Komplex tervezési és mérési feladat

Ebben a fejezetben áttekintjük a DC motor szabályozásánál alkalmazott állapot-visszacsatolásos szabályozás elméleti alapjait. Mivel a motor szabályozását egy számítógép segítségével végezzük el, így diszkrét idejű modellt fogunk használni, hiszen a szabályozás implementációja is ezt kívánja. Az itt bemutatott módszerek gyakorlati megvalósítását majd később MatLab segítségével el is végezzük. Az elméleti áttekintés során csak azokat a dolgokat emeljük ki, amelyek a később elvégzett motorszabályozás során hasznosításra is kerülnek, például nem lesz szó a folytonos idejű megvalósításról, illetve nem kerül minden felhasznált matematikai eljárás részletes bemutatásra, bizonyításra, ezekhez a leírás végén az ajánlott irodalom részben helyeztünk el forrásokat.

7.1. Az állapot-visszacsatolás és tervezése

Tekintsük az alábbi időinvariáns diszkrét idejű állapottér modellt:

( 6.1 )

Ahol

•

: az állapotváltozók oszlop vektora -adik időpontban;

•

: a bemeneti jel oszlopvektora -adik időpontban;

•

: a kimeneti jel vektora -adik időpontban;

•

: a rendszer/állapot mátrix;

•

: a bemeneti mátrix;

•

: a kimeneti mátrix;

•

: a segédmátrix (ez általában 0).

Az állapot-visszacsatolás célja az, hogy a rendszermátrixot olyan módon változtassuk meg, hogy a rendszer viselkedése számunkra kedvező legyen. Mivel sajátértékei a rendszer pólusai, így jól látható, hogy ezek megváltoztatásával a rendszer viselkedését – bizonyos korlátok mellett – szabadon választhatjuk meg. Az állapotegyenletekre ránézve észrevehetjük, hogy – -t a következőképpen választva – értéke megváltoztatható:

( 6.2 )

ahol az a rendszer referenciajele. Így a következőt kapjuk:

( 6.3 )

ahol:

•

: az állapot-visszacsatolást definiáló mátrix;

•

: a rendszer új bemeneti jele.

Az új rendszermátrix lesz, amelynek értékét a mátrixszal állíthatjuk be. Mivel nem közvetlenül hat a rendszermátrixra, hanem csak -vel való szorzás után, így tetszőleges eredményt nem érhetünk el.

Ezért az állapot-visszacsatolás tervezésének, megfelelő működésének feltétele a rendszer állapot irányíthatósága, azaz, hogy a rendszer tetszőleges állapotából véges idő alatt eljuthatunk egy megfelelő

bemeneti jel segítségével bármely másik állapotba. Diszkrét idejű rendszer esetén a teljes állapotirányíthatóság feltétele, hogy a rendszer irányíthatósági mátrixa ( ) maximális rangú legyen, azaz rangja megegyezzen az állapotváltozók számával ( ):

( 6.4 )

Az állapot-visszacsatolás tervezése azon alapul, hogy felírjuk, milyen karakterisztikus egyenletet szeretnénk elérni ( ), azaz hova kerüljenek a rendszer pólusai (természetesen a pólusok száma nem változhat az eredeti rendszerhez képest). Ez a felírás általában két domináns pólus megválasztására épül, amelyekkel definiáljuk, hogyan is viselkedjen az adott rendszer, és további segédpólusokat is megadunk, amelyek az előbbieknél nagyobbak (ezekre azért van szükség, hogy az eredeti rendszerrel egyező fokszámot nyerjünk).

A pólusok megadása diszkrét szabályozó esetén is folytonos időben történik, hiszen a szabályozott szakasz általában folytonos idejű. Stabil rendszert kívánva az összes pólus negatív valós résszel kell rendelkezzen. A domináns póluspárt a csillapítás ( ) és a szabályozási idő ( ) segítségével is megadhatjuk. Tekintsük a következő kéttárolós lengőtagot:

( 6.5 )

Ha , akkor az átviteli függvény pólusai:

( 6.6 )

ahol:

( 6.7 )

( 6.8 )

Az ugrásválasz burkológörbéjéből levezethető, hogy az százalékos szabályozási idő:

( 6.9 )

Ha tehát megadjuk és értékét, akkor:

( 6.10 )

Innen pedig a domináns póluspár számítható. A további pólusokat, hogy hatásuk ne legyen mérvadó, sokkal nagyobbra választjuk. Ha megvannak a folytonos idejű pólusok ( ), azok diszkrét idejű megfelelői ( ) a következőképpen számíthatóak:

( 6.11 )

ahol az alkalmazott mintavételezési idő.

Ezután a feladat az, hogy kiszámítsuk azt a értéket, amivel ez a cél elérhető. Egybemenetű, egykimenetű (SISO) rendszerek esetében ez könnyen megoldható: felírjuk rendszermátrix pólusait paraméterrel, majd ezeket összevetve a kitűzött pólusokkal értéke meghatározható. Ezt a módszert foglalja össze az úgynevezett Ackermann formula:

( 6.12 )

ahol a cél karakterisztikus egyenletbe behelyettesített eredeti rendszermátrixot jelöli. Több bemenetű, több kimenetű (MIMO) rendszerek esetében meghatározása összetettebb probléma, és általában csak közelítő megoldások érhetőek el, azaz a pólusok pozíciója eltérhet a tervezettől.

7.2. Alapjel korrekció alkalmazása

Az előbbi eljárással egy olyan rendszert nyertünk, amely az általunk választott pólusokkal rendelkezik.

Szabályozó tervezés esetén azonban azt is elvárjuk, hogy a teljes rendszer kimenete olyan értéket vegyen fel állandósult állapotban, amelyet annak alapjelként megadunk. Ehhez szükségünk van az úgynevezett alapjel korrekcióra. Az alapjel korrekcióval ellátott állapot-visszacsatolás a következő felépítésű:

6.26. ábra - Diszkrét idejű alapjel korrekció

Az az állapotvektor állandósult értéke, az pedig a beavatkozó jel értéke állandósult állapotban. Az -t tartalmazó előrecsatoló ág azért szükséges, mert nélküle nem lenne beavatkozó jel állandósult állapotban (tulajdonképpen egy integrátort helyettesít). Az ág kiszámítja az állapotváltozók célértékeit a kimenet célértékének megfelelően, így biztosítja, hogy bemenetére a hibajel érkezzen. Érdemes megjegyezni, hogy ha csak az előrecsatolást alkalmaznánk visszacsatolás nélkül, akkor is a véghelyzetbe kerülne egy idő után a rendszer (csak nem az általunk tervezett módon).

A cél tehát:

( 6.13 ) Ehhez:

( 6.14 )

meghatározása:

( 6.15 )

meghatározása:

( 6.16 )

Összefoglalva:

( 6.17 )

ahol egy n x m méretű csupa nullából álló mátrix, míg egy m méretű egységmátrix.

7.3. Állapot-megfigyelő tervezése

A valóságban sok esetben nem oldható meg, hogy az összes állapotváltozót megmérjük. Ennek oka lehet az, hogy az adott állapotváltozó mérésére nincs technikai lehetőség vagy nem mérhető elég pontosan, a mérés nem gazdaságos, vagy az állapotváltozó fizikai jelentése ismeretlen (például mesterségesen létrehozott, identifikációból kapott állapottér modellek esetén). Ilyenkor szükségünk lesz egy állapot-megfigyelőre, melynek feladata nevéből is jól érzékelhetően a rendszer állapotának meghatározása a kimenő- és bemenőjelek ismeretében, melyek mérése a legtöbb esetben jól megoldható. Az állapot-megfigyelőnek tehát két bemenete lesz: a szakasz be- ( ) és kimenete ( ), a kimenete pedig a megfigyelt állapotváltozók vektora lesz ( ).

Állapot-megfigyelő csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált rendszer megfigyelhető. Megfigyelhetőség alatt azt értjük, hogy a rendszer véges időintervallumbeli bemenetének és kimenetének ismeretében meghatározható a rendszer kezdő időpontbeli állapota. Diszkrét időinvariáns rendszerek esetén ez akkor teljesül, ha a rendszer megfigyelhetőségi mátrixa maximális rangú, azaz rangja :

( 6.18 )

Az állapot-megfigyelő alakja diszkrét időben:

( 6.19 )

A becslési hiba:

( 6.20 )

Célunk az, hogy a becslési hiba nullához tartson ( ). Helyettesítsük be az állapot-megfigyelő egyenletébe a becslési hibát és fejezzük azt ki:

( 6.21 )

Mivel:

( 6.22 )

Így:

( 6.23 )

Ebből:

( 6.24 ) A második két tag mindig nulla, ha:

( 6.25 )

Célunk továbbra is az, hogy minél gyorsabban, ez akkor teljesül, ha a következő rendszer stabil és gyors:

( 6.26 )

Ezt megfelelő választásával biztosíthatjuk. Ehhez helyettesítsük be a becslési hiba egyenletébe -t és -t:

( 6.27 )

In document Digitális szervo hajtások (Pldal 175-180)