren selbe 4999 oder 5000.
U n d in 2 F ällen 49999 oder 50000.
E s w ar d a h er nothwendig in allen diesen Fällen die Logarithm en üb er 10 Stellen auszudehnen.
In m anchen der ersten Fälle wurden die Log. m it 15 Stollen
berechnet.
D a aber d er Verfasser w ährend demDrucke nach
P arisreiste, zog er die grossen M anuscript-T afeln P rony’s
zu
R a th e u n d substituirte die gefundenen R esultate.In B etreff jen e r A nordnung der Tafeln, von welchen die L eich
tigkeit ihres G ebrauches abhängt, giebt d er Verfasser folgende B em erkungen.
M it der H ülfe eines seiner ausgezeichneten Freunde prüfte er eine bedeutende S am m lung verschiedener T afeln um zu entdecken, von welchen typographischen U m ständen ihre Zweckmässigkeit abhänge.
W o sie eine m erkw ürdige K la rh eit oder D unkelheit bem erkten, bem ühten sie sich die U rsache d er E rscheinung zu entdecken. A us dieser U ntersuchung enstand folgende Sam m lung von R egeln, von welchen einige um m ittelbare Zustim m ung erheischten, wogegen andere zweifelhafter E igenheit waren.
ltens. D ie K larheit, oder Leichtigkeit im Lesen h än g t nicht allein von d er Grösse der K arak tere ab, sondern vielm ehr von dem V erhältniss derselben zu dem Z w ischenraum u n ter den Zeilen.
2tens. Ziffern von derselben, oder nahe derselben H öhe, sind jenen, die über die anderen hervorragen, oder u nter sie herabsinken,
vorzuziehen, d a sie den Zwischenraum d er R eihen weniger stören.
Dies ist um so m ehr nöthig, wenn es aus irgend einem G runde wünschenswerth ist, m anche der Ziffern durch L inien, P u n k te oder andere Zeichen, welche über, oder u nter sie gestellt werden, zu unterscheiden.
3tens. Linien, die senkrechte Reihen theilen, sollen nicht in die M itte des R aum es gestellt werden, sondern nahe zu den L ettern.
Die F olge dieser S tellung d er senkrechten Linien ist, dass neben einer jeden Reihe ein lichter S treif bleibt, w elcher nicht allein der R ichtung des A uges beihilflich ist, sondern die L inie selbst dunkler und deutlicher m acht. Dasselbe Prinzip ist au f die horizontalen Linien anzuwenden.
4tens. W enn m anche T heile d e r Tafel bestim m ter als es gewöhn
lich d urch L inien geschieht, abzuzondern wären, ist ein einzelner schw arzer S treif zweckmässiger als ein doppelter; u n d wenn es nothwendig ist, kann für eine nächste U n tertheilung eine noch dunklere Linie m it V ortheil angewendet werden.
vi VORWORT.
5tens. Je n e Ziffern, welche beim E ingang in die T afel zu erst gesucht werden, können entw eder durch Stellung, oder Grösse von den anderen unterschieden werden, dam it sie das A uge leicht treffe.
D a indessen ihre S tellung nicht im m er von unserer W ahl abbängt, können wir nur ihre Grösse ändern. V erschiedenheit der Farbe wäre in m anchen Fällen zweckmässig, doch die Schwierigkeit des D ruckes in verschiedenen Farben verhindert die allgem eine B enüt
zung derselben. In der gegenw ärtigen T afel sind die 4 ersten Ziffern der zu suchenden Z ahl, so wie die Ziffern oben und unten an den Seiten, m it grossen L ettern gedruckt. Indem die natürlichen Z ahlen m it grossen L ettern gegeben sind, werden sie bei U m w en
d u n g d er B lätter das Auge au f sich richten, drum wurde es für zweckmässig erachtet, auch die ersten Ziffern der Logarithm en mil denselben grossen L ettern auf jed er Seite oben anzum erken, dam it auch diese m it L eichtigkeit gefunden werden können.
(»lens. In vielen Fällen ist es besser die Ziffer der Zehntel, H u n dertel und T ausendtel jedesm al, auch wenn sie unverändert bleiben, auszusetzen. D ie U rsache dieser Regel ist, dam it das A uge, um das G esuchte auffinden zu können, nicht so weit zu gehen habe.
D ie A nordnung d e r T afeln war ein G egenstand d er aufm erk
sam sten B etrachtung, und der Verfasser zog die grossen E rfah rungen seiner zahlreichen F reunde zu R ath e. Die am schwersten zu entscheidende F ra g e w a r : au f welche A rt die A enderung der 3ten Ziffer d er L ogarithm en bezeichnet werden sollte, wenn diese A enderung nicht am E nde einer Zeile S tatt findet ?
C allet’s M e th o d e : den R est d er Zeile so hinabzubringen, dass ein lichter Streif zwischen den beiden aufeinander folgenden Zeilen übrig bleibe, findet vielen Beifall. Sie erleidet jedoch m anchen E in w u rf: die leeren Zwischenräum e erfolgen nicht in regelmässigen Perioden, (gew öhnlich 1. nach 5 .), ein mom entaner U ibelstand, der Z eitverlust beim G ebrauche der Tafeln nach sich zieht. Diese M e
th o d e is t auch im W iderspruch m it dem allgemeinen Prinzip, welches der Verfasser zur Bezeichnung dieses U m standes festsezte. Dieses
Prinzip ist:
7tens. W elche A rt m an im m er annim m t um den W echsel der 3ten. Ziffer zu bezeichnen, soll sie so beschaffen seyn, dass wenn die 4 lezten Ziffern eines Log. geschieden werden, mögen diese in der M itte, oder an welch’ im m er für einem O rte der Seite sich befinden, sogleich sichtbar werden, ohne sich au f eine andere Stelle d e r T afel beziehen zu m üssen, ob die 3te Ziffer sich ändere oder nicht. Die von C allet angew andten lichten Streifen stim m en nur im Anfänge d er Tafel m it diesem Prinzip überein, doch sind in dem grösseren T heile derselben leere R äum e, welche keine A enderung der 3ten Ziffer anzeigen. Ein and erer E inw urf gegen diese M ethode ist:
dass die Ziffer der Logarithm en den Zittern ihrer entsprechenden natürlichen Zahlen gegenüber zu seyn aufhüren.
VORWORT. v ii
I-Iutton sezt, wenn die A enderung eintritt, eine Linie über die erste Ziffer. D iese M ethode ist nicht, zulässig, weil sie die Aende
rung der nachfolgenden L ogarithm en nicht angiebt. Derselbe E inw urf trifft die Bezeichnung m it Asteriks, wobei das Sternchen gewöhnlich dem nächst vor der A enderung liegenden L ogarithm en angehängt wird. In V ega’s T afeln sind die Sternchen gebraucht, sind jedoch bis zum E nde einer Reihe den vierten Ziffer-Stellen vorgesezt. Obwohl diese M ethode an sich nicht unzweckmässig ist, wurde sie hier darum nicht angewendet, weil dadurch R aum in der Breite verlohren geht, und die R eihe d er Secunden hätte aufgeop
fert werden m üssen.
D er N utzen dieses Theiles der Tafel war so sehr em pfunden, dass m an es vorzog, selbe m it kleineren, beiläufig halb so grossen K a ra k teren, als die anderen sind, zu geben, um R a u m für sie zu gewin
nen ; dieselben kleineren K araktere sind d o rt angewendet, wo eine A enderung der 3ten Stelle eines L o g : S ta tt hat. Sie sind so ge
staltet, dass sie nahe an die grösseren, und zwar untenan steh en ; hiedurch w ard D eutlichkeit, und leerer R aum , der dem A uge jedesm al beihilflich ist, gewonnen.
D urch die A nnahm e dieser kleineren K araktere ist noch d er V ortheil gewonnen, dass die Seiten nach je 5 Zeilen m it lichten Streifen in F eld er getheilt sind, die bei A ufsuchung d er L o g arith men grosse L eichtigkeit gewähren. G ebräuchlich ist es, diese F elder durch Linien zu bilden, es ist jedoch nicht bestim m t, welche Art vortheilhafter sei. Indess können beide verbunden werden, dann wird die D eutlichkeit grösser. W enn z. b. nach 5 Zeilen ein leerer R aum , u n d nach 10 Zeilen eine schwarze L inie abwechseln, wird die Tafel an D eutlichkeit bedeutend gewinnen. In den gegen
wärtigen T afeln ist diese A rt aus dem G runde nicht befolgt worden, weil ihr bei dem D rucke H indernisse im W ege stehen. Sich kreut
zende Linien zerfallen gedruckt in m ehrere T heile und nehm en sich nicht gut aus. D er Verfasser em pfielt denen, die diese Tafeln oft benützen, die Z iehung von Linien mit d er Reisfeder.
8tens. K önnen nützliche Zugaben ohne R aum verlust und grossen Küsten den Tafeln angehängt werden, soll dies im m er geschehen, n u r dürfen sie nicht so gestaltet seyn, dass sie das Auge von dem nö
ti g s t e n T heile der Tafel abzielien. In Bezug auf dieses Prinzip bezeichnete der V erfasser jed e Ziffer der lezten Stelle der L o g : bei welchen eine E rhöhung um die E inheit S ta tt fand. Z uerst sezte er den diese E rh öhung bezeichnenden P u n k t über die Z iffer; d a jedoch diese Bezeichnung auch bei den wiederkehrenden D ecim aüen ange
wendet wird, versezte er den P u n k t nach U nten.
An d er L inken einer jeden Seite der Tafel, geschieden durch einen breiten dunklen Streif, befinden sich die G rade, M inuten und Sekun
den, entsprechend den ihnen gegenüber stehenden natürlichen Z
ah-▼iii VORWORT.
len. Die N ü tzlich k eit dieser Z ugabe ist so gross, und ih r G ebrauch so häufig dass sie die beträchtliche K ostenverm ehrung überwog.
Indem die Seiten aus guten G ründen 50 Zeilen enthalten, können sie nicht m it ganzen G raden oder M inuten enden. D ies ist jedoch ein kleinerer U ibelstand, als der, welcher erfolgt wäre, wenn m an den Seiten 60 Zeilen hätte geben wollen. Sollte m an indess befürch
ten, die M inuten der ersten Columne oder die G rade der zweiten bei ihrem W echsel zu übersehen, so w ürden Streife m it farbiger D inte gem acht grossc Leichtigkeit in der U ibersicht gewähren.
U m beim G ebrauche der Logarithm en jede Störung zu beseitigen, sind die K arak te re in dieser Tafel d er Bögen kleiner, und iiberdiess d urch die breite L inie scharf begränzt.
9tens. W enn verschiedene Tafeln in einem B ande sind, sollen diese durch die K u n st des D ruckers so unterschieden werden, dass m an sie, selbst beim schnellen U m w enden d er B lätter leicht und bestim m t erkenne. Dies ist durch Linien und Einfassungen, L age und V erschiedenheit der K arak tere oder der D ruckfarbe zu erzielen.
Jed es B latt soll obenan eine durchlaufende A ufschrift erhalten, und wenn die T afeln aus einfachen Form eln entspringen, sollen auch diese Form eln oben erscheinen. E s giebt m anche U rsachen der U ndeutlichkeit der T afeln, die aus anderen Q uellen entspringen;
häufig geschieht es,
lOtens. D ass die eine Seite au f der anderen ab g ed ru ck t e rsc h e in t;
dies geschieht, wenn die Bögen vor der gehörigen T rocknung gebun
den werden, was sorgfältig vermieden werden sollte. H äufiger jedoch geschieht dies durch die schlechte Q u alität d e r angew andten
Druckerschwärze.
E in anderer F ehler ensteht, wenn,
I lte n s . D ie D urchsichtigkeit des P apiers die Ziffern a u f beiden Seiten erscheinen m acht.
U m zu versuchen,
12tcns. O b gefärbtes P a p ie r für die D eutlichkeit besser als das weisse sei, liess d er V erfasser in je d e r F arbe und N uance A bdrücke m a c h e n ; fast Alle, die er zu R a th e zog, stim m ten dem gefärbten P apiere bei, doch über die F a rb e selbst waren sie nicht einig. Gelb fand bei den M eisten den V orzug, u n d diese F arbe w äldte der V er
fasser für die erste Auflage. Dies gelb war im Anfänge zu dunkel, die F arbe schwand jedoch m it der Zeit, und d e r V erfasser empfahl das Bleichen derselben durch die A ussetzung d er Bögen-vor dem Binden-an die Sonne.
E s ist nicht wahrscheinlich, dass diese zuerst gewählte F arbe als die beste erkannt werde, und die E rfahrung m uss es uns lehren, welche vorzuziehen sei; vielleicht erfordern verschiedene Augen auch verschiedene Farben, und es ist nicht unwahrscheinlich, dass die eine F arbe beim Kerzeidiclit, die andere beim T ageslicht den Vorzug verdiene.
VORWORT. ix Ich habe zu r gegenwärtigen A usgabe die für das A uge w ohlthä- tigste F arb e gewäldt, u n d fand in d e r trefflichen M anufactnr des H errn Bonson ein schönes blasses G rün, das den Beifall des Verfas
sers und vieler M änner gewann. D a indess dieses P a p ie r für M anche zu Kostspielig seyn dürfte, liess ich die H älfte der Auflage a u f weisses P ap ier drucken.
Ka r l Na g y. London, 1. October, 1834.
E IN L E IT U N G .
VON DEM GEBRAUCHE DER LOGARITHM EN-TAFELN.
D ie in der T a fel enthaltenen L o g arith m en sind alle als positiv u n d m it dem D ecim alpunkte versehen vorausgesezt.
D er Index eines Log. ist eine ganze, den Decim alstellen voran
gehende Z a h l; möge diese positiv oder negativ seyn, wird sie nach folgenden Hegeln erhalten.
D er Index eines Log. von welch im m er Z ah l, die grösser ist als die E inheit, ist gleich der A nzahl der Ziffern, m it welchen die Z ah l geschrieben ist, weniger E in s; so ist der Index 3 des Log. von 365*2.
D er Index eines D ecim albruches ist eine negative Z ahl und gleich der Einheit hinzugegeben die A nzahl der N ullen, die um m ittelbar au f den D ecim alpunkt folgen; so ist der Index— 3 des Log. von '00462, u n d — 1 von Log. 0-462.*
S ta tt des negativen Index sind m anchm al ihre Complemente zu 10 angewendet, und -f 7 u n d + 9 s ta tt— 3 und — 1 gesezt. In diesem F alle w erden d an n im G ebrauche die 10er weggelassen.
1 Au f g a b e.
Den L og. einer gegebenen Z ahl zu finden.
lte r F all. B esteht die Z ahl aus weniger als 4 Ziffern, so wird ihr Log. in den 5 ersten Seiten der T afel, gegenüber der Z ahl gefunden.
E s sei d er Log. von 462 zu suchen. A u f d er 2ten Seite der T afel 5te R eihe gegenüber von 462 ist d er D ecim altheil seines Log. = -6646420 zu finden; diesem der Index 2 an gehängt ist der gesuchte Log. von 4 6 2 = 2-664642Q.
2 te Au f g a b e.
B esteht die gegebene Z ahl aus 5 Ziffern, so wrerden die ersten 4 derselben in der m it Nu m. bezeichneten Columne, die 5te aber oben zwischen den grossen L ettern gefunden. D ie ersten 3 Ziffern des Log. sind entw eder in der R eihe der Z ah l, oder wenn da keine sich befinden, ü b er dieselbe en th alten , die 4 lezten Ziffern des Log.
* D a der Decimaltheil des Log. nicht negativ ist, ist es besser das Zeichen—über den Inde* zu setzen; also 3 sta tt —3.
EINLEITUNG. xi aber dort, wo die senkrechte Columne d er 5ten Ziffer der gegebenen Z ah l m it der horizontalen der 4 ersten zusam m entriflt. W enn die erste Ziffer dieser 4 lezten D ecim alstellen des L og. m it kleinen K arakteren gedruckt ist, sind die zu selben gehörigen 3 ersten D eci
m alstellen u nter der gegebenen Z ahl zu finden.
Z u suchen der Log. von 31274 ?
In d er an 3127 liegenden C olum ne findet m an 495 als die 3 ersten Stellen des Log. In dem Anstosse der m it 4 bezeichneten senk
rechten Colum ne m it d er horizontalen d er 3 1 2 ’7, findet m an die 4 lezten Stellen des Log. 1834. D a die Z ahl aus 5 Ziffern besteht, ist 4 ih r Index und d er Log. von 31274 ist = 4-495i834.
Zu suchen der Log. von 296 51 ?
In derselben Zeile der 2 % 5 in d er nächsten Colum ne sind die 3 ersten Ziffern 4 7 2 als D ecim altheile des Log., und in derselben Reihe in d er m it 1 bezeichneten verticalen Columne die 4 lezten Ziffern desselben 0393. H inzugefugt den Index 2, ist der gesuchte Log. von 2 9 6 -5 1 = 2-4720393.
3 te Au f g a b e.
D en L og. einer Z ahl bestehend aus 6 oder 7 Ziffern zu finden.
N achdem der Log. der 5 ersten Ziffern auf die erw ähnte A rt ge
funden wurde, sucht m an in den kleinen, m it Diff. bezeichneten Tafeln, den für die 6te Ziffer gehörigen DecimalthcU des Log. und addirt ihn zu den für die 5 ersten Ziffern bereits gefundenen; der D ecim altheil für die 7te Ziffer der gegebenen Z ahl ist ebenfalls in
funden wurde, sucht m an in den kleinen, m it Diff. bezeichneten Tafeln, den für die 6te Ziffer gehörigen DecimalthcU des Log. und addirt ihn zu den für die 5 ersten Ziffern bereits gefundenen; der D ecim altheil für die 7te Ziffer der gegebenen Z ahl ist ebenfalls in