Az elmúlt évtizedekben a végeselem módszer (VEM) a modellezés és a szimuláció nélkülözhetetlen eszköze lett. Ez a jegyzet elsősorban egyetemi hallgatóknak szól, de gyakorló mérnököknek is hasznos, és a lineáris mechanikai rendszerekre alkal-mazható módszer egységes és részletes leírását adja. A rugalmasságtani alapelvek és az elméleti háttér ismertetésének célja az, hogy az olvasók nagy biztonsággal használják, értékeljék és minősítsék a kereskedelmi forgalomban beszerezhető végeselem eljárást is alkalmazó programrendszereket.
Az elmúlt közel két évszázad során a klasszikus mechanika területén több, a mér-nöki gyakorlatban használható numerikus eljárást dolgoztak ki. Ezek egy csoportja a lokális egyenletek, a kontinuum viselkedését leíró parciális differenciálegyenlet rendszerek közvetlen megoldására szolgált, mint például a véges differencia mód-szer. A numerikus eljárások egy másik része a globális elvek, az energetikai szélső-érték - stacioner szélső-érték - elvek direkt megoldását, ezen belül a Rayleigh-Ritz mód-szer különböző válfajait alkalmazta. Ezen módmód-szerek alkalmazása a bonyolultabb alakú testek, alkatrészek esetén igen komoly nehézségekbe ütközik.
A végeselem eljárás alapgondolatát, a folytonos rendszereknek a diszkrét, véges szabadságfokú elemek rendszerével történő helyettesítését, már régóta használják a fizikai és mérnöki feladatok numerikus megoldására. Erre jellemző példa az egye-nes rudakból álló tartószerkezetek vizsgálati módszere ami, többek között, Maxwell (1864), Castigliano (1879) vagy Mohr (1868) munkáságának része. A legelső is-mert publikáció, ami a bonyolult tartományok résztartományokra bontását, azokon belül pedig lineáris interpolációt és az energetikai szélsőérték elveket együtt alkal-mazta Cuorant (1943) nevéhez fűződik, aki a nem kör keresztmetszetű rudak sza-bad csavarási feladatát a potenciális energia szélsőérték elve alapján vizsgálta úgy, hogy a tetszőleges alakú keresztmetszetet olyan háromszög résztartományokra bon-totta, melyeken belül a megoldás lineárisan változik. A minőségi változás feltételeit a digitális számítástechnikai eszközök fejlődése és széleskörű elterjedése tette lehe-tővé. A végeselem módszert a ma ismert formájában Clough, Turner és szerzőtár-saik [1] publikálták. (1956, Boeing and Bell Aerospace) Náluk jelentek meg elő-ször a végeselem (finite element), csomópont (node) és csomóponti változó fogal-mak és kifejezések is. Az első alkalmazás kifejlesztésének célja repülőgép szárny-szerkezetek dinamikai és szilárdsági vizsgálata volt. A módszer nyilvánvaló sikere és hatékonysága, továbbá a számítástechnikai eszközök fejlődése intenzív kutatá-sokat indított be, aminek eredményeként ma már a végeselem eljárást a mérnöki fizika legkülönbözőbb területein használják, alkalmas többek között lineáris és nemlineáris mechanikai, áramlástani, hőtechnikai, akusztikai jelenségek modellezé-sére, időben állandó vagy tranziens folyamatok szimulációjára. Matematikusok tisztázták az eljárás konvergenciájával, pontosságával kapcsolatos problémákat és ezzel együtt több, ma már klasszikusnak számító könyv jelent meg, mint például
8 A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI
Zienkiewicz [18] és Przemieniecki [5] művei, amelyek még ma is korszerűnek és hasznosnak bizonyulnak. Az 1980-as években megjelentek az első magyar nyelvű, [10], [14], [15] egyetemi jegyzetek és szakkönyvek is. Mindezek eredményeként napjainkra a mérnöki tervező - elemző munka részévé váltak a végeselem eljárást valamilyen szinten alkalmazó szoftverek. Ezek között vannak a sok elemtípust és analízis lehetőséget tartalmazó általános célú végeselem programrendszerek, me-lyek a legkülönbözőbb mérnöki feladatok megoldására is alkalmasak (NASTRAN, ANSYS, MARC, COSMOS, ABACUS, stb.). Igen hasznosak a szerkezettípusra orientált rendszerek, melyekkel csak egy féle szerkezetet, például ipari csővezeté-keket (CAEPIPE) vagy acél, vasbeton vázszerkezeteket (FemDesign, AXIS) lehet tervezni, vizsgálni. A kereskedelmi forgalomban beszerezhető progranrendszerek megbízható, intelligens használatához és a kiszámított eredmények értékeléséhez a rendszer kezelésének ismeretén túl alapos szaktudásra is szükség van, aminek hiá-nyában a felhasználónak a szoftver csak egy zárt, titokzatos doboz.
A végeselem eljárást eredetileg szerkezetek mechanikai vizsgálatokhoz alkalmaz-ták, és ebben a jegyzetben is a lineáris rugalmasságtani feladatokon keresztül mu-tatjuk be a módszer elemeit. A jegyzet elsősorban az alapképzésben (BSc) részt vevőknek szól, ezért a feltételezett előtanulmányok a statika, szilárdságtan, dinami-ka, a matematikai analízis alapjai, közönséges és parciális differenciál egyenletek, továbbá a mátrixszámítás.
A bevezetést követő első fejezet röviden bemutatja a lineáris rugalmasságtan loká-lis és globáloká-lis modelljeit, a rugalmasságtani alapegyenleteket és a virtuáloká-lis munka elvét. Ennek csak az a célja, hogy az előtanulmányok során megszerzett ismerete-ket egységes szóhasználat és jelölésrendszer alkalmazásával felidézzük.
A második fejezet részletesebben foglalkozik a járműszerkezetekben fontos rúdel-méletekkel, a mérnöki gyakorlatban általánosan használt Euler-Bernoulli elmélet-tel, a nyírás hatását pontosabban leíró Timoshenko féle rúdmodellel. Ugyanez a fejezet részletezi, és több numerikus példával illusztrálja a virtuális munka elvének egyik közismert direkt numerikus megoldási módszerét, a Rayleigh-Ritz módszert.
Ezek a megoldott feladatok segíthetik a virtuális munka elvének és a direkt nume-rikus módszerek - beleértve a végeselem eljárást is - matematikai hátterének megér-tését.
A harmadik fejezet a virtuális munka elvére alapuló végeselem módszer - elmozdu-lás módszer - alapgondolatát, a legfontosabb mennyiségek, elemmátrixok bemuta-tását és levezetését foglalja össze.
A negyedik fejezet a rúdszerkezetek végeselem modellezését ismerteti. Részletes leírás található a síkbeli rácsos szerkezeteknél alkalmazott csuklós végpontú elem-ről valamint a hajlított gerenda elemelem-ről. Több kidolgozott számpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböző analízisek - statika, dinamika, stabilitás - megismerését.
Az ötödik fejezet a síkfeladatok végeselem modellezési lehetőségeit ismerteti.
A jegyzet végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrixszámítási ismereteket foglalja össze.
Több kidolgozott feladat és a sok ábra támogatja a bemutatott elméletek megértését és az alkalmazási készség fejlesztését, mivel egy jó ábra felér több száz magyarázó szóval. Ez a jegyzet nem egy enciklopédia, ami a végeselem módszer keretében használatos vagy ismert technikákat részletesen ismerteti, továbbá nem cél a végeselem programfejlesztői ismeretek átadása. Célunk a mérnöki, elsősorban a járműmérnöki területen tevékenykedő, elméletileg jól felkészült szoftver felhaszná-lók kiképzése.
10 A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI
Fontosabb mennyiségek jelölése A rúdelem keresztmetszete C rúd keresztmetszet középpontja C rugalmas anyag jellemzőinek mátrixa E rugalmassági modulus
G csúsztató rugalmassági modulus G nagy alakváltozások másodfokú része H nagy alakváltozások mátrixa
Iy, Ix rúd keresztmetszet fő másodrendű nyomatékok J csavarási másodrendű nyomaték
K rendszer lineáris merevségi mátrixa ke elem lineáris merevségi mátrixa KG rendszer geometriai merevségi mátrixa
L rúdelem hossza
M rendszer tömegmátrixa me elem tömegmátrixa
Mt rúd csavaró igénybevételei My, Mz rúd hajlító igénybevételei N rúd húzó igénybevétele
Ni interpolációs (forma) függvények N interpolációs (forma) függvénymátrix p felületi terhelés
P rendszer csomóponti terhelések mátrixa px, py megoszló terhelés
q térfogati megoszló terhelés
T keresztmetszet nyíró/csavaró középpontja T transzformáció mátrixa
U alakváltozási energia u elmozdulás mátrix u, v, w rúd tengely elmozdulásai ux, uy, uz elmozdulás koordináták Vy, Vz rúd nyíró igénybevételei Wk külső erők munkája
yT, zT csavaró/nyíró középpont koordináták
1 kritikus (stabilitásvesztési) terhelés szorzó
xy, xz ,
zy
nyíró feszültségek
0σ kezdeti feszültségek mátrixa γxy, γxz ,
γzy
fajlagos szögváltozások
Δi csomóponti szabadságfokok mátrixa ΔT hőmérséklet változása
ΔTGy Hőmérsékletváltozás gradiense ε kis alakváltozások mátrixa
ε* nem mechanikai hatásokból következő alakváltozás εx, εy, εz fajlagos nyúlások
θx, θy, θz forgás koordináták
ξ dimenziótlan hossz koordináta Π teljes potenciál
ρ tömegsűrűség
σ feszültségek mátrixa σx, σy, σz normál feszültségek
Φj sajátvektorok (lengéskép, stabilitásvesztés alakja)
ωj sajátfrekvenciák