Österreichische
Nationalbibliothek digitalisiert mit Google
A'termeszetes szamok logarithmai 1 töl 108000 ig.
Clowes
London 1834
Signatur: 177167-C Barcode: +Z183848204
Zitierlink: http://data.onb.ac.at/ABO/%2BZ183848204 Umfang: Bild 1 - 270
Nutzungsbedingungen
Bitte beachten Sie folgende Nutzungsbedingungen: Die Dateien w erden Ihnen nur für persönliche, nichtkom m erzielle Zwecke zur V erfügung gestellt. Nehmen Sie keine autom atisierten A bfragen vor. Nennen Sie die Österreichische N ationalbibliothek in Provenienzangaben. Bei der W eiterverwendung sind Sie selbst für die Einhaltung von Rechten Dritter, z.B. Urheberrechten, verantwortlich.
Hinweis: Das Dokum ent enthält hinterlegte Textdaten, die eine Suche in der Datei ermöglichen. Diese Textdaten w urden m it einem autom atisierten OCR-Verfahren ermittelt und weisen Fehler auf.
lONALBißLIOTHEKj
IN W I E N
\
I
^
¿ ¿ Ő t ¿ c / t d t f e s * ?• ' (j>.> e Y ? f* 7 ¿V i » / « / / <» ( r '
* f f ' / r
A’ TERM ÉSZETES SZAMOK
L O G A R I H T M Á I
l«i 108000 ig.
S Z B R K B Z T E T E
BA BBAG E K Á R O LY ESQ. M.A.,
M A TIIB SIH I.U C : PRO PF.SSO R A A* C A M B R I1X U UN1V : a’ J .E O J B I.E S H T U JX ÍS i n t e z e t e k t a o j a b t c. e t c.
S T E R E O T Y P -H A R M A D I K K IA D Á S .
E S Z ltÜ Z L B
NAGY K ÁROLY
t | /
•a' m a q y: t u d: t a h s: i.b v: 's a z a m e r: p h t l o s; t á r s: r e n d: t a o j a,
LONDON:
NYOM TATTATOTT A’ MAGYAR T U D Ó S TÁRSASÁG SZAMARA.
1834.
1 vilii?' C
LONDON
N Y O M T A T T A T O T T C L O W E S VILM OSN ÁL S T A M F O R D -8 T R E B T .
E L Ő S Z Ó .
M i n d a m e l l e t t hogy a’ Iogarithm i tálblák szám a nagy, gyakorta látunk újabb újabb kiadásokat különböző alakban és kiterjedésben.
Jele hogy a’ régibb táblák vagy hibásak, vagy alkalm atlanok, vagy költségesek; egyszóval m indegyik új táb la kiadója talál a’ többiben olly valam it egyfelől, m it tulajdon táblájába felvenni nem akar, kíván pedig másfelől hozzáadni némelly javításokat, tenni benne változáso
k a t ítélete és tapasztalása szerint.
A ’ nagy és kiterjedett táb lák mint V égáé (folio), Briggé ’s több illy ’, a’ m indennapi h asználatra csakugyan a lk a lm a tla n o k ; a ’ tíz és több jegybölálló logarithm ák pedig töbnyire feleslegesek. Szükséges
lett (tehát a ’ kissebb ’s rövidebb táblák szerkeztetése.
Ú g y látszik azonban hogy, mindezen újabb táblák majdnem egy eredetűek ’s am a végtelen szorgalom által készültek’ szülöttjei.
H ibem ia felmérése, ezelőtt néhány évvel kezdetett, s’ most is foly- tatik. A ’ földmérők szám ára szükségesnek találtatott, valamely a’
lehetőségig hibátlan Iogarithm i tábla készítése, ’s e’ végre különféle táblák hasonlítanak öszve figyelemmel. Több egym ástól tetszőleg független kiadásban hat ugyanazon nevezetes hiba találtato tt. Ezen különös egybeíités, számos bel és külföldi tá b la ’ kiterjedett visgála- tá ra vezetett. T izenhárom különféle L ondonban 1633 és 182*2 közt nyom tatott tábla, ugyan ezen hat hibában egyezettm eg; két párisi, egy goudai, egy avignoni, egy berlini és egy florenczi szinte ezen h at hibával volt illetve. E gy a’ királyi társaság könyvtárában lévő khinai papirosra khinai betűkkel nyom tatott táb la visgáltatvánm eg, benne is ezen hat hiba találtatott.* V égában és Callett. újabb k ia d á
sában a’ hibák nem voltak. H ih ető tehát hogy, mindezen táb lák a’
khinait kinemvéve, egymástól eredtek. A ’ legrégibb ezen h a t h ib á val illetett tábla V laqué (folio G oudae 1628) ’s lehető hogy általa terjedett el az valamenyibe.
* Memoirs Astr. Soc. Vol. I I I . p- 6i.
A 2
iv ELŐSZÓ.
B abbagc logarithm ái,— az em lített nagy földmérési m unkára készülvén ’s használtatván— olly nagy figyelemmel m unkával és költséggel szerkeztettek, hogy hasonló áldozatokat valamely m ás kiadásnál várni nemlehet.
A’ szerző figyelmét a ’ jelen tá b la ’ kiadásánál két dolog vette főkép’
szám ba : ennek tökélletesléte ’s a ’ könnyűség m ellyet a szám ítónak nyújtson használatánál.
H o g y a’ táb la bizodalmot nyerjen szükséges hogy, szám ításai igazok legyenek, ezeknek következései pedig hibátlan nyom tassanak, és hogy az ezt czélzó eszközök nyilván előadassanak.
A ’ nyom tatás következőkép’ intéztetett.
C allet’ logarithm áji’ Stereotyp kiadása Véga’ táblájával (1794, 10 jeg y ű ) hasonlítatott, ’s C allet’ lóg. utolsó jegye veres tentával jelöítetettm eg ott, hol az, az egységgel nagyobbítva van. Ezen kijelölt jegyek, alól pontokkal ellátva öntettek, öntettek egyszersmind apróbb jegyek is, az utóbbiak ott használtatván hol a ’ logarithm ák’
harm adik jegye változik.
Az elönyom atok három szor visgáltattak ; öszvehasonlítván azokat lször C allet’ kijelölt táblájával, 2szor H uttónéval (1 8 0 4 ) és 3r V éga’ foliójával (1794). A ’ nyom tatás u tán 4 r ism ét V égával 100Ö00 ig ’s az utolsó 8000 C allet ’tál, 5 r végre az első 20000 Brig- gel (triggou. artific. f: G oudae 1633.)
Stereotypáltatván, a ’ nyom atok 6 r 47500 ig Végával, 7r egészen Gardinenrel (4° London 1742), 8r T aylorral (4° London 1792) ’s 9 r m ás olvasók által ism ét T aylorral hasonlítattak.
M ár rég tu d ta a ' szerző m elly tökélletességgel nyom tattak illy táb lák Clowes u r jeles műhelyében, de különösen Cox úrnak az intézet főfelügyelőjének köszönheti a’ m unka remek készületét, vala
m int ezen harm adik, m agyarkiadás is, mellyben m ind az eddig talált hibák m egvannak javítva.
A ’ negyedik öszvehasonlításnál Végával 93 eset vétetett észre m ellyben V éga ló g : 3 utolsó jegye 500. N o h a Végában mindezen 9 3 ló g .: a’ lég közelebbi egységig igsw, mégsem volt bizonyos, vallyon nem 499 é a ’ 8, 9 és 10 dik hely, h a a’ jegvekszám a fellyülm ulja a ’
10 et ? Ezen esetben a ’ 7 jegyű lóg. utolsó jegye nem lenne nagyob- bítandó.
íg y 1, 0117 lóg. = 0050517500, de ezt hét jeggyel adván nem - rehet -0050518 m ert 12 vei 0 0 5 0 5 1 7 4 9 9 9 3 ,’s m inthogy a ’ 8 dik helyen 4es áll, a ’ 7 jegyű lóg. csak 0050517 m arad.
A ’ három utolsó jegy 77 esetben volt 499 vagv 500 14 ben 4999 v agy'5000.
és kettőben 49999 vagy 50000.
Szükséges lett te h á t m indezen esetben a ’ logarithm ákat 10 jegyen fellyül számítani.
Az elsőbb esetek közziil néhány m ár 15 jeggyel k i volt szám ítva, m időn a ’ szerző P a risb a útazván m ás okokból, alkalm asabnak ta lá lta
ELŐSZÓ. v
Prony nagy kézirat táb lájit venni tanácsul, ’s belölle pótolni ki a’
kérdéses helyeket.
A ’mi azon elrendelését illeti a’ T áb lán ak , m ellytöl a’ veleéllés’
könnyűsége függ. kővetkező észrevételeit ad ja a ’ Szerző.
E lővett tetem es gyüjtem énnyéböl nagyszám ú mindenféle táblákat, 's m indegyik kötetet szorgosan megvisgálván jeles barátjával, azon okokat kereste mellyek vagy világosságot vagy hom ályt eszközlének.
A ’ visgálatból ném ely rendszabások k e rü lte k ; ezek részszerént tiisténti elfogadást kívántak, részszerént kétes tulajdonúak voltak.
1. A ’ tisztaság, vagy az olvasási könnyűség, nem csupán a ’ betűk vagy jegyek nagyságától függ, de fökép’ azon iránytól m ellyben azok a’ sorokküzti üregekhez állnak.
2. Egyféle m agosságú jeg y ek m indenkor jobbak az egyenetlenek
nél, m ert így egyenes vonallá lessz a’ sorokközti üreg. Ez annyival szükségesebb hogy hely m aradjon h a a ’ jegyekfelibe pontokat vagy vonalt kell tenni.
3. A ’ vonalokat sohasem kell a ’ sorok’ közepébe tenni, de m in
denkor közel valam ellyikhez. íg y egy könnyen észrevehető fejér
vonal m arad a ’ két sor közt, ’s ez a’ szemet segélli, ’s a' vonalt m agát is nyilvánabbá, feketébbé tészi.
4. H a a ’ tábla valam elly részét szorosabban elkeli válosztani a’
többitöl, m int ez közönségesen szokott történni, a’ vastagegyes fekete vonal jobb a’ k e ttő sn é l; ’s h a m ég egy osztály következne ez is helye
sen különböztetik egy m égvastagabb vonal által.
5. A ’ keresendő elsöjegyek, vagy nagyságok vagy fekvések által tétetnek szem betűnőkké. H elyek’ és állások’ válosztása nem lévén m indenkor hatalm unkban, különböző színeket haszonnal lehetne a lk a lm a z ta tn i; ezekkel azonban sokkal bajosb a ’ nyom tatás m intsem hogy közhasznú lenne a ’ velökéllés. Jele n táb lák b an a’ term észetes szám ok nagy betűkkel vannak nyom tatva, ’s a ’ lapon fellyül is alól is könnyen éri őket a’ szem ; szinte nagy betűkkel vannak adva a ’ lapok’
felső részén a ’ logarithm ák’ első jegyei.
G. Sok esetben jo b b a’ tizedes szám ok’ három első je g y é t m in denkor kitenni, h ab ár ez több ideig is, változatlan ugyan a ’ lenne.
O ka hogy a ’ szem ne téb o ly o d o n még m eg leli.
A ’ táb la’ elrendelése a ’ leghgyelmesb tekinteteknek volt tá rg y a ; a ’ szerző itt számos b a rá ti’ nagy tapasztalását vette tanácsul. L e g nehezebbnek látszott e’ kérdés eldöntése. Hogy kellessen a ’ l ó g : 3- dik jeg y é t m egjelölni h a ennek változása nem épen a’ sor végén történ ?
C allet’ m ódja soknak te ts z e tt; C allet t : i : a1 sor részét úgy viszi le hogy a ’ két egym ásutánni sorközt világos üreg m arad. De ezen világos sorok rendetlen szakaszokban esnek (5 után 1 közönsége
sen) ’s a ’ szám ításnál alkalm atlanok. D e ellene is volt e’ m ód a’
szerző elevének, melly ez.
7. B árm int jelöttessen a ’ h arm adik jegy változása, az úgy történjen
VI ELŐSZÓ.
hogy, legyen a ’ m egm aradó négy jeg y akarm ely részén a ’ lapnak, m indenkor nyilván és egy tek in tettel észre lehessen venni hogy, változik é a ’ kérdéses 3 dik je g y vagy nem ?
C alletnál csak a ’ tá b la ’ elejin látni ezen változást, de nem m ár többé annak nagyobb részében. Az is baj itt hogy a ’ ló g : jegyei nincsenek többé a ’ hozzájoktartozó természetes szám ok’ általellené- ben. H u tto n vonalt tészen a ’ változó je g y ’ fölibe, de a ’ következő ló g : változását nem jelöli. Szintígy van a ’ csillagokkal is. V éga azon
ban ezeket a’ sor végéig folytatja. N o h a a ’ csillagokkali jelölés m agában nem rossz, itt azért nem vétetett haszonba, m ert a ’ csillagok sok helyt kívánván a’ táb la' egyik igen hasznos részét eltolták volna.
K is betűk jelölik teh át a ’ 3 d ik je g y ’ változását ’s az által hogy lefelé közel esnek az utóbbi 3 jegy m ellé, egy kis világos üreget is hagynak, a ’ m i a’ szemrenézve m indenkor kívánatos.
A ’ kis betűk’ felvételével a ’ lapok 5, 5 sor után bizonyos osztá
lyokba estek a’ világos üregek által. Szokás az illy osztályokat vona
lok által is képzelni, de nem bizonyos mellyik mód jo b b . T án a’ két
féle egybekötve legalkalm asb lenne. A ján lja a’ szerző, azoknak kivált k ik gyakorta használják a ’ táb lák at, hogy tentavonalokkal osszák bizonyos részekre a’ lapokat.
8. H a valam elly hasznos hozzáadásokat leh et a ’ táblához ragasz
tani, azokat, kivált h a igen sok helyet nem kívánnak vagy nem fe
lette költségesek, sohasem kell elhagyni. E z ’ okból jelöltem eg a’
szerző m indazon lóg : utolsó jeg y é t m elly az egységgel nagyobbított azáltal, hogy a ’ jeg y alá pontot tett.
A ’ lapok’ b al oldalán vannak a ’ G rádok M inúták és Sekundák általellenben a ’ hozzájok tartozó term észetes szám oknak, elválosz- tatván ezektől egy vastag vonal által,
Ezen hozzáadás’ haszna olly nagy, a ’ szükség reá olly gyakori, hogy hozzáképest a ’ valóban tetem es költséget sem lehetett, tekintetbe venni, m ellyet okoza. A’ sorok szám a a ’ lapokon több okokból 50 lévén, a ’ G rádok’ vagy M in u ták ’ egésze nem jö h e te tt a ’ lapok’ végére.
Ez azonban kissebb baj annál a’ mi bizonyosan következett volna l*a a ’ lapok 60 sort foglalnának m agukba. M egkülönböztetni azon
b an és észrevehetőbbé tenni őket, színes vonalokkal igen helyes lenne.
9. I l a egy kötetben töbféle táb la van felvéve, úgy különböztessenek ezek m eg egym ástól a’ nyom tató’ mestersége által, hogy m indegyik külön tábla, a ’ lapok’ sebes forgatása m ellett is könyen legyen észre
vehető. Eszközök erre, a ’ vonalok, korlátok, a ’ betű k és festék különb
sége. Kitéve legyen m inden lapon felyül a ’ táb la tartalm a, ’s h a a ’ táb la egyszerű alakból szárm azott ez is m egjelenhet ott.
A ’ táb lák ' homályos létének, m ás kútfőkből eredő okai is vannak.
G yakorta m egtörtén, hogy.
10. E gyik lap tarta lm a a ’ másikon is levan nyomva, ez akkor szokott megesni, h a az ívek nem egészen szározak, ’s béköttettck.
G yakortább ok a azonban a ’ nyom tató festék’ rósz volta.
ELŐSZŐ. v i i
M ás hiba ha.
11. A ’ papiros vékony ’s a’ nyom tatás m indkét oldalán látszik.
12. H ogy m egtudhassa végre a ’ szerző, vallyon nevelné é a ’ táblák tisz ta ’s világos létöket a ’ színeit papiros, m inden színű papirosra nyom tattatott példányokat. M indazok kiknek tanácsát vévé, egyér- telem m el egyeztekm eg abban, hogy a’ színeit papiros elébvaló a ’ fejér
nél, de nem abban hogy m ellyik szín legyen a ’ legjobb. A ’ többség ítélete a’ sárgára esett, ’s a’ könyv első kiadásához csakugyan azt választá a ’ szerző. Ezen sárg a— m elly kivált gyertyavilágnál jó l tünteti a’ nyom tatást— eleinte setétes volt, de idővel halavánobbá l e t t ; ezen okból ajánlá a ’ szerző, hogy az ívek a ’ békötés előtt napvilágnak tétessenek ki.
N em hihető hogy ezen elsődször választott szín m int legjobb m eg
m aradjon, ’s a’ tapasztalás fogja m egm utatni m ellyik érdem li az elsőséget. K ülönbféle szem tan különböző színt kíván, ’sle h e tő hogy egyik szín a ’ nap, m ásik pedig a ’ gyertyavilágnál jobb.
En ezen h arm ad ik kiadáshoz— a’ szem legkedveltebb színét— a’
zöldet választottam . N éhány példányt setétes sárgára nyom tat
tattam , egy részét a’ kiadásnak pedig fejérpapirosra— m ellynek árra egy negyeddelkissebb— hogy többen is ju th assan ak a’jeles m u n k a’ b ir
tokához. A ’ színeit papiros csupán ezen kiadásra készült és csaku
gyan 14 nap a la tt Bonson ú r derék gyárában az általam választott színek szerént. Ezen színek an y ira m egnyerték a ’ szerző kedvét, hogy m indegyikre nyom tattatott egypár száz példányt ezen h a rm a dik kiadásból, m a g a részére.
Na g y Ká r o l y. L ondon 18° Október 1834.
B E V E Z E T É S .
Á L O G A R ITH M I TÁ B LÁ K HASZNÁLATÁRÓL.
F e l t é t e t i k h o g y a ’ t á b l á b a n lé v ő l o g a r i t h m á k m i n d á l l í t ó k ’s e l ő t t ü k a ’ t iz e d e s p o n t v a n .
V alam ely ló g : m utatója, egy a ’ tizedes helyet m egelőző egész
szám ; legyen az állító vagy tagadó, következőleg talá ltatik meg.
A karm elly az egynél nagyobb szám ’ l ó g : m u tatója, egyenlő a’
jegyek szám ával m ellyekkel a ’ szám írvavan, le vonván belölle eg g y e t:
így 3652 tö lóg: m u tató ja 3.
A ’ tizedes törtszám l ó g : m u tató ja tagadó, ’s egyenlő az egyhez hozzáadván annyit a ’ hány üres áll a ’ tizedes po n t után. íg y 00462 ló g : m u tatója — 3, és -462 lóg : é — 1.*
A ’ tag ad ó m utatók h ely ett gyakorta vétetnek azoknak egészítőji tízhez, é s + 7, + 9 iratik — 3 é s — 1 helyibe. A ’ további szám ításnál a’ 10 sek ism ét elhagyatnak.
I ö Ké r d é s. V alam elly szám ’ lo g a rith m á já t meglelni.
1« E set. H a az adott szám 4 jegynél kevesebbül áll, logarithm ája a ’ tá b la ’ 5 első lapján ta lá lta tik a’ term észetes szám ellenében.
K eresendő 4 6 2 lóg. A ’ táblá m ásodik lapján 5 dik sor, 462- által- ellenében áll a’ ló g : tizedesrésze, '6646420. Éhez adván a ’ lóg:
m u tató ját m elly itt 2 , leszsz lóg 462 = 2 6646420.
I I Ké r d é s.
H a a z ad o tt szám 5 jegyből á l l ; 4 elseje a ’ N u m : felirású sorban, ötödiké pedig a ’ lapon felül a ’ nagy szám ok közt áll. A ’ ló g : három első jegye vagy a’ szám m ellett van, vagy h a sorában nincs, felette áll;
a’ 4 utóbbi pedig ott, ahol a’ szám ötödik jegyét foglaló sor azon fekvővel ü t össze, m cllyben a’ szám 4 első jegye találtatott. H a a ’ lóg: utóbbi 4 jegyének elseje kisbetűvel van nyom tatva, 3 első tizedes jegye az ad o tt szám a la tt van.
31274 lóg. kerestetik.
* M ivel a ’ ló g : tizedes l é s j e n em tag iu lú , h e ly e s e l o a t 1 e t íru i,— 3 v a g y — 1 h e ly e tt.
X BEVEZETÉS.
A ’ 3127 sorában van 495, ez a ’ lóg. első három tizedesjegye.
Ahol a ’ 4 fiiggösora a ’ 3127 fekvőjével Öszveüt o tt áll 1834 a ’ lóg.
4 utóbbi jegye.
M utatója 4 lévén, a ’ keresett lóg. 3 1 2 7 4 = 4 4951834.
296.51 lóg. kerestetik
M in t az elébbi m egtaláltatván, a ’ hozzátartozó m utató 2, ’s lessz.
lóg. 296-51 = 2 -4 7 2 0 3 9 3 .
I I I K é r d é s .
V alam elly 6 vagy 7 jeg y ű szám lóg. m egtalálni.
M eglelvén az 5 elsó jegyhez tartozó lóg. a ’ 6 diknak megfelelő szám a ’ táblácskában van ellenében ezen 6 dik jegynek, m elly a’ lóg.
m ár m eglelt részéhez a d a tik ; szinte a ’ kis táblában van a ’ 7dik jegynek megfelelő lóg. rész, csak hogy annak egy tizedrésze adatik a’ lóg. hoz.
keresendő lóg. 1 1 41285.
az első 5 jeg y ’ 114-12 lóg. mint. tu d atik . . . . 2 0573618 a ’ kistáblában 8 nak általellenében van . . . . 305 ... 5 nek . . . . 191, ennek tizede 19' 1
lóg. 114. 1285 = 2 -0 5 7 3 9 4 2 IV K é r d é s .
V alam elly logarithm ához tartozó számot m egtalálni.
Az adott lóg : 3 első jegye a ’ 0 felírásthordó függősorban van, ezen 3 jeg y fekvősorában talá lta tik a ’ 4 utóbbi je g y vagy tökélletesen, vagy valamivel kissebb szám az adottnál. U gyan ezen sorban van a ’ keresendő szám ’ 4 első jegye, ötödiké pedig felette a ’ függőben.
A ’ hatodik és hetedik szám meglelése végett, a ’ ta lá lt l ó g : levona- tik az adottból, ’s a ’ különbségnek megfelelő szám kerestetik a ’ kistáb lá b a n ; h a ezen különbség nagyobb m in t a ’ kistábla’ legnagyobb szám a, a ’ kettöközti különbség tízszer véve a ’ hetedik szám ot fogja adni.
A ’ 3 ,8 7 9 9 1 5 5 log.nak megfelelő szám kívántatik.
A ’ ló g : 3 első jegye’ 879 nek általellenében van a ’ szám 7 5 6 9 ; valamivel aláb 7584 sorában van a’ l ó g : 4 utolsó jegye. A ’ m int a ’ lóg : m u tató ja 3, a’ szám 4 jegyű ’s lessz = 7584'3.
A ’ 2 8650264 hez tartozó szám ot keresni.
A ’ táb la’ ehez lég közeleb ló g : 8650210, ’s a’ hozzá tartozó szám
= 73286.
A ’ lap különbsége 5 9 : ’s a ’ kistábla 54nél kissebb szám a 53, m elly a’ 9 nek felel m e g ; az 1 különbséget végre lOszeresen vévén legközelebb jö n a ’ 12 hoz m elly a ’ 2 nek felel meg. A ’ lóg : m utatója k ettő lévén a ’ szám 3 egész jegyből áll. A ’ szám ítás következőkép’ áll.
BEVEZETÉS. xi Az adott l ó g ... 2-8650264
A ’ hozzá lég közelebb ... 8650210- szám a 73286
9-
2- 732-8692 V K é r d é s .
Több szám ot egy m ással sokszorozni.
Az adott szám ok’ logarithm áji’ öszvese, a’ keresendő szármozat’
logarithm ája.
A ’ 2305 és 1 -46 közti szárm ozat kívántatik lóg. 2 3 0 5 ...3-3626709 lóg. 1 -4 6 ... 1643529
3 -5 2 7 0 2 3 8 = lóg 3365-3 73 04, 7*291, 7"2312, és 25-925 közti szármozat kerestetik.
lóg. 7 3 0 4 ... 1-8635608 lóg. 7 -2 9 1 ...-8627871 lóg. 7 -2 3 1 2 ...-8592104 lóg. 2 5 -9 2 5 ... 1-4137188 4-9992771
2741 ló g : 99833 30
3 1 ... 7 99833-7
I V I K é r d é s .
V alam elly számot egy m ásikkal elosztani.
A z osztandó lóg : ból levonatik az osztó’ lo g a rith m á ja ; a ’ különbség a’ keresett részes’ logarithm ája.
12-6740 osztandó 8-291 által.
lóg. 1 2 .6 7 4 0 ... 1-1029137 8-291 ... -9186069
•1843068 lóg. 15286 ... -1842939
--- 129
részes . . 1-52865 142
k ü lö n b sé g . . . . 54 á kistáblában 53 . . különbség . . . . 1
tizszer véve 10
á kistáblában . . 12 ád
xii BEVEZETÉS.
V II K é r d é s . V alam elly Szám ’ kívánt em elését m egtalálni.
Az ad o tt szám’ lo g arith m ája sokszoroztatik az em elés ’m u tatójá
val. A ’ szárm ozat, lo g arith m ája a ’ kívánt em elésnek.
3.1416 négyszege kerestetik.
lóg. 3-1416 ... 4971509 m u t a t ó ... .. 2 szárm ozat -9913018 9-8696 ... 2996
22
5 22
9-86265-
•4361 ötödik emelése kívántatik.
lóg. -4 3 6 1 ... í -6325861
m utató 5
szárm ozat 2-1979305
•1 5 7 7 3 ... 9143 162 6 ... 165
•0157736-
Itt a ’ tagadó m u ta tó —1, öttel sokszoroztatván — 5öt ád, de a ’ tizedes rész főhelye 6, 5tel sokszoroztatván 30at a7. az (m int közönségesen) állító 3 a t ád.
H a itt —1 helyibe annak egészítöjét a ’ 9 et vettük volna, a ’ m utató 8 á vált volna a ’ mi m aga is a ’ — 2ö egészítöje.
BEVEZETÉS. xiii
V I I I K é r d é s .
Az adott szám ' valamelly gyökerét m egtalálni.
A ’ szám’ logarilhm ája a ’ gyökérm utatóval elosztatik, a’ részes, lo g a r: a’ kívánt gyökérnek.
3'111592 négyszeg gyökere kívántatik.
lóg. 3 1 4 1 5 9 2 .
elosztván 2 vei
,. .0 4 9 7 1 4 9 $
1-7724-
•2485749 5617-
1-772454•
•434296 4 d ik gyökere kerestetik lóg. -4 3 1 2 % ... 1.6377858
1-9094464 4437 27 27
132 123 90 98
81179
• 8 1 1 7 9 5 á k í v á n t g y ö k é r . A ’ m int i t t —1, 4 által nem osztható, hozzá a d a to tt—3, de a ’ tizedes részhez is a d a to tt+ 3 úgy, hogy az első jegyből a ’ 6 ból 36 lett.
A ' K ét első sor’, ú Grádok' M inuták’ és Sekundák', haszonvétérijl.
IX K é r d é s .
M egtalálni hány Sekundából áll valam ely menyisége a ’ G rádok’
M inuták’ és Sekundáknak.
H a a ’ G rádok’ szám a 30 nál nagyobb, anyiszor vonatikle belölle 30°, m ig annál kissebb lessz.
1. H a a ’ m aradván kissebb m int 2° 4 6 ' 40", az első sorban talál- tatikm eg A’ S ekundák’ szám a az ív m ellett lévő term észetes szám.
H a a ’ m aradván nagyobb m int 2° 4 6 ' 40", 10" ig a ’ második sorban találtatik meg. A ’ m ellette lévő term észetes szám lOszer véve adja a’ S ekundák’ s z á m á t; hozzá adandók m ég a ’ Sekundák’ egyesei és tizedes részei is, h a illyenek vannak.
2. M inden levont 30° ért 108000ret kell a’ S ekundák’ számához adni. K ivántatik a ’ Sekundák’ szám a 2° 6 ' 5 1 " bán.
xiv BEVEZETÉS.
Az ív ellenében áll 7611 a’ Sekundák’ száma, ennek lóg : = 3-8814417.
K ívántatik a ’ S ekundák’ szám a ‘21° 13' 31" 2 bon. 21° 13" 30"
ellenében van 7641 ; ezt tízszerte vévén ’s a’ S ekundák’ egyes’ és tizedeseit hozzá adván m egleljük a’ kivánt sz á m a t= 7 6 4 1 1*2
X K é r d é s .
M eglelni m elly ív tartozik valam ely m enyiségü Sekundához.
Anyiszor vonasson le az adott számból 108000 mig ennél kissebb lessz m aradvána.
H a a’ m aradván kissebb 10000 n é l ; a’ hozzá tartozó ív az első sorban van. A ’ levont 108000 ért 30° hozzá adatik. H a nagyobb 10000 nél, az egyesek elhagyatnak valam int a’ tizedes részek is.
M eg lelvén a’ 4 első jegyhez tartozó ívet, hozzá adatnak az egyesek, tizedesek ’s m inden levont 108000 ért, 30°.
H án y G rád, M inuta és Sekunda van 1 0 9 1 2 1 "4 Sekundában ? Levonván b e lö lle ... 108000
M arad k ere se n d ő ... 1121 "4
1121 általellenében van 0° 18' 41", hozzáadván a ’. "4et és 30°at lessz a ’ kivánt ív = 3 0 ° 18' 41" 4.
T A B L E
O F T H E
L O G A R I T H M S
OF T H E
N A T U R A L N U M B E R S ,
1 to 108000.
C H A R L E S B A B B A G E , Es q., M .A.,
Lucasian Professor o f Mathematics trt the University o f Cambridge
,
F . R . 8 . L . AND K. HO N . M . R . I . A . P . R . A . S . F . C . P S.
SOC. P H IL O M A T H . P A R . SOC . C O R K , A C A l). D IJO N S O C ., ACAD. M A R S.
|£T ACAD. B R U X . SOC. C O R R ., HOC. P H Y S .K T 1 II 8 T .N A T .G E N .S O C .H O N ., IM P . K T RKC1. ACAD. M OD., IM P . B T R E G . ACAD. O F.O R G O F. F 1 0 R F .N T ., ACAD. L Y N C . R O M ., IM P . B T R E G . AC AD. P A D .
K T R K G . ACAD. N E A P . 8 0 0 . C O K ll., R E G . ACAD. H A P N I/K . SOC., K T K r.O . ACAD. MONAC 8 0 C 1U S C O R R , & C .
S T E R E O T Y P E D . — T H I R D E D I T I O N .
LO N D O N :
P R IN T E D FO R T H E H U N G A R IA N ACADEMY OF SC IEN C ES.
1834.
L O N D O N : P R I N T E D BY W I L L IA M C L O W E « ,
D uk e S tiv e t, Lain b el h .
TO
LIEUTENANT-COLONEL COLBY,
OF T H E ROYAL EN G IN EERS
L.L.D. F.K.S. Jtc. &c.
T H IS T A B L E O F L O G A R IT H M S
18 I N S C R I B E D nV
H I 9 F A I T H F U L F R I E N D ,
C H A R L E S B A B B A G E .
P R E F A C E
I n presenting to the public a new table o f Logarithms, two things particularly dem and the attention o f the editor— their correctness, and the facility with which they can be used by com puters. I n order to give confidence in their accuracy, it is necessary th a t the calculations should be true, and th eir results correctly p rin ted ; and th a t the m eans by which this has been attem pted to be accom plished should be fully stated.
T he following arrangem ent was adopted for the purpose o f insur
ing accuracy in the printing.
A copy o f the stereotype logarithm s o f C allet was carefully read over w ith th e folio edition (1794) o f V ega’s logarithm s, to ten figures, and whenever the last figure in C allet’s logarithm s was found to have been increased, it was markedNvith red ink. All th e term inal figures thus m arked were to be printed with a d o t below them.
Types were cast having dots below the figures, and also others with the figures sm aller than those in th e body o f the table T h ese la tte r were to be em ployed whenever th e third figure o f the loga
rithm changed.
T h e proofs o f the p resent tables were read th ree tim e s : 1st, with the m arked copy o f C allet’s lo g a rith m s; 2dly, with a copy o f H u tto n ’s logarithm s, fourth edition, 1804 ; 3dly, w ith a copy o f V ega’s logarithm s, folio, 1794.
T hey were now received from the printer, and were again com pared w ith the logarithm s o f Vega as far as 1 00,000; the last 8,000 being read with those o f C allet öthly, T h e first 20,000 were read with those in the T rigonom etria Artificialis o f Briggs. Folio.
Goudse, 1633.
T hey were n ex t returned to th e printer, and stereotyped, and the proofs from the plates were read ; 6thly, w ith the logarithms o f Vega as far as 17,500 ; 7thly w ith the whole o f the logarithm s o f G ardiner,
vi PR EFA C E.
4to. London, 1742; 8thly, w ith the logarithm s o f Taylor, 4 to . 1792;
and 9thly, by a different set o f readers they were again read with the logarithm s o f Taylor.
I had already experienced the accuracy o f tables printed at the press o f M r. Applegath,* and to th e constant attention of Mr. Cox, the superintendent o f th a t establishm ent, the present work is m aterially indebted.
]n the table o f logarithm s beginning a t 10,000, and term inating a t 108,000, the readers, previous to the stereotyping, detected ten errors o f figures, eight o f which occurred in the first sheet, before th e system o f work, which M r. Cox had arranged, had well got into action. Am ong the differences, there were four errors.
A m ongst the dotted figures, which were m uch m ore difficult to correct, and which the prin ter had fewer m eans o f making accurate, there were found eighteen erroneous.
From the circum stance of these logarithms being wanted for im
mediate use, it was necessary to print them as soon as possible, in order to allow o f tim e for the ink to dry and harden previous to binding. In the readings, after stereotyping, seven errors were discovered in the logarithms, and one in the differences. These have been corrected in the plates. For the whole of the readings subsequent to the third, I am indebted to the kindness of L ieu- tenant-Colonel Colby, under whose direction they were exe
cuted.
In the fourth reading, with Vega’s logarithm s to ten figures, 93 cases were observed in which the last three figures in those tables were 500. As those tables were themselves true to the nearest unit, it was n o t certain w hether, if these logarithm s were given to a g reater num ber o f figures, th e 8 th , 9 th , and 10th m ight not be 499, in which case the last figures o f the table to seven figures, ought n ot to be increased and dotted.
T hus the logarithm s o f I 0117 is
•0050517 500 ;
but the logarithm o f the same num ber to seven figures is not
•0050519, because the logarithm to twelve figures is
•0050517 499 93,
and the eighth figure being really 4, the true logarithm to seven figures is
•0050517.
In seventy-seven instances, the figures succeeding th e seventh were 499 or 500.
In fourteen instances, those figures were 4999 or 5000.
And in two cases, they were 49999 and 50000.
I t becam e necessary therefore, in all these cases, to have the logarithm s carried to m ore th an ten figures.
* N ow that of Mr. Clowe«.
PR EFA C E. v¡¡
In m any o f the earlier instances, the logarithm s were calculated to fifteen figures; b u t as I found it necessary, during the progress o f the impression, to visit Paris, I availed m yself o f th a t opportunity o f consulting the great m anuscript tables preserved a t the Observa
tory, which were calculated under the direction o f M . Prony.
T hrough the kindness o f the M arquis Laplace, President o f the B oard o f Longitude o f France, o f M. Bouvard, and o f o ther members o f th a t distinguished body, I enjoyed every- facility for making the com parisons w hich were requisite for this purpose, as well as for m aking extracts necessary to me for o ther calculations.
A lthough the liberality with which these treasures o f calculation are throw n open to those who m ay wish to avail themselves o f them , and the attentions which such persons receive from every officer of the establishm ent in which they are deposited, deserve to be recom m ended as m odels in all sim ilar cases, I still may be perm itted to express a wish, th a t so vast a m onum ent o f industry and o f science should be rendered m ore useful, as well as m ore perfect and inde
structible, by em bodying it in stereotype plates.
"With regard to those arrangem ents, on which the facility o f using a table depends, I shall offer a few remarks, although a t the hazard o f seeming to bestow more attention than may be necessary on a subject w hich m ay appear o f trifling im portance.
W ith the assistance o f my friend L ieutenant-C olonel Colby, I exam ined a considerable collection o f tables o f different kinds, with the view o f discovering on w hat typographical circum stances perspicuity depended.
W herever we observed any rem arkable for clearness or for obscu
rity, we endeavoured to discover and to note the cause o f such an appearance. From this exam ination resulted th e following collection o f rules, some o f which com m anded im m ediate assent, w hilst others were o f more doubtful propriety.
1st. The clearness or fa c ility o f reading, does not depend on the size o f the type alone, but on the proportion o f the typ e to the in terval between the lines.
2nd. Figures o f the same or nearly the same height, are p re fe r
able to those in tvhich some o f the digits rise above a n d others f a l l below the line, because they interfere less w ith th e space between th e lines.
T h is becomes still m ore necessary, if from any cause it is desir
able to distinguish some o f the figures by m eans o f a bar, a dot, o r any o th e r sign, placed either above or below them .
3rd. The lines d ividing vertical columns should not be placed in the m iddle o f the space between the columns, but should be nearer the
Î
rreceding column. T he effect o f this mode o f placing the vertical ines is to leave a white line a t the com m encem ent o f every column, which n o t only assists in directing th e eye, b u t m akes the adjacentviii PR EFA C E.
dark line m ore distinct. T he same principle is applicable to the case o f a table divided by horizontal lines.
4 th . IV hen some p a rts o f a table are to be separated fr o m the rest more decisively than by the ordinary lines,* a single da rk line is much more conspicuous than two fa in te r lines adjacent to each other; and, i f necessary, f o r fu r th e r distinction, another, a n d much darker line, m ay be employed w ith success.
5th. Those figures which are fir s t sought on entering a table,ought to be so distinguished, either by position or by magnitude, as to strike the eye readily. Since th eir position is not always left to our choice, we m ust sometimes em ploy type o f different kinds or magni
tudes for this purpose. Colour m ight be a convenient distinction in som e cases, b u t the difficulties which occur in printing with two or m ore colours will prevent its frequent em ploym ent. In the present tables, the four first figures o f the num ber sought are printed with large type, in order th a t they may be easily found. F o r the same reason, the figures at the top and bottom o f the page are also larger than the rest. As the natural num bers are in large type, they will readily catch the eye in turning over the pages ; it was therefore thought advisable to p u t a t the (op o f the left-hand page the three first figures o f the first logarithm in th a t page in an equal type, in o rd er to m ake the finding o f the page in which a num ber or a loga
rithm occurs equally easy.
B y this arrangem ent, the right-hand pages will have the num ber nearest to the corner, instead o f the lo g a rith m ; b u t this was not th o u g h t an objection o f sufficient im portance to justify a deviation from the order in which^they are placed on th e opposite pages.
(>th. I n most instances it is better to p r in t the figures denoting the tens, the hundreds, or the thousands, although they m ay remain the same f o r several lines. T he reason o f this rule is, that the eye has not to travel so far to acquire the inform ation sought in the table, f
T he arrangem ent o f the table was a subject o f attentive con
sideration, and 1 availed m yself o f th e observations o f m any o f my friends who had had great experience in the use o f tables. T he m ost difficult question to decide upon, was th e m ode by which the change in the third figure o f a logarithm should be indicated, when it does n o t occur precisely a t the end o f a line.
T h e m ethod used by Callet, o f bringing down the rem ainder o f the line so as to leave a blank space between it and the preceding one, had m any admirers. I t is, however, liable to some objections:
it prevents th e occurrence o f the blank intervals a t regular periods, (usually once in five lines,) an inconvenience o f some m om ent, and
• As in th e case o f the first five colum ns o f a table o f logarithm s, which are separated from the last five.
f T h is rule was not considered until it was too late to comply w ith it in these tables.
P R E FA C E . ix
which increases th e tim e required for using the table. I t is also a t variance with a general principle which I found it necessary to establish, in order to decide on a proper m ode o f m arking this cir
cum stance. T h e principle alluded to is, th a t
7th. W hatever mode be adopted f o r m arking the change o f the th ird figure, it ought to be o f sveh a nature th a t i f the fo u r last figures o f any logarithm be selected, in the m iddle or in any p a r t o f a page, it shall be immediately visible w ithout reference to any other p a rt o f the table, whether the th ird fig u re has changed or not.
T he blank space m arking th e break in the line, em ployed by Callet, agrees with this principle a t the com m encem ent of his tables; b u t throughout th e g reater part, there are blank spaces which do not indicate any change o f the third figure. A nother objection to his mode is, th a t th e figures o f the logarithm s cease to be opposite those o f their corresponding natural num bers.
T h e m ethod em ployed by D r. H u tto n consists in placing a bar above the first figure after th e change takes p la c e : this is inad
missible, because it gives no notice o f the change in the succeeding lo g arith m s: the sam e objection applies to those tables in which a star is prefixed to the logarithm next to th a t in w hich the change occurs. In the logarithm ic tables o f Vega the star is used, b u t it is continued before th e fourth figure o f each succeeding logarithm to the end o f the line. T here is no objection to this in point o f principle, and the only inconvenience which attends it, is th a t it increases the breadth o f th e page, a circum stance which could n o t be adm itted in the present tables, w ithout sacrificing the colum n for converting sexagesimal arcs into seconds.
T h e utility o f this la tte r p art o f the table was so sensibly felt, th a t the plan o f em ploying a figure o f about h a lf th e usual size was preferred, and by continuing the same type to the end o f the line in which the change in the third figure had occurred, the prin
ciple w hich has been laid down was adhered to, and sufficient space was preserved for the colum n alluded to. I t will be observed, th a t these sm all figures do not stand precisely in the m iddle o f the space allotted to th e m ; there are two reasons for this deviation: the proxim ity o f a small figure to a large one m akes the difference of the two types m ore conspicuous, and the w hite vertical line preceding each logarithm is rendered more apparent by the space which thus occurs on the left side o f every figure after the change has taken place.
By the adoption o f this small figure, another advantage has been g a in e d ; the pages are now divided a t every fifth line by a blank space, which enables the reader m ore easily to catch any logarithm he may be seeking. I t is usual in m any tables to m ark these in
tervals by rules instead o f spaces ; neither o f these m ethods appear to possess any very decided advantages over the other. T hey may, however, be em ployed in conjunction, and the result is a greater
X PR EFA C E.
degree o f distinctness than arises from the use o f either separately.
I f a rule is placed a t intervals o f ten lines, and if these tens are subdivided by blank spaces into periods o f five lines, th e form o f the table will be considerably improved. T h e reason which has induced me not to adopt this im provem ent in the present tables, is to be found in the difficulty o f its typographical execution. W hen two rules, a vertical and an horizontal one, intersect each other, one o f them m ust be cu t so as to adm it o f the passage o f the o th e r;
and it will be observed, th a t whenever this occurs the two printed lines never appear to cross each other, b u t a small break is left at th e intersection ; this m ay be noticed either a t the top or bottom o f the page, in the continuation o f the lines which separate the five first colum ns from the five last o f the logarithm s. In con
sequence o f this difficulty the rules between every ten th line have been om itted, and th e space left is sufficient to adm it o f a line being drawn with ink at those intervals, a plan which I have adopted in my own copy, and which I should recom m end to all who have frequent occasion for the use o f these tables.
8th. ff'henever additional inform ation can be communicated in a table without increasing its bulk, or adding much to its expense, it ought alw ays to be given; unless it is o f such a nature as to distract the attention too much fr o m the p a r t most freq u en tly used. In com pliance with this principle, it was my wish to m ark those term inal figures o f the logarithm s which had been m ade true to the nearest u n it by some peculiarity which, whilst it should n o t render them conspicuous, should yet distinguish them sufficiently w henever such accuracy should be desirable. A sim ple d o t attached to a le tte r ’ affords the sm allest visible appendage, and I had at first proposed to place a d o t over each letter, which had been increased by a u n it:
this position was, however, given up on further consideration, be
cause th e same sign has in some cases been em ployed to denote recurring decimals. Its position was therefore changed, and those figures which have been increased are distinguished by a dot im m e
diately below them .
A t the left side o f each page o f the logarithm ic table, and sepa
rated from it by a broad dark line, are placed the degrees, m inutes, and seconds corresponding to the natural num bers adjacent. T he utility o f this addition is so great, and its em ploym ent so frequent, th a t it was thought desirable to add it even a t a considerable increase o f expense. T he circum stance o f this table being arranged in pages o f fifty lines each, a plan which was required by o th er reasons, has caused the whole degrees and m inutes not to term inate a t the bottom o f each page. T his inconvenience was considered o f less im portance than those w hich would have arisen from em ploying a page o f sixty lines. If, however, any error should be feared from overlooking the change o f th e m inutes in the first colum n, or of the degrees in the second, which m ay occur in the
PR EFA C E. xi middle o f a page, it may be pointed o u t by drawing a line in red ink under the figure where the change takes place in the first colum n, and one in black ink a t sim ilar places in the second.
In order to prevent the inconvenience o f the tables o f arcs catching the eye o f persons only using the logarithm s, it has been iut in different and m uch sm aller type, and has been com pletely eparated from the page by a broad dark line.
9th. The different tables in a volume ought to be distinguished fr o m each other by the art o f the printer, in such a m anner that a ny one m ay, fr o m its peculiarity, be readily distinguished in turning the pages over rapidly. This m ay be accom plished— by enclosing some o f them writh rules— by putting broad borders o f various kinds at the tops and sides o f others— or by having them printed in a dif
ferent coloured ink.
Every table ought to have a running title at the top expressed as concisely as possible, and when the formula by w hich it is con
structed is simple, it would be advantageous to give it on each page.
T here are some causes o f indistinctness in tables which arise from o ther sources. I t frequently happens, th at
10th. T he impression o f the figures on one page is reversed on the opposite: this sometimes arises from the volume having been bound before th e ink was quite dry, a fault which should be m ost carefully avoided. I t is, however, more frequently caused by the bad quality of the ink em ployed by the printer.
A nother defect arises when
11th. The transparency o f the p a p er adm its the figures on the reverse side to appear th rough.
In order to try w hether
12th. Coloured paper is more favourable to distinctness than white, I had a page set up, and printed on paper o f various colours and sh a d e s: alm ost all those whom 1 consulted agreed with me in giving the preference to the coloured papers, b u t the particular tin t was not so unanim ously fixed upon. Yellow appeared to have the preference, and it is th a t which I have chosen for the first im pres
sion. T h e tint is a t first considerably too deep, b u t it fades on ex
posure to the lig h t: I should therefore recom m end, th a t previously to binding this volume the sheets should be exposed for several days to the action o f the sun
I t is not probable th a t the colour first selected should be found the b e s t; we m ust wait the result o f time and experience to d eter
mine th a t point. I t may perhaps be found, th a t different eyes re
quire different colours ; and it is n o t improbable, that a tin t which is least fatiguing to the eye when used by candle-light, may n o t be the best adapted to calculations by day-light.
I have now stated those circum stances which have been attended to for the purpose o f rendering the present tables d is tin c t; and I have also m entioned the precautions employed for making them
xii PR EFA C E.
accu rate, It is n o t to be presum ed th a t they are y e t free from e r r o r ; b u t in order to render them so as soon as possible they have been stereotyped, and a sm all num ber o f im pressions have been printed : by these means, w henever any error is detected, it will be corrected in the plate, and, a list o f such errata being given, the earlier copies may be corrected by it.
C H A R L E S B A B B A G E . Oevomhire Street, Portland Place,
Jan. 20, I8'2r.
INTRODUCTION.
o -f T H E U S E O F T H E T A B L E S O F L O G A R IT H M S . T h e l o g a r i t h m s g iv e n in t h e t a b l e s a r e a ll s u p p o s e d t o b e p o s i t iv e , a n d t o h a v e t h e d e c i m a l p o i n t p r e f i x e d t o t h e m .
T h e index o f a logarithm is the whole num ber preceding the decim al p o in t; it m ay be positive or negative, and m ust be supplied according to th e following rules :—
T h e index o f th e logarithm o f any num ber greater than unity, is equal to one less than the num ber o f figures on the left hand o f th e decim al p o in t; thus the index o f the logarithm o f 3652 is 3-.
T h e index o f any decim al fraction is a negative num ber, equal to unity added to the num ber o f zeros im m ediately following th e decim al p o in t; thus the index o f the logarithm o f 00462 is —3 - ; the index o f '4 6 2 is —I -.*
Instead o f em ploying negative indices, their com plem ents to 10 are sometimes used, and + 7 ‘ and + 9 - are substituted for the above indices —3 ’ and — T W hen this is done, it is necessary to reject, a t some subsequent stage, the 10 by which th e indices have thus been augm ented.
P r o b l e m I To fin d the logarithm o f a given number.
C ate 1.— I f the num ber given consists o f less th an four figures, its logarithm will be found opposite to the num ber in one o f the first five pages o f the table.
L et th e num ber whose logarithm is sought be 462. In the second page o f the table, and in the fifth colum n opposite 462 will be found the decim al p art o f its logarithm , which is 6646420 ; to this m ust be prefixed its index 2, and th e logarithm o f 462 is 2 6 6 4 6 4 2 0 .
• As the decimal part of the logarithm Is not negative, it is better to put the nega
tive sign o f the index above, instead of before it, as 3- instead of — 3-
xiv IN TRO D U CTIO N
P r o b l e m I I
I f the given num ber consists o f five figures, the four first figures will be found in the colum n m arked Num bers, and the fifth on the line o f large figures at th e top o f the page. T he three first figures o f the logarithm will be found in the colum n next to th a t o f the four first figures, either in the same line with it, or, if there are no figures on th a t line, they are the first which occur above it. In case the first o f the four rem aining figures o f th e logarithm should be a small character, the three first figures will be found one line below th a t in which the four first figures o f the num ber occur. T he four other figures will be found in the intersection o f the colum n at the head o f which the last figure o f the num ber is found, with the horizontal line in which th e first four figures o f the num ber occur.
R equired the logarithm o f 31274 ?
In the colum n adjacen t to th e num ber 3127 will be found 495, which are the three first figures of the decimal p art o f the logarithm .
In the intersection o f th e vertical colum n, headed 4, with the horizontal line 3127, are found the figures 1834 ; these are the four last figures o f the decim al p art o f th e logarithm of 31274. Since it consists o f five figures, the index o f its logarithm is 4, and the logarithm o f 31274 is 4 ’4951834.
R equired the logarithm o f 296 51 ?
O n the same line as the figures 2965, and in the n ex t colum n, the three first figures 4 7 2 o f the decim al p art o f the logarithm are found, and in the same line o f the vertical column, headed 1, are the rem aining four 0393. Prefixing the proper index 2, the loga
rithm o f 296 51 is 2 4720393.
P r o b l e m III.
To fin d the logarithm o f a number consisting o f six or seven figures.
F ind the logarithm o f the five first figures by the last problem, and carrying the eye on to the last colum n headed Diff., look up th a t colum n until you see a difference printed in the same type as the logarithm s, and its proportional parts in a sm aller character.
This dilference is th a t which belongs to the logarithm ju s t found.
I t consists o f a small table o f nine lines: o u t of this table m ust be taken the num ber opposite the sixth figure o f the num ber whose logarithm is sought, which m ust be added to the logarithm o f the five first figures. O pposite the seventh figure o f the given num ber, and in the same table, another num ber will be found, the tenth part o f which m ust be added to th e last sum.
IN T R O D U C T IO N . xv
E x.— W h a t is the logarithm o f I I 4 '1 2 8 5 ?
The log. of 114-12 is by the last problem . . . . 2-0573618 Opposite 8 (in the diff. 381 which is nearest above) 305 Opposite 5 in the same table 1 9 1 ...1 19-1
2-0573942 which is the logarithm o f 114-1285.
N .B .— In the early part o f the table o f logarithm s, the size of the page would not adm it of the proportional parts corresponding to every difference being p rin te d ; the alternate ones were therefore omitted, although the places a t which they commence are indicated.
It can very rarely happen th a t any inaccuracy will result from this omission.
P r o b l e m IV.
To fin d the number corresponding to a given logarithm.
In the first column of logarithms, headed 0, find the three first figures o f the decimal part of the given logarithm.
In this line, or in one o f those immediately following, a logarithm will be found which is either exactly equal to the given one, or a little less than it.
On the same line with the logarithm so found, and in the column headed Numbers, the four first figures o f the num ber corresponding to it will be found, and the fifth figure o f that num ber will be seen at the top of the column in which the logarithm was found.
In order to find the sixth and seventh figures o f the n u m b e r:—
S ubtract the logarithm so found from the given lo g arith m ; then in the small table o f differences in the column a t the side marked D iff, and which is next above the logarithm found, some num ber in its second column will occur either equal to the difference o f the
f
'iven logarithm, and th at which was found in the table, or else next ess than it. In either case the figure in the first column o f the small table opposite this num ber will be the sixth figure o f the num ber to be found.T he seventh figure may be found by subtracting the num ber taken from the small table from the difference of the two logarithms, and adding a zero to the rem ainder, the num ber nearest to it in the same small table will be opposite to a figure which is equal to the seventh figure of the num ber whose logarithm was given.
E x. 1.— R equired the number correspondinq to the loqarithm 3-8799155 ?
On turning over the table, the three first figures -879 of the given logarithm will be found opposite the num ber 7 5 6 9 ; a little farther down the same column, opposite 7584, the four last figures of the logarithm occur in the column headed 3. And since the index o f the given logarithm is 3, there m ust be four places o f whole numbers.
XV I IN T R O D U C TIO N .
The number corresponding to the logarithm 3 8799155 is therefore 7584-3.
E x. 2 .—Required the number whose logarithm is 2-8650264 ? The nearest logarithm less than this in the table -8650210, the num ber corresponding to which is 73286.
T he nearest difference above is 59, and in the small table, headed 59, the nearest num ber less than 54 is 53, corresponding to the num ber 9 ; this subtracted from 54 leaves unity, which multiplied by 10 produces 10, the nearest num ber to which in the small table is 12, which is opposite 2. And since the index is 2 , there m ust be three places o f whole numbers. The whole process stands th u s :—
2 8650264 given logarithm.
73 2 8 6 ; ; 8650210 nearest less.
54 difference.
53 opp. 9 in small table, headed 59.
10
2 ...12 opp. 2 in small table.
732 8692
Pr o b l k m V . To m ultiply together several numbers.
Add together the logarithms of the respective numbers, and their sum will lie the logarithm of their product.
E x . 1.— Required the product o f 2305 by 1 46 ? log. of 2305 ... 3-3626709
log. of 1-46... 1643529
3-5270238 = log. o f 3365 3.
E x. 2.—R equired the product o f 73 04, 7-291, 7-2312, and 25-925?
log. 73 0 4 . . . . . . 1 8635608 log. 7 2 9 1 . . . -8627871 log. 7 2 3 1 2 .. . . -8592104 log. 25 9 2 5 .. . 1-413718S 4-9992771
274 i log. of 99833 30
3 1 .
99833-7
IN TR O D U C TIO N . Pr o b l e m V I . To divide one number by another.
Subtract the logarithm o f the divisor from th a t o f the dividend, the result is the logarithm of the quotient.
E x .— D ivide 12-6740 by 8 291.
log. 12 6740 ...1-1029137 log. 8 291 ... -9186069
•1843068 log. o f 15286; ... -1842939
--- 129
quotient 1-52865 142
P r o b l e m V II.
To fin d any pow er o f a given number.
Multiply the logarithm of the given num ber by the exponent of the power, the product is the logarithm o f th at power.
E x. 1.— R equired the square o f 3 -1416?
its logarithm i s ... -4971509 the exponent o f the req. power . . . . 2
•9943018 9-8696 ... 2996
I 22
5 ... 22 9-86965
Ex. 2 .—Required the 5th pow er o / -4361 ?
its logarithm . . . . 1-6395861 the exponent . . . 5
2-1979305
15773 ; 9143
I 162
6 165
•0157736
I t will be noticed, th a t in the last exam ple th e negative index
— 1 being multiplied by 5 produced — 5, to which was added the num ber 3, carried from the decimal part, which is always positive.
xviii IN TRO D U CTIO N .
I f the complement 9 to the index — 1 had been employed, the resulting index would have been 8, which is itself the complement o f - 2.
P r o b l e m V III.
To fin d any root o f a given number.
Divide the logarithm of the given num ber by the index o f the root, the quotient is the logarithm o f the root required.
E x. 1.— fV h a t is the square root o f3 141592?
2 )
its log. 0 4971498
•2485749
1 7 7 2 4 : ; 5617
5 : ---
4 132
--- 123
I 772454 root. ---
90 98 E x . 2.— Required the 4th root o f '434296 ?
4 )_
its log. 1 '6377858 1 9094464
4437 8 1 1 7 9 ;
27 5
27 ---
•811795 the root.
In this case the negative index not being divisible by four, 3 were added to it, to render it divisible, and the 3 thus borrowed were reckoned as tens, and added to the first figure o f the logarithm, m aking 36.
O f the use o f the two fir s t columns o f degrees, minutes, and seconds.
P r o b l e m IX .
To fin d the number o f seconds in a ny given number o f degrees, minutes, and seconds.
I f the num ber o f degrees is greater than 30, subtract 30° from them as m any times as m ay be necessary to reduce the rem ainder below th a t number.
IN TR O D U C TIO N . xix 1. I f this remainder is less than 2? 46' 40", it will be found in the first column of the ta b le ; and the num ber of seconds in it is the natural num ber opposite it in the column o f numbers.
I f the rem ainder is greater than 2? 46' 40", it will be found in the second column, to within 10". T he natural num ber in the same line, with it multiplied by ten, m ust be taken, and the remaining units and decimal parts o f the seconds in the given arc m ust be added to it.
2. F o r every 30° subtracted from the given num ber add 108000, and the sum is the num ber of seconds in the given arc.
E x . 1.— Required the number o f seconds in 2° 6 '5 1 " ?
T he natural num ber opposite this arc in the table is 7611, which is the num ber o f seconds contained in the given a r c ; its logarithm is 3-8814417.
E x. 2 .—Required the number o f seconds in 21° 1 3 '3 l" - 2 ? T he num ber in the tables opposite the arc 21° 1 3 '3 0 " is 7641, which multiplied by ten, and the units and decimal parts o f the seconds o f the given arc being added, gives
76410
1-2
7 6 4 1 1 2
The logarithm o f this m ay be found in the same line.
76411 -8831559
•2... li
4-8831570 P r o b l e m X.
Given any number o f seconds, to fin d the corresponding arc in degrees, minutes, and seconds.
Subtract 108000 from the given number, until the rem ainder is less than th a t number.
I f this rem ainder is less than 10000 the degrees, m inutes, and seconds will be found in the first column o f arcs. These added to the decimal parts, and 30° for each 108000 subtracted, give the arc sought.
I f the rem ainder is greater than 10000, om it the units and de
cimal parts, and find the arc corresponding to the four first figures in the second colum n o f arcs. T his added to the units and decim al parts, and to 30° for each 108000 subtracted, will give the arc sought.
E x .— W h a t is the number o f degrees, minutes, and seconds in 109121-4"
subtract 108000 1121-4"
XX IN TR O D U C TIO N .
Opposite 1121, in the first column of arcs, is 0° 18' 41'', add the decimal part ‘4 and also 30°, on account o f the subtraction, and we
have *
30? 18'41"-4
for the degrees, minutes, and seconds contained in 109121-4".
L O G A R I T H M E N
OK K
NATÜRLICHEN ZAHLEN
1 bis 108000.
VON
K A R L B A B B A G E , ESQ ., M. A.
L U K . P R 0 F E S 8 0 R DF.K M A T H E M A T IK A N D E I l U N IV E R S IT Ä T Z U C A M B R ID G E . M IT G L IE D D E R V O R Z Ü G L IC H S T E N G E L E H R T E N G E S E L L S C H A F T E N B E ID E R E R D H A L F T E N .
D R I T T E S T E R E O T Y P -A U F L A G E ,
BESO RG T U N D M IT D ER E IN L E IT U N G IN D E U T SC H ER SPRA CH E H ERA U SG EG EBEN ,
VON
K A R L N A G Y ,
D E R U N O . A K A D E M IE D E R W 18S . K O R R ., U N D D E R A M E R . P H Y L O H . G E S . W I R K L . M IT G L IE D .
L O N D O N :
G E D R U C K T F Ü R D I E U N G A R IS C H E A K A D E M IE D E R W IS S E N S C H A F T E N .
1834.
G E D R U C K T B E I W IL H E L M C L O W E S , STA M F O R D -S T K E B T .
1 .OND ON î
