6. Együttes viselkedés 91
6.2. Konvolúció
Gyakran szükségünk van független változók összegének eloszlására. Ez különösen diszk-rét esetben számolható ki könnyen.
6.2 Tétel (Diszkrét konvolúciós formula) Legyenek ξ és η függetlenek, értékkészle-tük pedig {xk} és {yl}. Ekkor P(ξ+η =z) = P
Meg kell jegyezni, hogy ugyanezt sokkal egyszerűbben is kiszámíthattuk volna. Tud-juk, hogy úgy kaphatunk egy n és p paraméterű binomiális eloszlású változót, ha meg-számoljuk n független kísérletből a sikeres kísérletek számát (mindegyik kísérlet p va-lószínűséggel sikeres). Ez azt jelenti, hogy n független p-paraméterű indikátor válto-zó összege B(n, p) eloszlású. Legyenek ekkor X1, X2, . . . független, azonos eloszlású
p-indikátorok, ekkor X1 + . . . + Xn ∼ B(n, p), Xn+1 + . . . + Xn+m ∼ B(m, p), és
Független kísérleteket végzünk. Egy kísérlet p valószínűséggel sikeres. Jelöljük ξ-vel az r-edik sikeres kísérlet sorszámát. Ekkor ξ lehetséges értékei {r, r+ 1, r+ 2, . . .} és a {ξ =k} esemény pontosan azt jelenti, hogy az elsők−1kísérletbőlr−1sikeres és k−r sikertelen, továbbá az r-edik kísérlet sikeres. Így ennek valószínűsége:
P(ξ =k) = k−1r−1
·(1−p)k−r·pr. 6.5 Definíció A P(ξ=k) = k−1r−1
·(1−p)k−r·pr, k=r, r+ 1, r+ 2, . . . eloszlást(r, p) paraméterű (vagy másképpen r-edrendű p-paraméterű) negatív binomiális eloszlásnak nevezzük. Az r = 1 speciális esetet p-paraméterű Pascal vagy geometriai eloszlásnak nevezzük (ld. 3.5 fejezet).
6.3 Feladat Legyenekξ ∼p-Pascal ésη∼p-Pascal függetlenek. Mi összegük eloszlása?
Megoldás. Végezzünk p valószínűséggel sikeres kísérleteket. Legyen X az első sikeres kísérlet sorszáma. Utána addig kísérletezünk, amíg megint sikeresek nem leszünk. Ezen újabb kísérletek számát jelöljük Y-al. Ekkor X és Y független p-Pascal eloszlásúak, így egyrészt összegük eloszlása megegyezik ξ +η eloszlásával, másrészt összegük pont a 2. sikeres kísérlet sorszáma, melynek eloszlása másodrendű p paraméterű negatív binomiális.
Abszolút folytonos esetben is nagyon hasonló a konvolúciós formula, csak itt összegzés helyett integrálni kell.
6.3 Tétel (Konvolúciós formula) Legyenek ξ és η független, abszolút folytonos va-lószínűségi változók. Ekkor ξ +η is abszolút folytonos eloszlású, és sűrűségfüggvénye fξ+η(x) =
Ezzel a formulával a legkülönbözőbb eloszlású független valószínűségi változók összegének eloszlását lehet meghatározni, amit a következő példákban be is mutatunk.
6.4 Feladat X ésY független, egyenletes eloszlású valószínűségi változók a [0,1] inter-vallumon. Mi lesz összegük eloszlása?
Megoldás. Az X+Y valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a g(x) = R∞
−∞f(y)f(x− y)dy függvény, ahol f(x) a [0,1] intervallumban egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye.
Ezért f(y)f(x−y) = 1, ha 0 ≤ y ≤ 1, és 0 ≤x−y ≤ 1, azaz x−1 ≤ y ≤ x, és nulla egyébként. Ez azt jelenti, hogy az X +Y összeg g(x) sűrűségfüggvénye az x pontban megegyezik a [0,1]∩[x−1, x] intervallum hosszával. Hax <0vagy x >2, akkor a fenti metszet üres, ezért ebben az esetben g(x) = 0. Ha 0≤x≤1, akkor ez a metszet a [0, x]
intervallum, és ennek hossza x, azaz ebben az esetben g(x) =x. Ha 1 ≤ x ≤ 2, akkor ez a metszet a [x−1,1] intervallum amelynek hossza 2−x, azaz g(x) = 2−xebben az esetben.
A 6.1 és 6.2 ábrán látható, hogy ennél a konvolúciónál az eredeti sűrűségfüggvényre
6.1. ábra. A [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású változók sűrűségfüggvénye egyáltalán nem hasonlító sűrűségfüggvényt kaptunk. Meg kell jegyezni azt is, hogy ez a példa valójában megegyezik azzal a korábban megoldott példával, amikor az egységnégy-zetben véletlenszerűen választott pont 2 koordinátája összegének eloszlását határoztuk meg.
6.5 Feladat Vegyünk egy olyan autóbuszjáratot, ahol a buszok követési ideje egymástól független, azonos λ-exponenciális eloszlású. Jelölje ξ1 az első busz beérkezési idejét, ξ2
6.2. ábra. A [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású változók konvolúciójának sűrűség-függvénye
az első és a második busz érkezése közötti időt, ξ3 a második és harmadik busz érke-zése közöztti időt, stb. Ekkor mi a [0, t) időintervallumban beérkező buszok számának eloszlása?
Megoldás.Ahttp://www.math.elte.hu/~arato/peldatar/busz.gifanimációban lát-hatjuk a buszok érkezési idejét és a beérkező buszok számát abban a speciális esetben, amikor az első busz 6-kor indul és a buszok átlagosan óránként követik egymást. Le-gyenek ξ1, . . . , ξn független λ-exponenciális valószínűségi változók és Sn =ξ1 +. . .+ξn. Azt állítjuk, hogy ekkor Sn sűrűségfüggvénye gn(x) =
(0 x≤0
xn−1·λn·e−λx
(n−1)! x >0 . Ezt n-re vonatkozó teljes indukcióval látjuk be a következőképpen.
Az n = 1 esetben g1 pont aλ-exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye. Tegyük fel, hogy
n-ig igaz az állítás, és belátjuk (n+ 1)-re:
(x >0), amivel a kívánt eredményt kaptuk.
JelöljeN a beérkezett buszok számát. Erről az N-ről mutatjunk meg, hogy(λt)-Poisson eloszlású, ugyanis:
azaz ilyen valószínűséggel érkezik pontosan n busz a megállóba t idő alatt. Mellékesen megkaptuk azt az eredményt is, hogy amennyiben a buszok követési idejének várható értéke m, akkor t idő alatt várhatóan mt busz érkezik be a megállóba.
A megoldás során valójában azt mutattuk meg, hogyn db. függetlenλ-exponenciális eloszlású változó (ezek eloszlása egyben Γ1,λ) összege Γn,λ eloszlású. Nézzük ezt meg általánosabban!
6.6 Feladat X ésY függetlenλ >0paraméterű, α >0 illetveβ rendű gamma eloszlá-súak. Mutassuk meg, hogy X+Y λ >0paraméterű és α+β rendű gamma eloszlású!
Megoldás. Jelöljükf-elX,g-vel Y sűrűségfüggvényét. Mivelf is és g is csak a pozitív félegyenesen nem 0, ezért a konvolúciós formulában csak egy véges intervallumon kell integrálni:
f(x)·g(t−x) dx. Ez az azonosság természetesen nemcsak gamma eloszlású valószínűségi változókra, hanem tetszóleges pozitív abszolút
folytonos eloszlásúakra is igaz. A gamma eloszlásúakra kapjuk, hogy paraméterűΓeloszlás sűrűségfüggvényével arányos, és akkor az arányossági tényező csak 1 lehet. Azt is megkaptuk tehát, hogy
1
6.7 Feladat Legyenek ξ és η független, standard normális eloszlású valószínűségi vál-tozók. Mutassuk meg, hogy ξ2 +η2 exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 12 paraméterrel.
Megoldás. P(ξ2 < x) = Φ(√
x) − Φ(−√
x) = 2Φ(√
x) − 1, ha x ≥ 0. Ebből a ξ2 valószínűségi változó sűrűségfüggvénye g(x) = ϕ(
√x)
√x = √2πx1 e−x/2, ha x ≥ 0, és g(x) = 0, ha x < 0. Írjuk fel a konvolució segítségével a kívánt sűrűségfüggvényt.
f(x) =Rx
Észrevehetjük azonban, hogy valójában ezt a példát már megoldottuk, hiszen ξ2 elosz-lása nem más, mint Γ1
2,12, így ξ2 +η2 eloszlása az előző példa szerint Γ1,1
2, ami pont 12 paraméterű exponenciális eloszlás.
ξ2 eloszlását χ2 eloszlásnak, r darab független χ2 eloszlású változó összegének eloszlását pedig r szabadságfokú χ2 eloszlásnak nevezzük. Ez utóbbi jelölése χ2r.
A 6.3 és 6.4 ábrán különböző szabadságfokú χ2 eloszlások sűrűség-, illetve eloszlás-függvényét ábrázoltuk.
6.3. ábra. Különböző paraméterű χ2 eloszlások sűrűségfüggvénye
6.4. ábra. Különböző paraméterű χ2 eloszlások eloszlásfüggvénye
Felmerülhet a kérdés, hogy meg tudjuk-e határozni független valószínűségi változók különbségének sűrűségfüggvényét. Erre ad választ a következő példa.
6.8 Feladat Legyenek ξ és η független, abszolút folytonos valószínűségi változók.
Mu-tassuk meg, hogy ekkor ξ−η is abszolút folytonos eloszlású, és sűrűségfüggvénye
Megoldás.A példa állítása rögtön következik abból, hogyξ és−ηis független, abszolút folytonos valószínűségi változók, továbbá −η sűrűségfüggvénye f−η(y) =fη(−y).
Az előző példa eredményét rögtön alkalmazhatjuk a következő feladat megoldásánál.
6.9 Feladat LegyenekX, Y független, azonos exponenciális eloszlású valószínűségi vál-tozók. Határozzuk meg |X−Y| eloszlását!
Megoldás. X sűrűségfüggvénye
λe−λx, x≥0
0, x<0 , -Y sűrűségfüggvénye pedig λeλx, x < 0
0, x≥0 . A konvolúciós formula szerintX-Y sűrűségfüggvénye R∞
Ebből az abszolút érték sűrűségfüggvénye (ez csak a pozitív félegyenesen nem 0):
fX−Y(x) +fX−Y(−x) = λe−λx. Így ugyanolyan paraméterű exponenciális eloszlást kaptunk.
Következő példánk azt mutatja meg, hogy független, normális eloszlású változók összege szintén normális eloszlású lesz. Ennek a ténynek igen sok alkalmazása van.
6.10 Feladat Legyen η1 és η2 két független normális eloszlású valószínűségi változó m1 illetve m2 várható értékkel, σ12 és σ22 szórásnégyzettel. Lássuk be, hogy azη1+η2 összeg m1+m2 várható értékű ésσ21+σ22szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó.
Megoldás. Legyen először m1 = m2 = 0 és σ21 = 1, σ22 = σ2. Ekkor a konvolúciós formula szerint az összeg sűrűségfüggvénye:
R∞
= 1 Itt kihasználtuk azt, hogy
1
Visszatérve az általános esethez láthatjuk, hogy η1+η2 =m1+m2+σ1
6.11 Feladat A Súlytalan Kft által gyártott digitális konyhamérlegek mérési hibája két független tényezőre vezethető vissza. Az egyik az elem töltöttségétől függ, a másik a levegő páratartalmától. Az első hiba grammban mérve N(0,1) eloszlású, a második N(0,22). Milyen eloszlású a mérési hiba? Mennyi a valószínűsége, hogy egy 52 grammos zsemlét legfeljebb 48 grammosnak mérünk?
Megoldás.Mivel a hibákról feltételeztük, hogy függetlenek és normális eloszlásúak, ezért összegük N(0,1 + 4) =N(0,5) eloszlású. Jelöljük a zsemle mérésének eredményét X-el.
Ekkor X eloszlása N(52,5). Ebből a keresett valószínűség P(X ≤ 48) = P(X−52√
5 ≤
48−52√
5 ) = Φ(−1,7889) = 1−Φ(1,7889) = 1−0,9632 = 0,0368
6.12 Feladat Korábbi vizsgálatok szerint Budapesten egy köbméter levegőben a butin gázmolekulák mennyisége jó közelítésben normális eloszlásúnak tekinthető. Kis szennye-zettségű napon a paraméterek 950 és 102. Amennyiben egy kis szennyezettségű napon 50 független mérést végzünk, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a mérések átlaga meg-haladja a 960-as értéket?
Megoldás. Amennyiben a (ξ1, . . . , ξn) valószínűségi változók függetlenek és N(m, σ2) eloszlásúak, akkor
n
P
l=1
ξl eloszlása is normális nm és nσ2 paraméterekkel. Így a
n
P
l=1
ξl n
átlag eloszlása N(m,σn2). Esetünkben ez azt jelenti, hogy a mérések átlaga N(950,2) eloszlású. Amennyiben az átlagot Y-al jelöljük, úgy a keresett valószínűség P(Y >
960) =P(Y−950√
2 > 960−950√
2 ) = 1−Φ(7,07), ami 0-hoz nagyon közeli érték.