Korreláló véletlenszám generálás problematikája

A valószínűségi változók sztochasztikus kapcsolatának becslésével kapcsolatban felmerült problémák részletes elemzésével befejeződött a Monte Carlo szimuláció folyamata első és legfontosabb lépésének, a modellépítésnek a tárgyalása. A következő feladat ezek után a szimuláció lefuttatásához szükséges további paraméterek megadása.

Ezek közül a 3.1 ábra alapján kiemelkedik a véletlenszám-generálás²⁷ kérdésköre. Ez azért fontos, mert ez határozza meg, hogy a felépített modell adataiból a mintavételezés a szimuláció során hogyan történjen. A témával kapcsolatos irodalom viszonylag szegényes, azonban van kiemelkedő külföldi és magyar publikáció²⁸ is. A gyakorlati problémát itt az jelenti, hogy a kereskedelemben kapható Monte Carlo szimuláció futtatására alkalmas szoftverek gyártói a véletlenszám generálás algoritmusát a szoftverekhez adott kezelési útmutatóban nem, vagy csak felületesen adják meg, ezért a felhasználó számára nem ismeretes a véletlenszám generálás „fekete dobozának” tartalma.

A kérdés azért érdekes, mert a szimuláció végeredménye szempontjából – melyre pl. a vállalti menedzsment döntéseit alapozza – lényeges, hogy az adott szoftver miként hajtja végre az egymással sztochasztikus kapcsolatban lévő valószínűségi változók véletlenszám generálást. Az értekezés tartalmi korlátai miatt nem kívánok a problémával részletesen foglakozni, csak jelezni szeretném, hogy dr. Andor korábban már többször említett PhD értekezésében egy külön fejezetet szentel ²⁹ a téma tárgyalásának, melyben javaslatokat tesz a probléma kezelésére. Ezek gyakorlati alkalmazását azonban megnehezíti, hogy az általa javasolt módszer alapján működő szoftver nem létezik³⁰.

27 Rövid magyarázat a véletlenszám generálással kapcsolatban. Ehhez: Deák I: Véletlenszám-generátorok és alkalmazásuk, Akadémiai Kiadó , Budapest, 1986. [55] jegyzetében foglaltakat használom fel.

Először tisztázni kell a véletlenszám sorozat fogalmát: Legyen ? valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [0;1] intervallumban (egyenletes eloszlás definíciója megtalálható a 2. fejezet 7. lábjegyzetében) , az u1…..un pedig a [0;1] intervallumban lévő számok sorozata, amelyet véletlennek nevezünk, ha: lim v(n)/n = b-a, ha n tart a végtelenbe, egyenlőség az [a,b] intervallumban fennáll, ahol v(n) jelenti az u1….un számok közül az (a,b) intervallumba esők számát, azaz az intervallumba esés az intervallum hosszával arányos. Ekkor az u1 …un végtelen számsorozatot l-egyenletesnek nevezzük. ( 26. oldal)

Meg kell jegyezni, hogy a véletlen számsorozat fogalma matematikailag pontos módon többféleképpen is definiálható. Egyenletes eloszlású számok generálására a Monte Carlo módszer akkor alkalmazható, ha a valószínűségi változók előállítása egymástól független véletlen realizációk. Ezeket többféleképpen is elő lehet állítani. Ezek közül az egyik megoldás, hogy a számokat számítógépes algoritmusok (generátorok) segítségével állítjuk elő (generáljuk) és a kapott számokat pszeudóvéletlennek nevezzük.

(24 oldal)

Az, hogy ezek tényleg véletlennek tekinthetők-e statisztikai próbával, pl. ?² illeszkedésvizsgálattal lehet ellenőrizni. (52 oldal) Természetesen lehetőség van arra is, hogy nem egyenletes eloszlású véletlen számokat is generáljunk, ilyenkor az a feladat, hogy a [0,1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változót egy adott eloszlásúvá transzformáljuk. Erre különböző módszerek ismertek.( 60-91 oldal)

Ezen túlmenően néhány nevezetes eloszlástípus véletlenszám generálásra (pl. normál, béta) stb. önálló módszerek alakultak ki.

(90-122 oldal)

28 pl. Deák I. Véletlenszám – generátorok és alkalmazásuk, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1986 [55]

David. B. Hertz- H. Thomas: Risk analysis and Its Applications, Wiley&Sons New York, 1983 [17] valamint C. Hull: Options, Futures and other Derivative Securities Prentice – Hall New Yersey, 1993 332. oldal [34], amely egy, kettő és több valószínűségi változó standard normális eloszlásából vett véletlenszám generálási eljárását mutatja be.

29 dr. Andor György: Beruházási döntések számítógépes támogatása doktori (PhD) értekezés Budapest, 1998. IV. fejezet „Függőségek kezelése a számítógépes szimulációban 56-78 oldal [1]

30dr. Andor György: Beruházási döntések számítógépes támogatása doktori (PhD) értekezés Budapest, 1998. IV. fejezet „Függőségek kezelése a számítógépes szimulációban 69 oldal [1]

Véleményem szerint - a gyakorló szakember szemszögéből – lényeges, hogy a szimulációs modell felépítése során nagy gondot kell fordítani a valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolatok vizsgálatára, a kapcsolatok szorosságát megadó korrelációs mátrix szakmailag korrekt kitöltésére A kereskedelemben kapható valamennyi színvonalas szoftver ugyanis a beépített véletlenszám generálás algoritmusával tudja kezelni a korrelációs mátrix tartalmát. Ebben az esetben van esély arra, hogy a szimuláció során kapott eredményekre támaszkodva a döntéshozó – az adott gazdálkodó egység gazdasági érdekeit szem előtt tartva – jó döntést tudjon hozni.

A véletlenszám generáláshoz kapcsolódik még egy probléma, amelyről szeretnék röviden beszélni. Ez pedig a kísérletek számának megadása. Ezt azért érdemes kiemelni, mert a kísérletek számától nagy mértékben függ a kapott eredmények megbízhatósága illetve pontossága. Nyilvánvaló, hogy annál megbízhatóbb az eredmény, minél nagyobb a véletlen mintavételezés (azaz a kísérletek) száma. Jóllehet napjainkban a számítógépek memóriakapacitása rohamosan nő, azonban így sem lehet cél a sokaság (azaz az összes lehetséges kimenet) leképezése. A kapott eredmény pontosságának mérésére alkalmas mutató a szimulációval kapott eloszlás várható értékének standard hibája³¹. Az 5.

fejezetben a demonstrációs példa kapcsán össze fogom hasonlítani a különböző számú kísérletekkel elvégzett szimuláció eredményeit.

A véletlenszám generálás problémakörének érintésével befejeződött a Monte Carlo szimulációs gyakorlati alkalmazásával kapcsolatban felmerült kérdések azonosítása. Úgy érzem a modellépítéssel kapcsolatban feltett kérdésekre megnyugtató választ sikerült adni.

Ezzel lehetővé válik a Monte Carlo szimulációnak a beruházás pénzáramára ható bizonytalanságok számszerűsítésre irányuló alkalmazása.

A szakirodalom azonban a Monte Carlo szimuláció bemutatásakor a módszer – a modellépítés fáradságos és sokszor nehéz feladatán túl – lényeges hátrányának tekinti, hogy a szimuláció sem ad megoldást a diszkontált cash-flow módszerrel szemben támasztott kritikákra, nevezetesen a bizonytalanságok hatásainak számszerűsítésére a beruházások környezetében rejlő lehetőségek dinamikus kezelésével³². A Monte Carlo szimuláció alkalmazásának legnagyobb előnye – ahogy azt már korábban is jeleztem –

31Ha M az egymástól független kísérletek száma és ? a szimulációval kapott függő változó standard szórása , akkor ezen változó várható értékének standard hibája az ?/?M összefüggéssel határozható meg. C. Hull: Options, Futures and other Derivative Securities Prentice – Hall New Yersey, 1993 333. oldal [34]

32Farkas Ádám: Opciós árelmélet alkalmazása vállalatok beruházási döntéseiben Doktori Értekezés Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem Budapest, 1995. 27-28oldal [8]

hogy segít a projekt értékét alapvetően meghatározó tényezők pontosabb azonosításában és megértésében, de nem haladja meg a DCF módszer által kijelölt statikus kereteket.

Ezért a következő fejezetben a beruházási döntések dinamikus kezelését lehetővé tevő egyik módszert, a reálopciót mutatom be, rámutatva azonban arra is, hogy a szimulációval kapott eredményeket miképp lehet a reálopció alkalmazása során felhasználni.