Lineáris háromszögelem

A lineáris háromszögelem a végeselem módszer első és legegyszerűbb elemtípusa, amit Turner és szerzőtársai publikáltak [1] még 1956-ban. Háromszögekből álló hálózattal szinte bármilyen alakzatot jól le lehet fedni és a görbe határvonalakon az elemméret csökkentésével elfogadható szintre lehet csökkenteni a geometria hibát.

Egy elemhálózat és egy elem látható a 6.3 ábrán. A csomópontok a háromszög sa-rokpontjai. A hálózatban egy csomóponthoz tetszőleges számú elem sarokpont csatlakozhat.

x y

1(x1,y1)

2(x2,y2) 3(x3,y3)

ux2

uy2

A

Ae

g

6.3 ábra. Lineáris háromszögelem

A 6.3 ábrán látható elem egy csomópontjának szabadságfoka n = 2, a két elmozdu-lás koordináta (ux és uy), és egy elem szabadságfoka a három csomópontban az elmozdulások száma, N = 6. A csomópontok számozása mindig az óramutató járá-sával ellentétes. Az elemek alakja elvileg tetszőleges, de célszerű, ha egyik szög sem tompaszög. Egy elemhez tartozó összes elmozdulás jellemző - a szabadságfo-kok - mátrixa legyen

   

A háromszögelem egy belső pontjában az elmozdulás koordinátákat az egyelőre ismeretlen U^e csomóponti szabadságfokokból a következő interpolációval határoz-zuk meg:

vagy ugyanez a (3.4) mátrix szorzat formájában felírva:

1 2 3

Az Ni interpolációs, vagy formafüggvények az x és y koordináták lineáris függvé-nyei:

, 1, 2, 3.

i i i i

N  a b x c y i

Az interpolációs függvényekben lévő kilenc együtthatót a sarokponti értékekből határozhatjuk meg:

A fenti egyenletrendszer megoldása után a három formafüggvény együtthatóit kife-jezhetjük az elem sarokpontjainak koordinátáival:

     

ahol Ae a háromszög területe. Ezek a lineáris interpolációs függvények láthatóak az 6.4 ábrán. A formafüggvények értéke zérus a csomópontokban, kivéve azt az egyet,

120 A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

aminek a sorszáma megegyezik a függvény sorszámával, ezt nevezik „delta függ-vény” tulajdonságnak: Az (6.12) interpolációs függvények teljesítik a 3.1.1 fejezetben megfogalmazott feltételeket. Belátható, hogy ha a csomópontokban egy merevtestszerű mozgásának megfelelő értékeket adunk meg, akkor a belső pontok is követik ezt a mozgást.

Például, az x irányú d eltolódás esetén ux1 = ux2 = ux3 = d és az (6.11) alakú inter-polációból egy belső pont x irányú mozgása:

 

³

 

³

 

Rövid számolással igazolható, hogy hasonló eredményre jutunk más jellegű merev-test mozgás vagy forgás estén is.

x

6.4 ábra. A lineáris interpolációs függvények 6.3.1.1 Területkoordináták

Az interpolációs függvények megszerkesztésének egy másik lehetősége a három-szög területkoordináták alkalmazása. Az 5.5 ábra jelöléseivel, egy belső P pont területkoordinátái a rész-háromszögek és az egész háromszög területének arányai:

3 A síkban egy pont helyzetét két koordináta határozza meg, ezért a három területko-ordináta nyilván nem lehet független:

3

A hároszögkoordináták egyik fontos tulajdonsága látható az 6.5 ábrán. Az 1 cso-móponttal szemben lévő 2-3 oldallal párhuzamos egyenesen lévő P és P’ pontok L1

koordinátája azonos, a 2-3 oldaltól mért merőleges távolságuk L1m1. Az L1 = ál-landó koordináta vonalak a 2-3 oldallal párhuzamos egyenesek.

A2

6.5 ábra. Háromszög területkoordináták.

Hasonló megállapítások vonatkoznak az L2 és L3 koordinátákra. Ezeket a koordiná-ta vonalakat mukoordiná-tatja az 6.6 ábra. Ha a P pont egybeesik valamelyik csomópontkoordiná-tal, akkor a megfelelő területkoordináta egységnyi, a többi zérus, például a 2 pontban L1 = 0, L2 = 1, L3 = 0. A háromszög középpontjának területkoordinátái: L1 = L2 = L3 = 1/3. Látható, hogy a terület koordináták teljesítik a formafüggvényektől elvárt (6.13) „delta függvény” tulajdonságot. Ez alapján, és a 6.4 és 6.6 ábra összehasonlí-tásával belátható, hogy az (5.12) lineáris interpolációs függvények megegyeznek a területkoordinátákkal:

6.6 ábra. Területkoordináta vonalak.

A területkoordináták használatának előnyei igazán a magasabb fokszámú interpolá-ciós függvények megszerkesztése során jelentkeznek.

6.3.1.2 Elemmátrixok

Az interpolációs függvények meghatározása után kiszámíthatjuk a 6.1 virtuális munka elvben szereplő mennyiségeket. A (6.2) alakváltozások

3 3

ami a (6.12) interpoláció helyettesítése után átrendezhető a (6.5) mátrix szorzat formájába:

122 A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

Látható, hogy az alakváltozások elemenként állandóak, ezért nevezik ezt az elemtí-pust „constant strain triangle”, vagy CST elemnek is.

i α forgás esetén az 5.3 ábra Most azt is ellenőrizhetjük, hogy a csomópontok merevtestszerű mozgása közben nincs alakváltozás. Például az 1 csomópont körüli kics

adatival a csomóponti mozgások

 6 1^e 0 0



y1 y2

 

x2 x1

 

y1 y3

 

x3 x1



^T

A (2.10) Hooke törvény alapján az elemenként állandó (6.1) feszültségek:

        (6.17)

Az előzőek alapján a virtuális elmozdulás és a virtuális alakvá ozás:

Merevségi mátrix:

A (6.9) első tagja a virtuális alakváltozás nergia,

ahol k^e jelöli az elem (3.6) merevségi mátrixát. Mivel a (6.16) B mátrix elemei és az elem t vastagsága is állandó, az integrálás eredménye:



ahol a C mátrix a (6.4) vagy a (6.8) szerinti. A merevségi mátri szögelem esetén pontosan kiszámítható.

x a lineáris három-Tömegmátrix: Dinamikai feladatokban az U^e csomóponti mozgások az idő függvé-nyében változnak. Az (5.9) elvben a tehetetlenségi erők virtuális munkája:

ahol m^e az elem (3.8) konzisztens tömegmátrixa:

(6 6)

A konzisztens mátrix helyett gyakran célszerűbb a diagonál szerkezetű -lumped - tömegmátrix alkalmazása. Ha a tAe térfogatú háromszögelem tömegét szétosztjuk a csomópontokba, akkor a tömegmátrix:

  ahol E az egységmátrix.

Tehermátrix: A (6.9) elv utolsó három tagjából számolható az elem p

Az első integrál a hőmérséklet változásából származó teher mátrix, aminek ered-ménye egyszerűen felírható, ha az csak állandó mennyiségeket tartalmaz:

e

124 A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

ahol ΔT0 jelöli az elemenként állandó hőmérsékletváltozást és anyagjellemzők C mátrixa a síkfeszültségi vagy a síkalakváltozási modelltől függő (6.4) vagy a (6.8) szerinti Az elemenként állandó qx, qy térfogati erőhatásból származó teher-mátrix:

Az állandó térfogati erő három azonos nagyságú csomóponti erőt eredményez.

L23

6.7 ábra. Lineárisan változó peremterhelés

A px, py felületi megoszló terhelésből csak akkor származik elemterhelés, ha a há-romszög valamelyik oldaléle az egész modell külső és terhelt felületén van. Most legyen ez az elem 2-3 oldala, amint azt az 6.7 ábra is mutatja. Az oldal hossza L23

és x irányú, lineárisan változó megoszló erőrendszer terhelési. A 2-3 vonal mentén az x irányú mozgás is és a terhelés is az s ívhossz koordináta lineáris függvénye:

   

A tL23 felületen megoszló erőrendszer virtuális munkája:

 

Definíció szerint az elem tehermátrixa:

 

Hasonló módon lehet kiszámítani a további terhelésekből származó elem mátrixo-kat. Ha a 2-3 oldal mentén a px megoszló terhelés állandó, akkor

  ²³

 

A csomóponti erők statikailag egyenértékűek a megoszló erőrendszerrel.

x

6.8 ábra. Elemterhelések.

Összefoglalva, a 6.8 ábra szerinti, Ae területű háromszögelem tehermátrixa, ahol az állandó térfogati erők és hőmérsékletváltozás mellett az L23 hosszúságú 2-3 oldal mentén változó megoszló terhelések és a 2 csomópontban egy koncentrált erő mű-ködik:

In document ALAPJAI A VÉGESELEM - MÓDSZER (Pldal 118-125)