9. Véletlen bolyongás: a klasszikus eset és a gráfok 145
9.2. Elágazó folyamatok
Ebben a szakaszban nem negatív egész értékű valószínűségi változókkal fogunk dolgozni.
Ebben az esetben a változó eloszlását generátorfüggvény segítségével is megadhatjuk. Az X változó GX generátor függvényét egy hatványsor definiálja, melyben zn együtthatója az eloszlás n. tagja P(X =n), azaz
GX(z) =
∞
X
n=0
znP(X =n) =E zX .
Mivel az együtthatókra 0≤P(X =n)≤1teljesül, ezért a a generátor függvény konver-gens a (−1,1)intervallumban. GX-ből a nulla körüli Taylor-sorának együtthatói, vagyis az X eloszlásának tagjai deriválással megkaphatóak: P(X =n) = n!1G(n)X (0), ahol G(n)X az n. deriváltat jelöli.
HaX ≥0, de nem feltétlenül egész értékű, akkor az eloszlást megadhatjukXLaplace transzformáltjának LX-nek a segítségével is: LX(λ) =E e−λX
, λ≥ 0. Mi csak annyit fogunk kihasználni, hogy az LX Laplace transzformált egyértelműen meghatározza X eloszlását.
A címben szereplő elágazó folyamat alatt a következő fogjuk érteni.
9.1 Definíció (Sn)n≥0 elágazó folyamat, ha Sn+1 =
Sn
X
`=1
Xn,`,
ahol {Xn,` : n≥0, 1≤` ≤n} azonos eloszlású, független, nem negatív egész értékű valószínűségi változók. Az üres összeg értéke 0.
Sn-re úgy gondolunk, hogy az azn. generáció lélekszáma, mígXn,kazn. generációk.
egyedének utódszáma. Azt mondjuk, hogy a folyamat kihal, ha valamelyikn-re Sn= 0.
Vegyük észre, hogy egy elágazó folyamat egyben Markov lánc is, ugyanis a fejlődése könnyen felírható (8.1) alakban. A 9.5 ábrán a folyamat néhány realizációját láthatjuk, különböző átlagos utódszám mellett.
9.4 Feladat Legyen (Sn)n≥0 elágazó folyamat és tegyük fel, hogy S0 = 1.
n
9.5. ábra. Elágazó folyamat néhány realizációja Poisson utódszám eloszlás mellett. µaz átlagos utódszám.
(a) Írjuk fel az Sn generátor függvényét azX-ek közös generátorfüggvényének a segít-ségével.
(b) Számítsuk ki a „kihalás” valószínűségét!
Megoldás.
(a) Sn egy véletlen tagszámú összeg, amelyben a tagok száma és az összeadandók függetlenek, így
adódik, azaz Sn generátorfüggvénye az utódszám GX generátorfüggvényének n-szeres iteráltja.
(b) Annak az esélye, hogy az n. generáció lélekszáma nulla P(Sn= 0) =GSn(0).
Mivel (Sn = 0)⊂(Sn+1 = 0), ezért
P(a populáció kihal) =P(∪n(Sn= 0)) = lim
n→∞P(Sn = 0) = lim
n→∞GSn(0).
Legyen xn = GSn(0) = P(Sn = 0). Az (xn) sorozat monoton és korlátos, ezért konvergens. Mivel xn+1 =GX(xn) és GX folytonos, ezért a limesz biztosan eleget tesz az x=GX(x) összefüggésnek. Megmutatjuk, hogy a minket érdeklő megoldás a legkisebb nem negatív gyök. Legyen tehát x0 = min{x≥0 : x=GX(x)}. Ha x < x0, akkor G(x) ≤ x0. Valóban egy generátor függvény tetszőleges rendű deriváltja nem negatív, ezért x < x0 esetén létezik x0 ∈(x, x0), amivel
G(x)−G(x0)
x−x0 =G0(x0)≥0 Vagyis x < x0 miatt G(x)≤G(x0) következik.
Mivel 0≤x0 ezért xn≤x0 is fennáll mindenn ≥1-re, de akkorlimn→∞xn ≤x0 is igaz. Másfelől a limesz eleme annak a halmaznak aminek minimális eleme x0, így csakx0 = limn→∞xn lehetséges. Azt kaptuk tehát, hogy a kihalás valószínűsége az
P(a populáció kihal) = min{x≥0 : x=GX(x)}
ahol GX az utódszám generátor függvénye.
9.5 Feladat Legyen Xn olyan elágazó folyamat, melynél X0 = 1 és az utódszám gene-rátorfüggvénye
G(s) = 1−(b+c)
1−c + bs 1−cs, ahol b, c >0 ésb+c < 1.
(a) Számítsuk ki a kihalás valószínűségét!
(b) Határozzuk meg a
n→∞lim P(Xn=k|Xn>0) k= 1,2. . .
feltételes határeloszlást. (útmut.: számítsuk ki a feltételes eloszlás generátor függ-vényét!)
(c) Az1−b−c=c(1−c)feltétel mellett számítsuk kiP(Xn >0)értékét ésXn/n-nak az (Xn >0)eseményre vonatkozó feltételes eloszlásának Laplace transzformáltját.
(d) Tegyük fel, hogy a kihalás valószínűsége egynél kisebb. Számítsuk ki, erre az esetre Xn/E(X1)n Laplace transzformáltját és ennek segítségével számítsuk ki az Xn/E(X1)n változó (Xn > 0) eseményre vonatkozó feltételes eloszlásának a lime-szét.
Megoldás. Az utódszám generátor függvénye:
G(s) = 1−(b+c)
(a) A G(x) = x egyenlet legkisebb nem negatív megoldását keressük. Tudjuk, hogy x = 1 megoldás és legfeljebb két megoldás lehet, ezért elegendő a másik gyököt megkapni. p(x) = (1−cx)(G(x)−x) másodfokú polinom és G(x) = x valamely x ∈ [0,1]-re pontosan akkor teljesül, ha p(x) = 0. Ezért elegendő p(x)/(x−1)-et kiszámolni, amihez p első és másodfokú tagjának együtthatóját kell ismerni.
p(x) = (1−cx)
amiből p másik gyöke 1−b−cc(1−c). Azaz,
n→∞lim P(Xn = 0) = min ha az átlagos utódszám nagyobb mint 1, akkor pozitív valószínűséggel nem hal ki a populáció. Ha az átlagos utódszám legfeljebb egy, akkor a populáció egy valószínűséggel kihal.
(b) Jelölje
G[n]=G◦ · · · ◦G
| {z }
ndarab
a G generátor függvény n. kompozíció hatványát. Ez az Xn generátor függvénye. Ezért célszerű1−G[n](1−x)-et kifejezni. Vegyük észre, hogy haH(x) = 1−G(1−x), akkor H[n](x) = 1−G[n](1−x).Ezt n szerinti indukcióval érdemes végiggondolni. azaz H(x) = 1/h(1/x)alakú, ahol
h(u) = (1−c)c
lineáris függvény és β = 1/E(X1). Ugyancsak indukcióval érdemes végiggondolni, hogy H[n](x) = 1/h[n](1/x). Mivel h lineáris a kompozíció hatványok egyszerűen számolhatóak:
Állapodjunk meg abban, hogy 1−β1−βn jelentése n, haβ= 1.Ezzel a megállapodással 1−G[n](z) = H[n](1−z) = 1
h[n] 1−z1 = 1
βn1−z1 +α1−β1−βn = 1−z
βn+α1−β1−βn(1−z)
és
Ez azt jelenti, hogy Xn-nek az (Xn > 0) eseményre vonatkozó feltételes eloszlása geometriai pn = βn
βn+α1−βn1−β paraméterrel. n → ∞ esetén három féle viselkedés lehetséges:
(i) Ha β < 1, azaz az átlagos utódszám egynél nagyobb, akkor a feltétel való-színűségének nem nulla limesze van és pn → 0 és GXn|Xn>0(z) → 0. Ez azt jelenti, hogy a feltételes eloszlás limesze nem eloszlás. Az ok az, hogy az Xn valószínűségi változó a (infXn>0)eseményen végtelenhez tart.
(ii) Ha β = 1 akkor pn= 1/(1 +nα).és GXn|Xn>0(z)→0.
(iii) Ha β > 1, akkor pn → p = 1/(1 +α/(β − 1)) ∈ (0,1) és a határeloszlás geometriai p paraméterrel.
(c) A részfeladatban megfogalmazott eset β= 1-et jelent. Így P(Xn >0) = 1−G[n](0) = 1
βn+α1−β1−βn = 1 1 +nα. β = 1 mellett a feltételes generátor függvény:
GXn|Xn>0(z) = 1−1−G[n](z)
1−G[n](0) = z
1 +nα(1−z). Ebből a feltételes Laplace transzformált is kifejezhető:
L(Xn−1)/n|Xn>0(t) =E e−t(Xn−1)/n|Xn>0
Azaz(Xn−1)/n Xn >0melletti feltételes eloszlásának van limesze és azαvárható értékű exponenciális eloszlás. Mivel itt 1/n →0ezértXn/n feltételes eloszlásának is ugyanez a limesze.
(d) A kihalás valószínűsége akkor kisebb mint egy, azaz az átlagos utódszám egynél nagyobb, vagyis β = 1/E(X1)<1. Ekkor
GXn|Xn>0(z) = 1−
(1−z)
βn+α1−β1−βn βn+α1−β1−βn(1−z) A feltételes Laplace transzformált:
LβnXn(t) = E(exp{−t(βnXn)} |Xn >0) = GXn|Xn>0(e−tβn) = 1−
(1−z)
βn+α1−β1−βn
βn+α1−β1−βn(1−z) |z=e−tβn Kihasználjuk, hogy 1−etβ−tβnn →1ha n→ ∞. Így
n→∞lim LβnXn(t) = lim
n→∞1− βnt
βn+α1−β1−βn
βn+α1−β1−βnβnt = 1− t1−βα
1 + 1−βα t = 1 1 + 1−βα t Az adódott, hogy a feltételes eloszlás limesze exponenciális melynek várható értéke α/(1−β).
9.2.1. Gyakorló feladatok
1. Legyen Xn elágazó folyamat, X0 = 1.Tetszőleges rögzített k pozitív egész számra definiáljuk az Yr =Xrk sorozatot. Mutassuk meg, hogy Yr, r = 0,1,2, . . . szintén elágazó folyamat. Fejezzük ki az utódszámok generátorfüggvényeinek kapcsolatát a két folyamatban.
2. Legyen f(s) = 1−p(1−s)β (p, β ∈ (0,1)) generátor függvény. Számoljuk ki az iteráltakat.
3. Mutassuk meg, hogy
f(s) = s
(m−(m−1)sk)1/k generátor függvény és számítsuk ki az n-ik iteráltját.
4. A 0 pillanatban egy vértenyészetben legyen jelen egyetlen vörös vértest. Az első perc végén a vörös vértest elhal, és a következő kombinációk lehetségesek: 2 vörös vértest keletkezik 1/4 valószínűséggel, 1 vörös vértest és 1 fehér vérsejt keletkezik
2/3 valószínűséggel, 2 fehér vérsejt keletkezik 1/12 valószínűséggel. Minden egyes vörös vértest egy percig él, és az ősvértesthez hasonlóan hoz létre utódokat. Mind-egyik fehér vérsejt egy percig él, és azután elhal anélkül, hogy utódokat hozna létre.
Az egyes sejtek egymástól függetlenül viselkednek.
(a) Mi a valószínűsége annak, hogy a tenyészet a kezdetétől számított n + 1/2 perc múlva még egyetlen fehér vérsejt sem jelenik meg?
(b) Mekkora a tenyészet kihalásának a valószínűsége?
5. Legyen az utódszám generátor függvényef(s) =as2+bs+c.Mutassuk meg, hogy a kihalás valószínűsége min(c/a,1).
6. Jelölje Xn egy elágazó folyamatban az n. generáció lélekszámát és legyen X0 = 1.
Igazoljuk, hogy
P
maxk Xk > L|Xm = 0
≤P(Xm = 0)L.
7. Jelölje Xn egy elágazó folyamatban az n. generáció lélekszámát és legyen X0 = 1.
Tegyük fel, hogy az utódszám várható értéke E(X1) = m < 1. Számítsuk ki, az összes leszármazottak átlagos számát, azaz E(P∞
n=1Xn)-et.