A csúszómód szabályozó megtervezése három fő lépésből áll: első lépés a csúszófelület megtervezése, a második lépés egy olyan szabályozási törvény kiválasztása, amely az állapotváltozók trajektóriáját a csúszófelületre kényszeríti, majd azon tartja, végül a harmadik - a legfontosabb - lépés, a csattogás (lengés) mentesen történő megvalósítás.
Tekintsük a következő lineáris időinvariáns rendszert:
,
(4.42)
ahol , és . Célunk a rendszert egy adott kezdeti állapotból eljuttassuk egy előírt egyensúlyi állapotba, és ehhez feltételezzük, hogy szabályozható párt alkot. Ha az állapotváltozókat szétválasztjuk, a (4.42) rendszer átírható az alábbi,
(4.43)
reguláris alakra, ahol az beavatkozó jel közvetlenül csak az állapotváltozókra tud hatni, -re csak közvetetten, -n keresztül.
7.1. A csúszófelület tervezése
Csúszómód szabályozásnál általában a rendszer állapotváltozóinak számával megegyező dimenziójú fázistérben kijelölünk egy S csúszófelületet (kapcsolófelületet), amelyre rá akarjuk kényszeríteni a rendszerünket. A csúszófelülettel egyben megválasztjuk a visszacsatolt rendszer dinamikus tulajdonságait is. Természetesen ennek vannak elvi, és egy valós rendszernél egyéb fizikai korlátai is. A csúszófelületet klasszikusan az állapotváltozók lineáris kombinációjaként írjuk fel:
(4.44)
ahol és . Ha a rendszer csúszómódban van, akkor s= 0, vagyis . A csúszófelület megtervezése gyakorlatilag mátrix megválasztását jelenti, tehát a tervezési probléma leegyszerűsíthető egy kisebb dimenziójú altér
(4.45)
állapot visszacsatolásának a megtervezésére. Ebben az altérben x1 az állapotváltozó ésx2 a bemenőjel, amelyet alakú állapot visszacsatolással határozhatunk meg. Csúszómódban a rendszer viselkedését a
(4.46)
differenciálegyenlet írja le. Az eredeti szabályozási célunkat csak akkor érhetjük el, ha (4.46) stabilis. Így minden olyan állapot visszacsatoláson alapuló lineáris szabályozó tervezési algoritmus alkalmazható a kapcsolófelület megtervezésére, amely a (4.45)-öt stabilizálja (4.46) formában. Erre vonatkozóan a bevezető fejezet számos referenciát tartalmaz. Ez a tervezési módszer lineáris rendszerekre, illetve nemlineáris rendszerek linearizált modelljére alkalmazható.
7.2. A szabályozási törvény megválasztása
Ha a csúszófelületünk már megvan, akkor u értékét kell helyesen megválasztani. A visszacsatolt rendszer Ljapunov értelemben vett aszimptotikus stabilitásának, illetve annak a feltétele, hogy az adott rendszer mindig a csúszómód (s = 0 állapot) felé tartson és onnan ne térjen ki, a (4.40), illetve (4.41) feltételnek kell teljesüljön. Az egyszerűség kedvéért alkalmazzuk az első feltételt. A legegyszerűbb szabályozó elem, amely gondoskodhat a (4.41) teljesüléséről és a csúszómód kialakulásához vezethet, a relé (ld. 48. ábra):
(4.47)
4.8. ábra - Relés szabályozási törvény
Megjegyezzük, hogy a csúszómód szabályozó a robusztusságát a nagy (ideális esetben végtelenül nagy) körerősítésének köszönheti. Erről a visszacsatoló ágban lévő relé gondoskodik, amelynek erősítését a ki- és bemenőjelének hányadosával definiálhatjuk:
(4.48)
Csúszómódban si = 0, tehát a relé bemenetére 0 nagyságú jel érkezik, míg a kimenetén egy 0-tól különböző jel távozik, ezért ezt értelmezhetjük úgy, hogy a relé csúszómódban végtelenül nagy körerősítést kölcsönöz a szabályozási körnek.
(4.49)
A (4.47) nem tud gondoskodni a csúszómód kialakulásáról a teljes állapottérben. (4.47) szabályozási törvényt megfelelő tagokkal kiegészítve elérhető, hogy a csúszómód kialakulásának és fennmaradásának feltétele az egész állapottérben teljesüljön. Az esetben a következő szokásos szabályozási törvény gondoskodik a csúszómód fenntartásáról, megfelelő megválasztásával [26]:
(4.50)
Amennyiben a csúszómód bekövetkezett, akkor létezik egy olyan folytonos, úgynevezett ekvivalens beavatkozó jel, , amely a csúszófelületen képes tartani a rendszert. A (4.42) rendszeregyenletbe helyettesítve -t, kapjuk az ekvivalens vektort, amely az állapotváltozók mozgását írja le a csúszófelület mentén. Ennek megfelelően is (4.17)-ből számítható ki. A (4.43) és (4.44) egyenletekből meghatározható értéke:
(4.51)
Ennek alapján felírható az beavatkozó jel:
(4.52) A gyakorlatban azonban ez nem használható, ugyanis a rendszer paramétereinek, illetve A és B rendszermátrixok pontos ismeretét feltételezi, ezért helyett annak csak becsült értékét tudjuk kiszámítani.
Mivel sem , sem még önmagában nem biztosítja a csúszómód kialakulását (a zavarok távol tarthatják a rendszert csúszófelülettől), így egy olyan relés jellegű nem folytonos beavatkozó jelet adunk a becsült ekvivalens beavatkozó jelhez, amely képes kompenzálni a zavarok hatását.
(4.53)
Ebben az esetben a relének csak becslési hibáját kell kompenzálni, ezért minél pontosabban becsüljük értékét, annál kisebbre választhatjuk az M értékét és ezzel együtt annál kisebb csattogásra számíthatunk.
A gyakorlati alkalmazás szempontjából a (4.47) relés szabályozási törvénynek az a legnagyobb előnye, hogy könnyen megvalósítható akár egyszerű analóg műveleti erősítővel is, ezért relatívan nagy kapcsolási frekvencia érhető el, s ennek köszönhetően (4.47) közvetlenül vezérelheti a teljesítményelektronikai félvezető kapcsoló elemeket. Ezért ott is alkalmazható, ahol a szabályozott szakasz legnagyobb időállandója viszonylag kicsi (ms alatt van), s ahol gyors beavatkozásra van szükség, így jelenleg még a digitális szabályozók nem alkalmazhatók, illetve alkalmazásuk esetén sincs idő bonyolult számításra két mintavételezés között. Ezzel szemben a hátránya az, hogy a (4.47) nem tud gondoskodni a csúszómód kialakulásáról a teljes állapottérben. értékére vonatkozóan két egymásnak ellentmondó elvárás van. Minél nagyobb értéke, az állapottérnek annál nagyobb tartományában gondoskodhat a csúszómód kialakulásáról, de ezzel együtt annál nagyobb csattogást eredményezhet a csúszófelület körül. A (4.52) és (4.53) által leírt szabályozási törvények közvetlenül nem vezérlik a félvezető kapcsoló elemeket, egy ISZM (Impulzus Szélesség Moduláció) is szükséges az elméletileg folytonosan változó , illetve előállításához. Ez általában mechanikai rendszerek szabályozásakor nem probléma, mert a szabályozott mechanikai rendszerek (robotok, manipulátorok) mozgásának meghatározó frekvenciája 100 Hz-nél kisebb. A digitális szabályozók napjainkban elérhető mintavételezési (vagyis (4.52) és
(4.53) szabályozási törvényben a relé kapcsolási) frekvenciája legalább egy nagyságrenddel nagyobb és 1kHz körül van. A félvezető elemek kapcsolási frekvenciáját az akusztikus zaj csökkentése érdekében 20 kHz-nél nagyobbra szokás beállítani és ez ismét legalább egy nagyságrendi különbséget jelent a modulált , illetve
és a moduláló jel frekvenciája között.
7.3. A csattogás elkerülése
A gyakorlati alkalmazhatóság szempontjából ez a fejezet meghatározó fontosságú.
7.3.1. A szakadásos jel folytonossá tétele
Több csattogás elkerülési módszer arra irányul, hogy az szakadását a kapcsoló felület környékén egy folytonos átmenettel helyettesítse. A legegyszerűbb és talán ezért a leggyakoribban alkalmazott módszer, amikor a relét egy telítődéssel helyettesítjük (ld. 4-9. ábra).
4.9. ábra - Folytonos átmenetű, relés jellegű szabályozási törvény
Egy másik fontos megközelítés az ún. szektoros csúszómód. Ennek is több változata létezik. Furuta [20,21]
abból indul ki, hogy a csúszófelület közelében bizonyos esetekben található egy olyan szektor, ahol már nulla beavatkozó jel mellett is a rendszer a felület felé tart. Ő ezt PR szektornak nevezte el, mert a szektort a P norma csökkenése alapján jelöli ki. Kiderült, hogy vannak esetek, amikor annak ellenére, hogy a P norma csökken, az állapottrajektória kiléphet a PR szektorból, ezért további módosításokat javasolt [33].
A szektoros csúszómódnak egy teljesen más megközelítése található [17], [34] -ben. A csúszó szektort két felület határolja. A felületeket úgy választjuk ki, hogy a szektor Ljapunov értelemben stabilis legyen. A szektoron kívül a szokásos módon egy olyan csúszófelületre próbáljuk az állapottrajektóriát kényszeríteni, amelyik a szektort határoló két felület középértéke. Ez gondoskodik arról az állapottrajektória belépjen a szektorba, és ha egyszer belépett oda, akkor ott is maradjon. A szektoron belül a feltételül szabott stabilitásnak megfelelően az állapottrajektória automatikusan konvergál az origóhoz, ezért egy olyan folytonos beavatkozó jelet adunk ki, amely az aktuális állapotnak a szektort határoló két felülettől mért távolságának középértékével arányos, így az origóhoz közeledve automatikusan egyre kisebb lesz a beavatkozó jel. Az 5. fejezet részletesen foglalkozik ezzel.
7.3.2. Állapot-megfigyelő alapú csúszómód szabályozás
A csúszómód szabályozás legnagyobb problémája, hogy minden mérnöki modell a valósághoz képest elhanyagolásokon alapul. Bizonyos elhanyagolások egy folytonos beavatkozás esetén is okozhatnak gondot, például nem várt lengéseket, de ezeknek sokkal nagyobb a veszélye a csúszómód szabályozás esetén, ahol a nem folytonos beavatkozó jel nagyfrekvenciás összetevője rezonanciába kerülhet a valós rendszernek a tervezés során elhanyagolt kis időállandójú dinamikai tulajdonságával. A csattogásnak ez lehet az egyik oka. Más jellegű probléma, hogy a csúszómód szabályozás teljes állapot visszacsatoláson alapul és legtöbbször nem mérhető az összes állapotváltozó. Az utóbbi probléma megoldása az állapot-megfigyelő, abban az esetben, ha rendszerünk megfigyelhető. Bizonyos esetekben állapot-megfigyelő megoldást jelenthet a csattogási problémákra [1] is.
Ilyenkor az állapot-megfigyelő egyfajta szűrő szerepét látja el, a kapcsolási felületet és a beavatkozó jelet az állapotváltozók megfigyelt (becsült) értékéből számítjuk, még akkor is, ha a tényleges állapotváltozók mérhetőek. A szabályozó vázlata a 4-10. ábran látható. Miután a megfigyelő struktúrája és paraméterei ismertek, a megfigyelő – VSS szabályozó hurokban ideális csúszómód jöhet létre (VSS=Variable Structure Systems).
4.10. ábra - Állapot-megfigyelő alapú csúszómód szabályozás
A szinguláris perturbáció elvének megfelelően [35] a valós rendszer gyors időállandói elhagyhatók a megfigyelő modelljéből. Ily módon a megfigyelt állapotváltozók száma jelentősen lecsökkenthető. A megfigyelőt leíró egyenletek:
(4.54)
Az n index a névleges értékeket jelöli. A dinamika elhanyagolt gyors összetevőinek tranziens hatása miatt a valós rendszer és a megfigyelő kimenetei között lesz egy aszimptotikusan megszűnő eltérés, de a mozgásban a nem modellezett dinamika nem okoz oszcillációt.
7.4. Diszkrét idejű csúszómód szabályozás
A csattogás egy másik előidézője lehet a beavatkozó jel korlátozott kapcsolási frekvenciája. A folytonos idejű csúszómód szabályozás robosztusságát nagy frekvenciájú kapcsolgatással megvalósított nagy körerősítéssel érjük el. Ahhoz, hogy ezt a filozófiát a digitális szabályozók világában is alkalmazhassuk, a mintavételezési frekvenciát növelni kell más szabályozásokéhoz képest. Ennek a problémának megoldására a [22] irodalomban a csúszófelület aszimptotikus elérését ajánlják a kommutáció elkerülésére. Egy alternatív megoldást követ [23], ahol a mintavételezett állapotváltozók véges mintavételezési szám után elérik a csúszófelületet.
Definíció: Az
(4.55)
diszkrét idejű dinamikai rendszerben az felület részhalmazára akkor állhat elő diszkrét idejű csúszómód, ha létezik -nek olyan U nyílt környezete, amelyre -ból következik, hogy . A fenti definíciónak megfelelően a (4.43) állapotegyenlet diszkretizálható minden mintavételezési pillanatban.
, (4.56)
ahol a k index a k-adik mintavételezési időt jelöli, azaz ( a mintavételezési időállandó) és
,
(4.57)
A csúszófelület az mintavételezési pontban:
(4.58) A definícióból következik, hogy
(4.59)
minden -ra. A diszkrét idejű csúszómód megvalósul, ha a mátrix invertálható, és az beavatkozó jelet úgy kell megválasztani, hogy kielégítse a (4.59)-at.
(4.60) A folytonos idejű esethez hasonlóan a (4.60)-ből számított megoldást ekvivalens beavatkozó jelnek nevezzük:
(4.61) A szabályozási törvényt a következőképpen lehet definiálni:
(4.62)
ahol az beavatkozó jel fizikai korlátja.