Jacobi- ´ es QR-iter´ aci´ ok - Saj´ at´ ert´ ek-feladatok numerikus megold´ asa 33

4. Saj´ at´ ert´ ek-feladatok numerikus megold´ asa 33

4.2.3. Jacobi- ´ es QR-iter´ aci´ ok

4.19. A Jacobi-m´odszern´el az

a b b d

m´atrixhoz keresn¨unk kell egy olyan S=

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

forgat´asi m´atrixot, mellyel az S^TAS m´atrix diagon´alis lesz. A θ sz¨ogre teljes¨ulnie kell, hogy cos(2θ) = 0 (a =d eset´en) vagy hogy ctg(2θ) = (d−a)/(2b) (a 6=d eset´en), ill. a Pitagorasz-t´etelnek (4.5. t´etel). Igazoljuk, hogy az s := sinθ ´es c := cosθ ´ert´ekek meg-kaphat´ok a θ sz¨og explicit kisz´am´ıt´asa n´elk¨ul is! Igazoljuk el˝osz¨or, hogy olyan sz¨ogekre, melyekre a szerepl˝o f¨uggv´enyek ´ertelmezve vannak, igaz a

tg²θ+ 2 ctg(2θ)·tgθ−1 = 0 egyenl˝os´eg, majd adjuk meg ebb˝ol azs ´esc´ert´ekeket!=⇒ 4.20. Adjuk meg az

2 4 4 2

, B=

1 −2

−2 4

m´atrixokhoz tartoz´oS Jacobi-transzform´aci´os m´atrixokat! =⇒ 4.21. V´egezz¨unk el k´et l´ep´est az





3 2 2 2 3 2 2 2 3





m´atrixszal a Jacobi-m´odszerrel (gener´aljuk a Jacobi-transzform´aci´okat az els˝o sor harma-dik ´es a m´asodik sor harmadik elemeivel), majd adjunk becsl´est a m´atrix saj´at´ert´ekeire a kapott iter´aci´os m´atrix alapj´an! =⇒

4.22. V´egezz¨unk el k´et l´ep´est az







3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3







m´atrixszal a Jacobi-m´odszerrel (gener´aljuk a Jacobi-transzform´aci´okat az els˝o sor negye-dik ´es a m´asodik sor negyedik elemeivel), majd adjunk becsl´est a m´atrix saj´at´ert´ekeire a kapott iter´aci´os m´atrix alapj´an! =⇒

4.23. () V´egezz¨unk el a Jacobi-m´odszerrel (balr´ol jobbra ´es fentr˝ol lefel´e haladva a m´atrix f˝o´atl´o feletti r´esz´en) annyi iter´aci´os l´ep´est az A = tridiag([−1,2,−1]) ∈ R^5×5 m´atrixszal, m´ıg a m´atrix f˝o´atl´on k´ıv¨uli r´esz´enek Frobenius-norm´aja az eredeti m´atrix Frobenius-norm´aj´anak 1/1000-e nem lesz! Adjunk becsl´est a m´atrix saj´at´ert´ekeire a ka-pott iter´aci´os m´atrix seg´ıts´eg´evel! =⇒

4.24. () Hat´arozzuk meg annak a 10×10-es m´atrixnak a saj´at´ert´ekeit, melynek a f˝o´atl´oj´aban 4-esek ´allnak a t¨obbi elem pedig 1-es! =⇒

4.25. Alkalmazzuk a QR-iter´aci´ot az A=

1 3 2 2

m´atrix saj´at´ert´ekeinek meghat´aroz´as´ara! V´egezz¨unk el k´et iter´aci´os l´ep´est, ´es ez alapj´an adjunk becsl´est a saj´at´ert´ekekre! =⇒

4.26. Hat´arozzuk meg az

1 2

−1 0

m´atrix QR-felbont´as´at valamelyik tanult m´odszer seg´ıts´eg´evel, ´es v´egezz¨unk el egy ite-r´aci´os l´ep´est a QR-iter´aci´oval!=⇒

4.27. () ´Irjunk MATLAB programot, amely a QR-iter´aci´ot hajtja v´egre az [s,h]=qriter(A,nmax,toll)

paranccsal, ahol A az a m´atrix, aminek a saj´at´ert´ekeit meg szeretn´enk hat´arozni, nmax a maxim´alis iter´aci´osz´am, ´es a toll toleranciaszint egy olyan le´all´asi felt´etelt ad, hogy ha az iter´aci´os m´atrix f˝o´atl´on k´ıv¨uli r´esz´enek Frobenius-norm´aja kisebb, mint az A m´atrix Frobenius-norm´aj´anak toll szorosa, akkor m´ar le´all´ıthatjuk az iter´aci´ot! A kimen˝o para-m´eterek az iter´aci´os m´atrix f˝o´atl´oj´anak elemei (ezek) a saj´at´ert´ekbecsl´esek ´es ezek hib´aja (a Gersgorin-t´etel alapj´an). =⇒

4.28. Hozzunk l´etre egy olyan fels˝o Hessenberg-m´atrixot, melynek ugyanazok a saj´

at-´

ert´ekei, mint az al´abbi A m´atrixnak! Alkalmazzunk Householder-t¨ukr¨oz´est a transzfor-m´aci´ohoz!





4 1 3 4 4 4 3 1 4





=⇒

4.29. Hozzunk l´etre egy olyan fels˝o Hessenberg-m´atrixot, melynek ugyanazok a saj´

at-´

ert´ekei, mint az al´abbi A m´atrixnak! Alkalmazzunk Householder-t¨ukr¨oz´est a transzfor-m´aci´ohoz! Milyen alak´u lesz a transzform´alt m´atrix azon t´ul, hogy fels˝o Hessenberg?





4 4 3 4 4 4 3 4 4





=⇒

4.30. () MATLAB-ban sz´amolva a r´eszsz´am´ıt´asokat, hozzunk l´etre egy olyan fels˝o Hessenberg-m´atrixot, melynek ugyanazok a saj´at´ert´ekei, mint az al´abbi A m´atrixnak!

Alkalmazzunk Householder-t¨ukr¨oz´est a transzform´aci´ohoz!







4 3 2 1 3 4 3 2 2 3 4 3 1 2 3 4







=⇒

4.31. () M´odos´ıtsuk a 4.27. feladatbeli programot ´ugy, hogy a program hozza az A m´atrixot Hessenger-alakra a QR-iter´aci´o megkezd´ese el˝ott! =⇒

4.32. () Adjuk meg a4.30.feladatban szerepl˝o m´atrix saj´at´ert´ekeit a4.31.feladatbeli QR-iter´aci´os program seg´ıts´eg´evel! Legyen a toleranciaszint 10⁻⁶! =⇒

4.33. () Adjuk meg az A = tridiag(1,−2,1) ∈ R^20×20 m´atrix saj´at´ert´ekeit a 4.31.

feladatbeli QR-iter´aci´os program seg´ıts´eg´evel! Legyen a toleranciaszint 10⁻⁸! =⇒

5. fejezet

Nemline´ aris egyenletek ´ es

egyenletrendszerek megold´ asa

5.1. K´ epletek, ¨ osszef¨ ugg´ esek

Azf(x) = 0 egyenlet megold´as´at keress¨uk, ahol ´altal´abanf :R→Rfolytonos f¨uggv´eny.

A megold´ast el˝osz¨or a z´erushelyek elk¨ul¨on´ıt´es´evel kezdj¨uk, azaz megadunk olyan in-tervallumokat, amelyek tartalmazz´ak a z´erushelyeket. Ebben seg´ıt az al´abbi t´etel.

5.1. T´etel (El´egs´eges felt´etel z´erushely l´etez´es´ere egy intervallumban.) Ha egy folytonos f¨uggv´eny eset´en f(a)·f(b)<0 (a < b), akkor van olyan c∈(a, b), melyre f(c) = 0, s˝ot ha f szigor´uan monoton, akkor pontosan egy ilyen z´erushely van csak.

Polinomok z´erushelyeinek lokaliz´aci´oj´at seg´ıti az al´abbi t´etel.

5.2. T´etel (Polinomok z´erushelyeinek lokaliz´aci´oja.)Ap(x) =anxⁿ+. . .+a1x+

a₀ (a_n, a₀ 6= 0) polinom z´erushelyei az orig´o k¨ozep˝u R= 1 +A/|a_n|´es r = 1/(1 +B/|a₀|) sugarak ´altal meghat´arozott k¨orgy˝ur˝uben vannak, ahol

A= max{|an−1|, . . . ,|a0|}, B = max{|an|, . . . ,|a1|}.

Az al´abbiakban felsoroljuk a legfontosabb nemline´aris egyenlet megold´o elj´ar´asokat. A t´etelekbenk_maxmindig a maxim´alis iter´aci´osz´amot ´estolla le´all´asi felt´etelekben haszn´alt toleranciaszintet jelentik. Az x^? ´ert´ek az f f¨uggv´eny egy z´erushelye. Az algoritmus v´ eg-rehajt´asa ut´ank ´ert´ek´eb˝ol tudhatjuk, hogy el´ert¨uk-e a k´ıv´ant pontoss´agot: hak < k_max, akkor a pontoss´agot el´ert¨uk, hak =k_max, akkor amiatt ´allt le az algoritmus, mert el´ert¨uk a maxim´alis l´ep´essz´amot.

5.3. T´etel (Az intervallumfelez´esi m´odszer konvergenci´aja.) Tegy¨uk fel, hogy az f f¨uggv´eny folytonos az [a, b] intervallumon ´es f(a)·f(b)<0. Ekkor az

k= 0

while k < k_max and (b−a)/2> toll x:=a+ (b−a)/2

if f(x) = 0 then end

else

if f(x)·f(a)>0 then a=x

else b=x end if end if k :=k+ 1 end while

algoritmus ´altal szolg´altatott xk sorozatra xk →x^?, ahol x^? az f f¨uggv´eny egyik [a, b]-be es˝o z´erushelye, tov´abb´a igaz az

|x_k−x^?| ≤ b−a 2^k+1 hibabecsl´es.

Azt mondjuk, hogy azf f¨uggv´eny kiel´eg´ıti az alapfeltev´eseket az [a, b] intervallumon, ha van [a, b] belsej´eben z´erushelye, legal´abb k´etszer folytonosan deriv´alhat´o, ´es megfelel˝o pozit´ıv konstansokkal 0 < m₁ ≤ |f⁰(x)| ≤M₁ <∞´es 0< m₂ ≤ |f⁰⁰| ≤ M₂ <∞ is igaz minden x∈[a, b] pontban.

5.4. T´etel (A h´urm´odszer konvergenci´aja.) El´eg´ıtse ki f az alapfeltev´eseket az

[a, b] intervallumon! Ekkor az

f a:=f(a), f b:=f(b) k := 0, f x := 1

while k < k_max and |f x|> toll

x:=b−f b·(b−a)/(f b−f a), f x=f(x) if f x·f a <0 then

b :=x, f b:=f x else

a:=x, f a:=f x end if

k:=k+ 1 end while

algoritmussal el˝o´all´ıtott xk sorozat tart az f(x) = 0 egyenlet egyetlen x^? megold´as´ahoz, a konvergencia els˝orend˝u, ´es ´erv´enyes az

|x_k+1−x^?| ≤C|x_k−x^?| becsl´es, ahol C =|x₀−x^?|M₂/(2m₁).

5.5. T´etel (A szel˝om´odszer konvergenci´aja.) Teljes´ıtse az f f¨uggv´eny az alapfel-tev´eseket az [a, b] intervallumon! Ekkor, ha max{|a−x^?|,|b −x^?|} < 2m₁/M₂, akkor a

f a:=f(a), f b:=f(b) k := 0, f x := 1

while k < kmax and |f x|> toll

x:=b−f b·(b−a)/(f b−f a), f x=f(x) if |f x|< toll then

end else

a:=b, b:=x end if

end while

szel˝om´odszerrel el˝o´all´ıtottx_ksorozat monoton m´odonx^?-hoz tart, ´es a konvergencia rend-je (1 +√

5)/2≈1.618. Tov´abb´a ´erv´enyes az

|x_k+1−x^?| ≤C|x_k−x^?||xk−1−x^?| becsl´es a C =M₂/(2m₁) v´alaszt´assal.

5.6. T´etel (A Newton-m´odszer konvergenci´aja.) Teljes´ıtse azf f¨uggv´eny az alap-feltev´eseket az [a, b] intervallumon! Ha az

x:=x₀, dx:= 1, k:= 0

while k < k_max and |dx|> toll dx=f(x)/f⁰(x)

x:=x−dx k :=k+ 1 end while

algoritmust olyan x₀ pontb´ol ind´ıtjuk, melyre |x₀−x^?|<min{|a−x^?|,|b−x^?|,2m₁/M₂}, akkor a m´odszer ´altal el˝o´all´ıtott x_k sorozat m´asodrendben ´es monoton m´odon konverg´al az x^? hat´ar´ert´ekhez, tov´abb´a ´erv´enyes az

|x_k+1−x^?| ≤C|x_k−x^?|² becsl´es a C =M₂/(2m₁) v´alaszt´assal.

5.7. T´etel (Newton-m´odszer monoton konvergenci´aja.) Tegy¨uk fel, hogy az f f¨uggv´eny els˝o ´es m´asodik deriv´altja sem vesz fel nulla ´ert´eket az x^? z´erushely ´es az x₀ kezd˝opontok ´altal meghat´arozott intervallumon, ´es f(x₀)f⁰⁰(x₀) > 0! Ekkor a Newton-m´odszer ´altal gener´alt {x_k} sorozat szigor´uan monoton sorozat lesz ´es x^?-hoz tart.

Megjegyezz¨uk, hogy a m˝uveletsz´amokat is figyelembe v´eve a fenti m´odszerek k¨oz¨ul a szel˝om´odszer a leggyorsabb. Az intervallumfelez´esi m´odszer ´es a h´urm´odszer mindenk´ ep-pen megtal´alja valamelyik z´erushelyet az intervallum belsej´eben, a szel˝o ´es a Newton-m´odszer pedig csak akkor tal´alja meg a z´erushelyet, ha megfelel˝o helyr˝ol ind´ıtjuk ˝oket.

Nemline´aris egyenletek egy m´asfajta megold´asi m´odszere az ´un. fixpont iter´aci´o, amely a Banach-f´ele fixpontt´etelt haszn´alva ´all´ıt el˝o egy x^?-hoz tart´o sorozatot. Ehhez az f(x) = 0 egyenletet ´at´ırjuk a vele ekvivalens x =F(x) alakra egy megfelel˝o F f¨ ugg-v´ennyel. Az F f¨uggv´eny kontraktivit´as´anak igazol´as´ahoz haszn´alhatjuk az 1.23. feladat eredm´eny´et.

5.8. T´etel Legyen F : [a, b]→[a, b] kontrakci´o, tov´abb´a legyen F legal´abb r-szer folyto-nosan differenci´alhat´o ´ugy, hogy

F⁰(x^?) =. . .=F^(r−1)(x^?) = 0,

es F^(r)(x^?)6= 0. Ekkor azF ´altal meghat´arozott fixpont iter´aci´o [a, b] b´armelyik pontj´ab´ol ind´ıtva r-edrendben tart az F f¨uggv´eny egyetlen [a, b]-beli fixpontj´ahoz.

Nemline´aris egyenletrendszerek eset´en az egyenletrendszer egy f:Rⁿ→Rⁿ, f(x1, . . . , xn)7→(f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn))

vektor-vektor f¨uggv´eny seg´ıts´eg´evel fel´ırhat´o f(x) = 0 alakban, ahol x = (x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ.

Amennyiben ekvivalens m´odon az f(x) = 0 egyenletet olyanx=F(x) alakra tudjuk

at´ırni megfelel˝o F:Rⁿ →Rⁿ,

F(x₁, . . . , x_n)7→(F₁(x₁, . . . , x_n), . . . , F_n(x₁, . . . , x_n))

f¨uggv´ennyel, melyre egy adott x₀ helyr˝ol ind´ıtva az x_k+1 =F(x_k) iter´aci´ot az konverg´al egy x^? vektorhoz, akkorx^? nyilv´anval´oan az egyenletrendszer egy megold´asa lesz.

Az x₀ kezd˝ovektort kital´alhatjuk pl. az egyenletrendszer megold´as´ara vonatkoz´o v´ a-rakoz´asainkb´ol, vagy n= 2 eset´en ´abr´azolhatjuk azf₁ ´esf₂ koordin´ataf¨uggv´enyek 0-hoz tartoz´o szintvonalait ´es megsejthetj¨uk ezek k¨or¨ulbel¨uli metsz´espontj´at, vagy egyszer˝uen csak tal´alomra elind´ıtjuk n´eh´any helyr˝ol az iter´aci´ot, b´ızva abban, hogy az konverg´alni fog.

Ha tudjuk igazolni, hogy teljes¨ulnek a Banach-f´ele fixpontt´etel felt´etelei egy bizonyos halmazon, akkor az biztos´ıtja, hogy a halmazb´ol tetsz˝oleges pontr´ol ind´ıtva a fixpont iter´aci´ot, az az egy´ertelm˝uen l´etez˝o fixponthoz fog tartani. A Banach-f´ele fixpontt´etelt alkalmazhatjuk pl. az al´abbi alakban.

5.9. T´etel (A Banach-f´ele fixpontt´etel nemline´aris egyenletrendszerekre. [3, 547. oldal, Theorem 10.6]) Tegy¨uk fel, hogy az x =F(x) egyenlet F iter´aci´os f¨ ugg-v´enye a D n-dimenzi´os t´eglatartom´anyt ¨onmag´aba k´epezi, ´es folytonosan deriv´alhat´o ko-ordin´ataf¨uggv´enyei mindegyik´ere igaz egy 0≤q <1 sz´ammal, hogy

∂F_i

∂x_j

≤ q n.

Ekkor az x_k+1 = F(x_k) iter´aci´o tetsz˝oleges x₀ ∈ D kezd˝ovektor eset´en az F f¨uggv´eny egyetlen D-beli x^? fixpontj´ahoz tart, tov´abb´a ´erv´enyes az

kx_k−x^?k∞≤ q^k

1−qkx₁−x₀k∞

hibabecsl´es.

Egy speci´alis fixpont iter´aci´ot ´all´ıt el˝o a Newton-iter´aci´o is.

5.10. T´etel (Newton-iter´aci´o konvergenci´aja nemline´aris egyenletrendsze-rekre. [10, 283. oldal, Theorem 7.1]) Ha az f : Rⁿ → Rⁿ folytonosan deriv´ al-hat´o f¨uggv´enynek van x^? z´erushelye egy D ⊂ Rⁿ ny´ılt, konvex halmazon, valamint x^?

egy k¨ornyezet´eben azf f¨uggv´eny JJacobi-m´atrixa Lipschitz-folytonos, tov´abb´a x^?-ban in-vert´alhat´o, akkor l´etezik olyan k¨ornyezete x^?-nak, melynek b´armelyik pontj´ab´ol elind´ıtva az

x_k+1 =x_k−(J(x_k))⁻¹f(x_k) iter´aci´ot az m´asodrendben az egyenlet x^? megold´as´ahoz tart.

5.2. Feladatok

5.2.1. Sorozatok konvergenciarendje, hibabecsl´ ese

5.1. Hat´arozzuk meg az a_k= 1/k´es b_k = 2^−k sorozatok konvergenciarendj´et! −→=⇒ 5.2. Hat´arozzuk meg az e_k = 10⁻²^k ´es f_k = 10^−k² sorozatok konvergenciarendj´et! −→

=⇒

5.3. Mekkora az al´abbi 2-h¨oz tart´o sz´amsorozat konvergenciarendje? −→ =⇒ 2.100000000000000

2.040000000000000 2.001024000000000 2.000000000439805

5.4. Igazoljuk, hogy az al´abbi 5-h¨oz tart´o sorozat konvergenciarendje (legal´abb) kett˝o!

=⇒

5.200000000000000 5.080000000000000 5.012800000000000 5.000327680000000 5.000000214748365 5.000000000000092

5.5. Tegy¨uk fel, hogy x^? z´erushelye egy f val´os-val´os f¨uggv´enynek, ´es hogy x egy tet-sz˝oleges olyan ´ert´ek, hogy az x^? ´es xk¨ozti z´art szakasz minden pontj´aban f folytonosan deriv´alhat´o, ´es van olyanm₁ >0 konstans, mellyel|f⁰(x)| ≥m₁. Igazoljuk, hogy ´erv´enyes az

|x−x^?| ≤ |f(x)|

m₁ becsl´es! −→=⇒

5.2.2. Z´ erushelyek lokaliz´ aci´ oja

5.6. Igazoljuk, hogy az f(x) =xlnx−1 f¨uggv´enynek van z´erushelye az [1, e] interval-lumban! H´any z´erushely van itt? −→ =⇒

5.7. H´any z´erushelye van a p(x) = x³−2x²+ 4x−4 polinomnak? Adjunk meg olyan 2-n´el nem hosszabb intervallumokat, melyekben benne vannak a z´erushelyek! −→ =⇒ 5.8. H´any z´erushelye van ap(x) = x³−2x²+x−1/10 polinomnak? Adjunk meg olyan 1-n´el nem hosszabb intervallumokat, melyekben benne vannak a z´erushelyek! −→ =⇒ 5.9. H´any megold´asa van az x²e^x = sinx egyenletnek? H´any pozit´ıv megold´as van?

Lokaliz´aljuk ˝oket! Lokaliz´aljuk a legnagyobb negat´ıv megold´ast! =⇒

5.10. Adjunk als´o ´es fels˝o becsl´est ap(x) =x⁵−4x⁴+3x²+5x−4 polinom z´erushelyeinek abszol´ut ´ert´ekeire! −→=⇒

5.2.3. Intervallumfelez´ esi m´ odszer

5.11. Adjuk meg az x³+x−4 polinom z´erushely´et 10⁻²-n´al kisebb hib´aval ´ugy, hogy az intervallumfelez´esi m´odszert haszn´aljuk az [0,4] intervallummal ind´ıtva az iter´aci´ot!

Becs¨ulj¨uk meg el˝ore, hogy h´any l´ep´esre lesz sz¨uks´eg¨unk az adott pontoss´ag´u megold´ashoz!

−→ =⇒

5.12. Adjunk 1/10-n´el kisebb hib´aval becsl´est √³

25-re az intervallumfelez´esi m´odszert haszn´alva! Becs¨ulj¨uk meg el˝ore a sz¨uks´eges l´ep´essz´amot!−→ =⇒

5.13. () ´Irjunk MATLAB programot, amely az intervallumfelez´esi m´odszert hajtja v´egre! =⇒

5.14. () Adjuk meg azf(x) = e^x−x²−3x+ 2 f¨uggv´eny [0,1] ´es ag(x) = 2xcos(2x)− (x+ 1)² f¨uggv´eny [-3,-2] intervallumbeli z´erushelyeit!=⇒

5.2.4. Newton-m´ odszer

5.15. A Newton-m´odszert haszn´aljuk a 2 sinx = x egyenlet megold´as´ara az x₀ = 2 pontb´ol ind´ıtva. Az x₁ els˝o iter´aci´os l´ep´es ´ert´ek´ere 1.9010 ad´odott. Adjunk hozz´avet˝ ole-ges becsl´est arra, hogy h´any iter´aci´os l´ep´est kell elv´egezn¨unk ahhoz, hogy a megold´ast megkapjuk legal´abb 5 helyes tizedesjegyre! [7, 794. oldal]−→ =⇒

5.16. H´any megold´asa van aze^−x+x²−10 = 0 egyenletnek? Hat´arozzuk meg a pozit´ıv megold´as(oka)t a Newton-m´odszer seg´ıts´eg´evel legal´abb hat helyes tizedesjegyre! =⇒

5.17. Hat´arozzuk meg az e^−x = sinx egyenlet legkisebb pozit´ıv megold´as´at a Newton-m´odszer seg´ıts´eg´evel n´egy helyes tizedesjegy pontoss´aggal! =⇒

5.18. H´any val´os z´erushelye van a p(x) = x³ −x−4 polinomnak? Az egyik meghat´ a-roz´as´ara haszn´aljuk a Newton-m´odszert! V´egezz¨unk el annyi iter´aci´os l´ep´est, hogy k´et egym´as ut´ani k¨ozel´ıt´es elt´er´ese kisebb legyen m´ar, mint 0.01!=⇒

5.19. Hat´arozzuk meg azx⁴−x−10 = 0 egyenlet legkisebb pozit´ıv megold´as´at h´arom helyes tizedesjegy pontoss´aggal!=⇒

5.20. Alkalmazzuk az 5.5.feladat eredm´eny´et azf(x) =x²−2 f¨uggv´eny pozit´ıv z´ erus-hely´enek Newton-m´odszeres megkeres´es´enek le´all´asi felt´etelek´ent!=⇒

5.21. Alkalmazzuk az5.5. feladat eredm´eny´et az f(x) = cosx−xf¨uggv´eny z´erushely´ e-nek Newton-m´odszeres megkeres´es´enek le´all´asi felt´etelek´ent! =⇒

5.22. Azf(x) = x³−3x+2 f¨uggv´enyx^? = 1 z´erushely´enek meghat´aroz´as´ara haszn´altuk a Newton-m´odszert. Az iter´aci´o az al´abbi sorozatot gener´alja, ami nyilv´anval´oan nem m´asodrendben tart 1-hez. Mi ennek az oka? M´odos´ıtsuk ´ugy a Newton-m´odszert az adott feladatra ´ugy, hogy az m´asodrend˝u legyen! −→ =⇒

2 1.5556 1.2979 1.1554 1.0796 1.0403 1.0203

5.23. Igazoljuk, hogy ha f m-szer folytonosan deriv´alhat´o ´esx^? f m-szeres z´erushelye, akkor az

x_k+1 =x_k−mf(x_k) f⁰(x_k)

m´odos´ıtott Newton-iter´aci´o m´asodrendben konvergens lesz! −→=⇒ 5.24. Igazoljuk, hogy a

g(x) := f(x) f⁰(x)

f¨uggv´enynek f(x) minden z´erushely´en´el egyszeres z´erushelye van! Javasoljunk egy olyan m´odos´ıtott Newton-m´odszert ez alapj´an, amelyn´el nem fordul el˝o konvergenciarend-cs¨okken´es!−→ =⇒

5.25. Az f(x) = −3x³ −5x² +x+ 1 f¨uggv´enynek van egy z´erushelye a [−1,0] inter-vallumban. Haszn´alhatjuk-e a megold´as megkeres´es´ere a Newton-m´odszert az x₀ = 0 pontb´ol indulva? −→ =⇒

5.2.5. H´ ur- ´ es szel˝ om´ odszer

5.26. Hat´arozzuk meg az f(x) = cos(2x−1) f¨uggv´eny [-1,1] intervallumbeli z´erushely´et a h´urm´odszer seg´ıts´eg´evel! V´egezz¨unk el n´egy l´ep´est a m´odszerrel! =⇒

5.27. Oldjuk meg az 5.26. feladatot a szel˝om´odszer seg´ıts´eg´evel! V´egezz¨unk el ¨ot iter´ a-ci´os l´ep´est! =⇒

5.28. () Hasonl´ıtsuk ¨ossze a szel˝o- ´es a Newton-m´odszert az f(x) = ln(sin(x⁸−12x³)e^x²⁻¹+ 1

f¨uggv´eny legkisebb pozit´ıv z´erushely´enek megkeres´esekor! Ind´ıtsuk mindk´et m´odszert az x₀ = 0.7-es ´ert´ekr˝ol! A szel˝om´odszer eset´en legyen x₁ = 0.69. =⇒

5.2.6. Fixpont iter´ aci´ ok

5.29. Szeml´eltess¨uk grafikonon az x_x+1 = F(x_k) alak´u fixpont iter´aci´okat! Mutassunk p´eld´at egy konvergens ´es egy nem konvergens esetre! =⇒

5.30. Az x_k+1 = ln (1 +x_k)− (x_k − x²_k/2) iter´aci´o fixpontja x^? = 0. Adjuk meg a fixpont egy olyan k¨ornyezet´et, ahonn´et az iter´aci´ot ind´ıtva az a fixponthoz tart! Mekkora a konvergencia rendje? −→ =⇒

5.31. Az f(x) =x² −2 = 0 egyenlet megold´as´anak meghat´aroz´as´ara szeretn´enk hasz-n´alni az

x_k+1 =x_k+A

x²_k−2 x_k

x²_k−2 x³_k

iter´aci´ot. Hat´arozzuk meg ´ugy A ´es B ´ert´ek´et, hogy a lehet˝o legmagasabb rend˝u legyen a konvergencia! −→=⇒

5.32. Adjunk meg olyan x_k+1 =F(x_k) alak´u fixpont iter´aci´ot, amely azx₀ = 0 pontb´ol ind´ıtva a 2 −x² = 0 egyenlet pozit´ıv megold´as´ahoz tart! Azt is adjuk meg, hogy a javasolt m´odszerrel, mennyit kellene l´epni ahhoz, hogy a megold´ast 10⁻⁶-n´al pontosabban megk¨ozel´ıts¨uk!=⇒

5.33. Az x= 0.5 + sinx egyenlet megold´as´ara alkalmaztuk az x^(k+1) = 0.5 + sinx^(k), x⁽⁰⁾ = 1

iter´aci´ot, ´es eredm´eny¨ul az x^? = 1.497300. . . ´ert´eket kaptuk. Mutassuk meg, hogy 10 iter´aci´o ut´an m´ar megkaphattuk ezt a megold´ast 6 helyes tizedesjegyre! =⇒

5.34. Igazoljuk, hogy az

x_k+1 = x_k 3 + 1

x_k

iter´aci´oval el˝o´all´ıtott sorozat tetsz˝olegesx₀ ∈[1,2] kezd˝o´ert´ek eset´enp

3/2-hez tart! Ha x₀ = 2-r˝ol ind´ıtjuk az iter´aci´ot, akkor h´anyadik tagt´ol esnek m´ar a sorozat elemei a hat´ar´ert´ek 10⁻³-os k¨ornyezet´ebe? =⇒

5.35. Az al´abbi fixpont iter´aci´okat haszn´aljuk √³

21 meghat´aroz´as´ara azx₀ = 3 pontb´ol indulva. Vizsg´aljuk meg a m´odszereket konvergencia ´es konvergenciasebess´eg szempont-j´ab´ol! [3, 54. oldal]

a) x_k = 20xk−1+ 21/x²_k−1

21 , b) x_k=xk−1− x³_k−1−21

3x²_k−1 , c) x_k=xk−1−x⁴_k−1−21xk−1

x²_k−1−21

−→ =⇒

5.36. Igazoljuk, hogy az

x_k+1 =x_k− f(x_k)

f⁰(xk)−f(xk)f⁰⁰(xk)/(2f⁰(xk))

iter´aci´o harmadrendben konverg´al az f(x) f¨uggv´eny x^? z´erushely´ehez, ha az egyszeres z´erushely! (Ez az ´un. Halley-f´ele iter´aci´o.) =⇒

5.2.7. Nemline´ aris egyenletrendszerek megold´ asa

5.37. Tekints¨uk az al´abbi nemline´aris egyenletrendszert [3, 548. oldal]

3x1−cos(x2x3)−1/2 = 0, x²₁−81(x₂+ 0.1)²+ sinx₃+ 1.06 = 0, e^−x¹^x² + 20x₃+ (10π−3)/3 = 0!

Igazoljuk, hogy az egyenletrendszernek pontosan k´et megold´asa van a [−1,1]×[−1,1]× [−1,1] kock´aban! −→ =⇒

5.38. () Hat´arozzuk meg az 5.37. feladat megold´asait 10⁻⁶-os, maximumnorm´aban m´ert hib´aval!=⇒

5.39. () H´any megold´asa van az

x²₁−10x₁+x²₂ + 8 = 0 x1x²₂+x1−10x2 + 8 = 0

nemline´aris egyenletrendszernek a [−10,10]×[−10,10] n´egyzet belsej´eben? [3, 551. oldal, 5. feladat] =⇒

5.40. () Igazoljuk, hogy az 5.39.feladatban szerepl˝o nemline´aris egyenletrendszernek pontosan egy megold´asa van aD= [0,1.5]×[0,1.5] n´egyzet belsej´eben! Hat´arozzuk meg ezt a megold´ast 10⁻⁶-os pontoss´aggal maximumnorm´aban!=⇒

5.41. () Hat´arozzuk meg az5.39.nemline´aris egyenletrendszer megold´asait a Newton-m´odszer seg´ıts´eg´evel! −→ =⇒

5.42. () Hat´arozzuk meg az

5x²−y² = 0 y−0.25(sinx+ cosy) = 0

nemline´aris egyenletrendszer [1/4,1/4]^T k¨ozel´ebe es˝o megold´as´at a Newton-m´odszer se-g´ıts´eg´evel! [3, 552. oldal, 6. feladat] =⇒

6. fejezet

Interpol´ aci´ o ´ es approxim´ aci´ o

6.1. K´ epletek, ¨ osszef¨ ugg´ esek

Az interpol´aci´os alapfeladat az, hogy a koordin´ata-rendszerben adott k¨ul¨onb¨oz˝o absz-cissz´aj´u pontokhoz megkeress¨uk egy bizonyos f¨uggv´enyoszt´alyb´ol azokat az ´un. interpo-l´aci´os f¨uggv´enyeket, melyek grafikonja ´atmegy az ¨osszes ponton. Csak azokkal az esetek-kel foglalkozunk, amikor az interpol´aci´os f¨uggv´enyt a polinomok ill. a trigonometrikus polinomok k¨or´eben keress¨uk.

6.1.1. Polinominterpol´ aci´ o

6.1. T´etel (Interpol´aci´os polinom egy´ertelm˝us´ege.) Adott (x_k, f_k) (k = 0, . . . , n) pontok eset´en egy´ertelm˝uen l´etezik egy olyan L_n legfeljebb n-edfok´u polinom, melynek grafikonja ´atmegy az ¨osszes adott ponton.

6.2. T´etel (Lagrange-f´ele el˝o´all´ıt´as.) Az L_n interpol´aci´os polinom az L_n(x) =

k=0

f_kl_k(x) k´eplettel adhat´o meg, ahol

lk(x) = (x−x₀). . .(x−x_k−1)(x−x_k+1). . .(x−x_n) (x_k−x₀). . .(x_k−xk−1)(x_k−x_k+1). . .(x_k−x_n) az x_k ponthoz tartoz´o ´un. Lagrange-f´ele alappolinom.

6.3. T´etel (Newton-f´ele el˝o´all´ıt´as.) Az L_n interpol´aci´os polinom el˝o´all´ıthat´o Ln(x) = [x0]f

+ [x₀, x₁]f ·(x−x₀)

+ [x₀, x₁, x₂]f ·(x−x₀)(x−x₁) +. . .

+ [x₀, x₁, . . . , x_n]f·(x−x₀). . .(x−xn−1)

(6.1)

alakban, ahol az egy¨utthat´ok´ent szerepl˝o ´un. osztott differenci´ak rekurz´ıv m´odon hat´ aroz-hat´ok meg az [x_k]f =f_k ´es

[x₀, . . . , x_s]f = [x₁, . . . , x_s]f−[x₀, . . . , x_s−1]f x_s−x₀

k´epletek seg´ıts´eg´evel.

Ha egy ismertf f¨uggv´eny grafikonj´ar´ol v´alasztjuk az interpol´aland´o pontokat, akkor m´erhetj¨uk az f f¨uggv´eny ´es a pontokra illesztettL_nf interpol´aci´os polinom pontonk´ en-ti elt´er´es´et. Az E_n(x) = (L_nf)(x) −f(x) ´ert´eket az x pontbeli interpol´aci´os hib´anak nevezz¨uk.

6.4. T´etel (Interpol´aci´os hiba.) Amennyiben f ∈ Cⁿ⁺¹ az x pont ´es az x₀, . . . , x_n alappontok ´altal meghat´arozott I intervallumban, akkor ez az interpol´aci´os hiba az

E_n(x) = −f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ_x)

(n+ 1)! w_n+1(x)

alakban ´ırhat´o, ahol ξx az I intervallum belsej´ebe es˝o megfelel˝o konstans, ´es wn+1(x) = (x−x₀)·. . .·(x−x_n) az ´un. alappontpolinom. Az alappontpolinom abszol´ut ´ert´eke be-cs¨ulhet˝o a

|w_n+1(x)| ≤ hⁿ⁺¹n!

4 formul´aval, ahol h a leghosszabb oszt´ointervallum hossza.

Altal´´ aban nem garant´alhat´o, hogy az interpol´aci´os hiba null´ahoz tartson, ha egyre t¨obb alappontot vesz¨unk fel.

6.5. T´etel (Az egyenletes konvergencia egy el´egs´eges felt´etele.) Tegy¨uk fel, hogy az f f¨uggv´eny tetsz˝olegesen sokszor deriv´alhat´o az I = [a, b] intervallumon ´es van olyanM pozit´ıv sz´am, hogy az intervallum mindenxpontj´aban|f⁽ⁿ⁾(x)| ≤Mⁿ. Ekkor, ha az interpol´aci´os alappontok mindig az I intervallumb´ol ker¨ulnek ki, akkor az Lnf inter-pol´aci´os polinomsorozat egyenletesen tart az f f¨uggv´enyhez az I intervallumon, tov´abb´a

kL_nf −fk_C[a,b] ≤ Mⁿ⁺¹

(n+ 1)!(b−a)ⁿ⁺¹.

Az interpol´aci´os hiba cs¨okkenthet˝o, ha az interpol´aci´ot ´un. Csebisev-alappontokon v´egezz¨uk el. A Csebisev-polinomok a [−1,1] intervallumon a

T₀(x) = 1, T₁(x) = x, T_n+1(x) = 2xTn−1(x)−Tn−2(x) rekurzi´oval ´ertelmezettek. Tn+1 z´erushelyei

x_n+1,k = cos

(2k+ 1)π 2(n+ 1)

k = 0, . . . , n alakban ´ırhat´oak.

6.6. T´etel (Csebisev-alappontos interpol´aci´o hibabecsl´ese.) Amennyiben n+ 1 Csebisev-alapponton interpol´alunk, akkor az interpol´aci´os hiba fels˝o becsl´es´ere teljes¨ul, hogy

|E_n(x)| ≤ Mn+1

(n+ 1)!2ⁿ,

ahol M_n+1 = max_x∈[−1,1]{|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|}. A Lipschitz-folytonos f¨uggv´enyeket Csebisev-alap-pontokon interpol´alva L_nf →f egyenletesen a [−1,1] intervallumon.

Amennyiben olyan polinomot keres¨unk az interpol´aci´o sor´an, amelynek ´ert´ekei ´es deriv´altjai is adottak az alappontokban, akkor Hermite–Fej´er-interpol´aci´or´ol besz´el¨unk.

6.7. T´etel (Hermite–Fej´er-f´ele intepol´aci´os polinom egy´ertelm˝us´ege.)Han+ 1alappont adott, akkor egy´ertelm˝uen l´etezik olyan legfeljebb2n+1-ed fok´uH_2n+1 polinom, amely az alappontokban az el˝ore megadott ´ert´ekeket ´es deriv´alt´ert´ekeket vesz fel.

6.8. T´etel (Hermite–Fej´er-f´ele interpol´aci´os polinom el˝o´all´ıt´asa.)Az Hermite–

Fej´er-interpol´aci´os el˝o´all´ıthat´o a

H_2n+1(x) =

k=0

f_k⁽⁰⁾(1−2(x−x_k)l⁰_k(x_k))l²_k(x) +

k=0

f_k⁽¹⁾(x−x_k)l²_k(x)

k´eplettel, ahol l_k a k-adik alapponthoz tartoz´o Lagrange-f´ele alappolinom. M´asfajta el˝o´ al-l´ıt´as nyerhet˝o az interpol´aci´os polinom Newton-f´ele el˝o´all´ıt´as´ahoz hasonl´oan, ha minden alappontot k´etszer szerepeltet¨unk az osztott differencia t´abl´azatban, ´es k´et egyforma pont

In document Numerikusm ´o dszerekp ´e ldat ´a r (Pldal 42-0)