6. Interpol´ aci´ o ´ es approxim´ aci´ o 53
6.1.3. Approxim´ aci´ o polinomokkal
Itt a c´elunk adott alappontokhoz meghat´arozni az alappontokat legkisebb n´egyzetek ´ er-telemben legjobban k¨ozel´ıt˝o adott foksz´am´u polinomot. Ezt megtehetj¨uk norm´alegyenlet
´
es ortogon´alis f¨uggv´enyek seg´ıts´eg´evel is.
6.14. T´etel (Alappontokat legkisebb n´egyzetek ´ertelemben legjobban k¨ozel´ıt˝o polinom meghat´aroz´asa norm´alegyenlettel.) Az (xi, fi) (i = 1, . . . , n) pontokat legkisebb n´egyzetek ´ertelemben legjobban k¨ozel´ıt˝o, legfeljebbk-adfok´u (k≤nk¨ul.−1)akxk+ . . .+a1x+a0 polinom egy¨utthat´oit az
t´ulhat´arozott line´aris egyenletrendszer legkisebb n´egyzetek ´ertelemben legjobb aLS megol-d´asa adja.
6.15. T´etel (Legkisebb n´egyzetek ´ertelemben legjobb k¨ozel´ıt´es ortogon´alis f¨ ugg-v´enyek seg´ıts´eg´evel.) Legyenek φ1, . . . , φk p´aronk´ent ortogon´alisak ´es norm´altak az
x1, . . . , xn alappontokon, ´es legyen F =lin{φ1, . . . , φk}, azaz aφi f¨uggv´enyek ¨osszes
line-´
aris kombin´aci´oja. Az (xi, fi) (i = 1, . . . , n) (k¨ul¨onb¨oz˝o abszcissz´aj´u) pontokat legkisebb n´egyzetek ´ertelemben legjobban k¨ozel´ıt˝o φ? f¨uggv´eny az F halmazb´ol a
φ?(x) =
k
X
i=1
(φTi (x)f)φi(x) alakban ´ırhat´o.
Term´eszetesen az ut´obbi t´etel alkalmaz´as´ahoz el˝osz¨or el˝o kell ´all´ıtani az alapponto-kon ortogon´alis polinomokat. Mivel az 1,sin(jx),cos(jx) polinomok ortogon´alis rendszert alkotnak a szok´asos alappontrendszereken, ´ıgy a legjobban k¨ozel´ıt˝o trigonometrikus po-linom az interpol´aci´os polinom megfelel˝o foksz´am´u polinomra val´o csonkol´asa lesz.
6.2. Feladatok
6.2.1. Polinominterpol´ aci´ o
Interpol´aci´o Lagrange ´es Newton m´odszer´evel ´altal´anos alappontokon
6.1. Hat´arozzuk meg a (−1,2), (2,4), (3,0), (4,2) pontok eset´en az alappontokhoz tartoz´o Lagrange-f´ele alappolinomokat ´es a pontokra illeszked˝o interpol´aci´os polinomot Lagrange m´odszer´evel! −→ =⇒
6.2. Hat´arozzuk meg a (−1,2), (2,4), (3,0), (4,2) pontokra illeszked˝o interpol´aci´os polinomot Newton m´odszer´evel (v¨o.6.1.feladat)! ´All´ıtsuk el˝o az interpol´aci´os polinomot Horner-alakban is! =⇒
6.3. Hat´arozzuk meg az (1,5), (3,2), (4,3) pontokra illeszked˝o interpol´aci´os polinomot Lagrange ´es Newton m´odszer´evel is!=⇒
6.4. H´any m˝uveletre van sz¨uks´eg n+ 1 alappont eset´en a Lagrange- ´es a Newton-f´ele interpol´aci´os polinomok helyettes´ıt´esi ´ert´ekeinek kisz´am´ıt´as´ahoz? =⇒
6.5. Hogyan cs¨okkenthet˝o a helyettes´ıt´esi ´ert´ekek meghat´aroz´as´anak m˝uveletsz´ama az interpol´aci´os polinom Lagrange-alakj´anak megfelel˝o ´atalak´ıt´as´aval? −→ =⇒
6.6. Hat´arozzuk meg a (−1,2), (2,4), (3,0), (4,2) pontokra illeszked˝o interpol´aci´os polinomot a baricentrikus interpol´aci´os formul´aval (v¨o. 6.1. feladat)! A baricentrikus interpol´aci´os formul´at l´asd a 6.5. feladatban. =⇒
6.7. Hat´arozzuk meg az al´abbi pontokat interpol´al´o interpol´aci´os polinomokat valame-lyik tanult m´odszerrel!
a) xk 1 3 fk 4 6 b) xk 1 3 4
fk 4 6 8 c) xk 1 3 4 5
fk 4 6 8 0
=⇒
6.8. Igazoljuk, hogy az lk(x) (k= 0, . . . , n) Lagrange-f´ele alappolinomokra teljes¨ul az
n
X
k=0
xsklk(x) = xs
egyenl˝os´eg tetsz˝oleges s = 0, . . . , n term´eszetes sz´am eset´en! −→ =⇒
6.9. A log23 ´ert´eket szeretn´enk k¨ozel´ıteni az f(x) = log2x f¨uggv´eny x0 = 2,x1 = 4 ´es x2 = 8 alappontokra illeszked˝o interpol´aci´os polinomja seg´ıts´eg´evel. Mekkora ´ert´eket ad ez a k¨ozel´ıt´es, ´es mekkora a v´arhat´o hiba? =⇒
6.10. K¨ozel´ıts¨uk √
5 ´ert´ek´et az f(x) = √
x f¨uggv´enyt az x = 0,1,4,9 alappontokon interpol´al´o polinom x= 5 pontbeli ´ert´ek´evel! =⇒
6.11. Az f(x) = 1/x f¨uggv´enyt szeretn´enk k¨ozel´ıteni a [0.5,1] intervallumon az ekvi-diszt´ans feloszt´ashoz tartoz´o alappontokbeli f¨uggv´eny´ert´ekekre illesztett p(x) interpol´ a-ci´os polinommal. Mekkora interpol´aci´os hib´ara sz´am´ıthatunk, ha az oszt´ointervallumok sz´ama 10? =⇒
6.12. Hogyan egyszer˝us´ıthet˝o az interpol´aci´os polinom meghat´aroz´asa a Newton-m´ od-szerrel, ha az alappontok egyforma t´avol vannak egym´ast´ol? −→ =⇒
6.13. Hat´arozzuk meg a 6.12. feladat m´odszer´evel a (4,1), (6,3), (8,8) ´es (10,20) pon-tokhoz tartoz´o interpol´aci´os polinomot!=⇒
6.14. Azf(x) = lnxf¨uggv´enyt szeretn´enk k¨ozel´ıteni az [1,2] intervallumon az ekvidisz-t´ans feloszt´ashoz tartoz´o alappontokbeli f¨uggv´eny´ert´ekekre illesztett p(x) interpol´aci´os polinommal. Ha 20 oszt´ointervallumot haszn´alunk, akkor mekkora interpol´aci´os hib´ara sz´am´ıthatunk? =⇒
6.15. Az f(x) = lnx f¨uggv´enyt interpol´aljuk az [1,2] intervallumon ekvidiszt´ans alap-pontokon. Igaz-e, hogy az interpol´aci´os polinomok egyenletesen tartanak az lnx f¨ ugg-v´enyhez az adott intervallumon, ha a feloszt´asok sz´ama v´egtelenhez tart? =⇒
6.16. Hat´arozzuk meg az f(x) = 1/xf¨uggv´eny eset´en az [x0, . . . , xn]f n-edren˝u osztott differenci´at! =⇒
6.17. Hat´arozzuk meg azf(x) =xn+1f¨uggv´eny eset´en az [x0, . . . , xn]f n-edren˝u osztott differenci´at! =⇒
6.18. () ´Irjunk MATLAB programot, amely meghat´arozza a Newton-f´ele osztott dif-ferenci´akat, ´es adott pontokban kisz´am´ıtja az interpol´aci´os polinom ´ert´ek´et! =⇒
6.19. () Adjunk becsl´est az
Z 1 0
sin(x2) dx
integr´alra ´ugy, hogy az integr´alt a 11 ekvidiszt´ans eloszl´as´u alappontban interpol´al´o polinom integr´alj´aval k¨ozel´ıtj¨uk!=⇒
6.20. () A v´ızg˝oz nyom´asa (Hgmm) az al´abbi m´odon f¨ugg a h˝om´ers´eklett˝ol (◦C):
T 40 48 56 64 72
p 55.3 83.7 123.8 179.2 254.5
Hat´arozzuk meg az interpol´aci´os polinomot, ´es becs¨ulj¨uk a g˝oznyom´astT = 50◦C eset´en [2, 151. oldal]! =⇒
6.21. () A
K(m) = Z π/2
0
dt p1−msin2t
elliptikus integr´al ´ert´ekei k¨ul¨onb¨oz˝om´ert´ekekre az al´abbiak (k´et tizedesjegyre kerek´ıtve).
m 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 K 1.57 1.66 1.78 1.95 2.26
Hat´arozzuk meg az interpol´aci´os polinomot ´es becs¨ulj¨uk az integr´al ´ert´ek´et az al´abbi m
´
ert´ekek eset´en: m= 0.1,0.3,0.5,0.7,0.9!=⇒ Interpol´aci´o Csebisev-alappontokon
6.22. Interpol´aljuk a sin(πx/2) f¨uggv´enyt a [−1,1] intervallumon k´et Csebisev-alap-pontot haszn´alva! ´Irjuk fel az interpol´aci´os polinomot ´es becs¨ulj¨uk meg az interpol´aci´os hib´at! =⇒
6.23. H´any Csebisev-alapponton kellene interpol´alni a sinx f¨uggv´enyt a [0, π] interval-lumon, hogy az interpol´aci´os hiba 10−6-n´al kisebb legyen? =⇒
6.24. () Adjunk becsl´est az
Z 1 0
sin(x2) dx
integr´alra ´ugy, hogy az integr´alt a h´arom Csebisev-alappontban interpol´al´o polinom in-tegr´alj´aval k¨ozel´ıtj¨uk.=⇒
6.25. Igazoljuk, hogy a Runge-p´eld´aban szerepl˝of(x) = 1/(1+x2) f¨uggv´enyt a [-5,5] in-tervallumon Csebisev-alappontokon interpol´alva az interpol´aci´os polinomok egyenletesen tartanak f-hez, ha az alappontok sz´ama v´egtelenhez tart! −→ =⇒
Hermite-interpol´aci´o
6.26. Tekints¨uk azt a legalacsonyabb fok´u q polinomot, amely ´atmegy az (1,0), (2,3), (3,1) pontokon ´es q0(1) = q0(2) = q0(3) = 1. Mekkora ezen polinom helyettes´ıt´esi ´ert´eke az x= 4 pontban? =⇒
6.27. K¨ozel´ıts¨uk azf(x) = sinxf¨uggv´enyt Hermite–Fej´er-f´ele interpol´aci´os polinommal az x = 0, x =π/2 alappontokon! Becs¨ulj¨uk meg az eredm´eny alapj´an sin(π/4) ´ert´ek´et!
=⇒
Szakaszonk´enti polinomi´alis interpol´aci´o
6.28. Tekints¨uk az f(x) = sin2x f¨uggv´eny grafikonj´ar´ol a (kπ/(n+ 1), f(kπ/(n+ 1)) pontokat (k= 0,1, . . . , n+1)! Tegy¨uk fel, hogy az adott pontok k¨oz¨ul a szomsz´edosakhoz tartoz´o szakaszokon legfeljebb els˝ofok´u polinommal interpol´alunk, ´es ´ıgy az eg´esz [0, π]
intervallumon a p(x) interpol´aci´os f¨uggv´enyhez jutunk. Mekkora legyen n ´ert´eke, hogy kf −pkC[0,π]<10−6 teljes¨ulj¨on?=⇒
6.29. Tekints¨uk az f(x) = √
x f¨uggv´eny ´ert´ekeit az xk = 1 +k/n (k = 0,1, . . . , n, n pozit´ıv eg´esz) alappontokban! Minden r´eszintervallumon illessz¨unk az intervallum k´et sz´el´en felvett f¨uggv´eny´ert´ekekre ´es az intervallum felez˝opontj´aban vett f¨uggv´eny´ert´ekre egy-egy legfeljebb m´asodfok´u polinomot! Jel¨olj¨uk azt a f¨uggv´enyts-sel, amelynek az egyes intervallumokra val´o lesz˝uk´ıt´esei ´eppen a fenti interpol´aci´os polinomok! Mekkora legyenn
´
ert´eke legal´abb, hogy tetsz˝oleges ¯x∈[1,2] pontban igaz legyen, hogys(¯x)−f(¯x)| ≤10−8?
=⇒
6.30. Igazoljuk, hogy ha egy f ∈ C2 f¨uggv´enyt interpol´alunk h´arom ekvidiszt´ans h t´avols´ag´u r´acspontban, akkor az interpol´aci´os hib´at fel¨ulr˝ol becsli a
h3 9√
3max
x {|f000(x)|}
kifejez´es [5, 3.12. feladat]! =⇒
6.31. Jel¨olje s(x) az (x0 −h, f−1), (x0, f0) ´es (x0 +h, f1) pontokat interpol´al´o, szaka-szonk´ent harmadfok´u term´eszetes spline-f¨uggv´enyt! Igazoljuk, hogys0(x0) megegyezik az els˝o deriv´alt adott alappontokon vett m´asodrend˝u k¨ozponti k¨ozel´ıt´es´evel! =⇒
6.32. Hat´arozzuk meg a (-1,2), (0,0) ´es (1,1) pontokat ¨osszek¨ot˝o szakaszonk´ent har-madfok´u term´eszetes spline-f¨uggv´enyt! =⇒
6.2.2. Trigonometrikus interpol´ aci´ o
6.33. Hat´arozzuk meg a (0,1), (2π/3,2) ´es (4π/3,0) pontokra illeszked˝o legalacsonyabb foksz´am´u trigonometrikus polinomot! −→=⇒
6.34. Adjuk meg a (0,−1),(π/2,3),(π,0),(3π/2,1) pontokhoz tartoz´o legalacsonyabb fok´u trigonometrikus interpol´aci´os polinomot! =⇒
6.35. Mutassuk be a gyors Fourier-transzform´aci´o el˝ony´et p´aros alappont eset´en! =⇒ 6.36. Mutassuk be a gyors Fourier-transzform´aci´o el˝ony´et akkor, ha az alappontokn+1 sz´ama n+ 1 =t1t2 alakban ´ırhat´o, ahol t1 ´est2 k´et pozit´ıv eg´esz sz´am! =⇒