Hivatkozások
I. Függelék - Az idősor elemzés módszertana
5. Modell: Végül, ha az adatok szintjeiben léteznek kvadratikus trendek (ami közgazdaságtanilag nem nagyon megalapozott feltevés) akkor a rövid
távú modellbe is bevesszük az időtrendet (δ2 szintén korlátozatlan lesz).
Általában a priori nem tudjuk melyik modellt is használjuk, bár az adatok ábrázolása segíthet a modell kiválasztásában. Harris (1995, pp.97) a Johansen (1992) által kifejlesztett Pantula elv használatát javasolja a kointegrációs mátrix rangja illetve a
determinisztikus komponensek szimultán meghatározására. A Pantula elv a következő lépésekből áll:
Becsüljük meg mindhárom modellt (az 1. illetve 5. modellt mellőzhetjük hisz megvalósulásuk valószínűtlen), és foglaljuk táblázatba az eredményeket a legkorlátozóbb alternatívától (r = 0 és 2. modell) a legkevésbé korlátozó alternatíváig (r = n – 1 és 4. modell). Ezek után a bal felső sarokból elindulva, jobbra, majd lefele haladunk, úgy hogy közben mindegyik kombinációt teszteljük (a λtrace és/vagy λmax, teszt statisztikákat hasonlítjuk a megfelelő kritikus értékekhez), majd megállapodunk annál a kombinációnál, amelyik legelsőnek nem utasítja el a null hipotézist.
Az egész elemzést tekintve kritikus fontosságú a VAR rendjének a helyes megválasztása. Egy túl rövid rendű VAR esetén nem tudjuk kiküszöbölni a reziduumokban fellépő soros autokorrelációt, így a statisztikai következtetések érvénytelenek lesznek. Ha ellenben a választott VAR rend túl hosszú, akkor ez felfelé torzított teszt statisztikákat eredményez (Mushtaq 2000, pp.154).
A jelen kutatásban a Pesaran és Pesaran (1997) által bemutatott eljárást alkalmaztuk, a következőképpen: először kiválasztjuk a legmagasabb rendű (k) reálisan figyelembe vehető VARt, majd kiszámoljuk a likelihood arány statisztikákat és információs kritériumokat (AIC, SBC). A következő alfejezetben részletesen tárgyaljuk az imént említett információs kritériumok mibenlétét. Ezt megismételjük a (k-1), (k-2),...1 rendű VAR modellekre, majd az LR, AIC, SBC statisztikák által sugallt modellt választjuk.
1.4. Exogenitás
Az exogenitás fogalmának a tisztázására, tekintsük ismét az (1.1) egyenletet, de bővítsük ki más sztohasztikus (xt) és determinisztikus elemekkel (konstans). Harris és Sollis (2003) nyomán:
yt = γ0 + δ0xt + γ1yt-1 + ut (1.47) de mivel xt sztohasztikus, felírhatjuk:
xt = ξxt-1 + εt, ahol |ξ |< 1 (tehát stacionárius folyamat) és εt ~ IN(0, σ2ε) (1.48) Ha ut és εt nem korreláltak, akkor E(utεs) = 0 bármely t és s értékre, valamint az xt együtthatót a (1.47) egyenlet hibatagjaitól függetlennek tekinthetjük, vagyis E(xtut) = 0. Így a (1.47) egyenletben az xt együtthatót az yt becslése céljából rögzítettként kezelhetjük és az egyenletben (erősen) exogénnek tekinthetjük, és azt mondjuk, hogy xt Granger okozza yt-t.
A (1.47) egyenletet kondicionális modellnek nevezzük, mivel az yt az xt-re
„kondicionáljuk” míg a (1.48) egyenletet marginális modellnek, ami meghatározza az xt értékeit.
Ha az xt meghatározásában yt is szerepet játszik, vagyis yt Granger okozza xt-t, akkor a (1.48)-at átírva kapjuk:
xt = ξ1xt-1 + ξ2yt-1 + εt. (1.49) Az E(xtut) = 0 ez esetben is teljesül, ellenben mivel a (1.49) egyenletben az xt
meghatározásában yt is részt vesz, xt már csak gyengén exogén lesz a (1.47) egyenletben.
Az exogenitás vizsgálata két megfontolásból, gazdaságelméleti valamint modellezési szempontból is fontos. A gyengén exogén elemek identifikálása értékes gazdaság elméleti elemzéseket tesz lehetővé (okság elemzés), ugyanakkor a hiba korrekciós modell többi egyenletének a (gyengén) exogén változókra való kondicionálása javítja a modell sztohasztikus tulajdonságait és csökkenti az VECM modellbe becsülendő rövid távú változók számát (Harris és Sollis, 2003, pp.138).
1.4.1. Hosszútávú exogenitás tesztelése
A (37) egyenletben láttuk, hogy a hosszú távú információt tartalmazó Π mátrix felbontható az α, az alkalmazkodási sebesség vektorra, és a β, hosszú távú koefficiensek mátrixára amely tartalmazza az r ≤(n -1) kointegrációs vektort. A kointegrációs vektorok száma megegyezik az α vektor utolsó (n – r) nulla elemeket tartalmazó oszlopainak számával, így a kointegráció rangjának a meghatározása
abból áll, hogy megállapítjuk α-nak hány oszlopa tartalmaz nulla elemeket. A megmaradt nem-nulla oszlopokban levő sorok pedig az ezeknek megfelelő változók a hosszútávú kointegrációs kapcsolat felé adjusztálásának a sebességét mérik. Ha zt
= [y1t,y2t]` egy két kointegrált változóból álló vektor, és α =[α11, α21]` az ennek megfelelő alkalmazkodási sebesség vektor, akkor α11 a ∆y1t változó a hosszútávú kointegráló egyenlethez, a (β11y1t-1 + β21y2t-1) való alkalmazkodásának sebességét, α21 pedig a ∆y2t a hosszútávú egyensúly felé alkalmazkodásának a sebességét méri.
Ha az α vektor egy tetszőleges sorának minden eleme nulla, akkor a β-ban levő kointegrációs vektorok nem kerülnek be az illető sornak megfelelő együttható rövid távú mozgását modellező egyenletbe a változó pedig gyengén exogén lesz a rendszerre nézve. Ennek illusztrálására Harris és Sollis (2003) nyomán, tekintsük a következő három változoból, r = 2 kointegrációs vektorból álló, k = 2 késleltetéssel felírt VECM rendszert.
vektorok nem befolyásolják a ∆xt egyenletet. Így az xt gyengén exogén változóra felírhatjuk az alábbi kondicionális modellt:
∆yt = Γ0∆xt + Γ1~ ∆zt-1 + α1β`zt-2 + ut (1.51) Ahol yt = [y1t,y2t]` és α1 ekvivalens azzal az α vektorral amelynek a α31 = α32 elemei nullák.
1.4.2. Rövidtávú exogenitás tesztelése
Mivel minket a rövid távú paraméterekkel szembeni exogenitás is érdekel, ennek a tesztelésére egy Von Cramon-Taubadel (1998) által idézett, eredetileg Boswijk és
Urbain (1997) által ajánlott tesztet alkalmazzuk. Eszerint becsüljük a (1.48) vagy (1.49) egyenlethez hasonló marginális modellt, majd az illesztett reziduumokat elmentjük, majd segítségükkel egy változó hozzáadási tesztet végzünk az 1.47-es strukturális egyenleten. A null hipotézis az, hogy a marginális modell változója gyengén exogén a strukturális egyenlet rövid távú paramétereivel szemben. Ha a változó hozzáadási teszt az illesztett reziduumokat szignifikánsnak mutatja, akkor elutasítjuk a nullhipotézist.
1.5. A késleltetés hosszának megválasztása
A megfelelő késleltetés hossz megválasztása óvatosságra kényszerít, hisz magas számú késleltetett tag esetén értékes szabadságfokokat vesztünk, másfelől pedig, a túl rövid késleltetés esetleg nem küszöböli ki a soros autokorrelációt a reziduumokból, igy érvénytelenné teszi a statisztikai következtetéseket.
Az egységgyök tesztekhez, valamint a VAR rendjének a meghatározására úgy statisztikai, mind nem statisztikai érveket is felhasználhatunk. A közgazdaságtan elmélet egyike a gyakran használt nem-statisztikai meghatározásoknak. Szintén gyakori a technika a megfelelő késleltetés hosszúság „általánostól a specifikus felé”
(Petterson, 2000) metodológiája: válaszuk ki a leghosszabb késleltetést, amit az adatok sugallnak, (pl.1 vagy 2 éves frekvencia esetén, minimum 12 havi frekvencia esetén) majd teszteljük az illesztett modell reziduumaikat hogy vajon fehér zajok-e vagy sem. Ha nincs soros autokorreláció a hibatagokban, akkor sorba illesszünk alsóbb rendű modelleket, míg olyanra bukkanunk, ahol nem nulla autokorreláció létezik a reziduumok között. A Lagrange-Multiplier teszt széleskörűen alkalmazott erre a célra.
A statisztikai modell szelekció az információs kritériumok segítségével történik. Ezek a kritériumok a model „illeszkedését” mérik maximizált log-likelihood függvények segítségével. Mivel különböző számú paramétert becslünk a különböző modellek esetén, „büntetés függvényeket” használunk ennek a figyelembevételére.
1.5.1. Akaike információs kritérium (AIC) Pesaran és Pesaran (1997) alapján,
AICl = l n(θ^) – p, (1.52) Ahol l n(θ^) egy n nagyságú mintán alapuló ökonometriai modell maximum log-likelihood függvényének a maximizált értéke, ahol θ^ a θ maximum likelihood becslése és p a szabadon becsült paraméterek száma.
Ha egy ökonometriai modell egy egyenletes regressziós modellekből áll, akkor a (1.52) ekvivalens lesz az alábbi specifikációval:
AICσ=
n p
) 2
log( σ ~
2 + (1.53)Ahol,
σ ~
2 regresszió hiba a varianciájának a maximum likelihood becslése. Mind a (1.52) mind a (1.53) képlet azonos eredményre juttat, a legmagasabb AICl értékű modellt választjuk, ha a (1.52) képletet használjuk illetve a legkisebbet AICσ értékű modellt, ha a (1.53)-at használjuk.1.5.2. A Schwarz Bayesian kritérium (SBC) Pesaran és Pesaran (1997) alapján,
SBCl = l n (θ^) - p
log
n2
1
(1.53)Mint elöbb a (1.52) egyenlet, a (1.53) is ekvivalensen átírható, mint:
SBCσ = p
n n
) ( log
~ )
log( σ
2 + (1.54)ha a becsült standard regressziós hibákat használjuk. A (1.53) képlet a legnagyobb SBC mutatóval rendelkező modellt , míg az (1.54) képlet a legkisebb SBC mutatóval rendelkező modellt választja.