az adatott következö által, négyen lesznek az adatottakhoz foly-tába | hasonlók, és tovább' is így találtatnak akarmennyik' is az adott nemben.2°3 6*. Innen következik a legküssebbek'nek' is találások, ha tudniillik az adottak legküssebbek. Mivel a leg'-végsők leg'küssebbek lesznek, mert az elsőktől magok által
löt-17. ad-ot-takhoz: :20. Ct.: haion- 21. 5. | legküiiebbck so. 23. vegsök 1 elsöktöl203 R : Ab. II : XVI_46,,_,3. _ Ha egy adott- arány mindkét tagját megszorozzuk önmagával is és a másikkal is, három olyan számot kapunk, melyek az adott arányban folytatólagosan aranyosak. (Pl. 2 : 3 ; 2-2 =
= 4, 2-3 = 6, 3-3 = 9_ akapott három szám 4, 6, 9, és 2:3 = 4:6 =
= 6 9.) Ha azután az így kapott szorzatokat is megszorozzuk az adott arány első tagjával, s végül az utolsó szorzatot még az adott arány má-sodik tagjával is, négy olyan számot kapunk, melyek az adott arányban folytatólagosan arányosak. (2 - 4 = 8, 2 - 6 = 12, 2 - 9 = 18, 3- 9 = 27;
2 : 3 = 8 : 12 = 12 : 18 _- 18 : 27.) Ennek az eljárásnak folytatásával található akárhány tagból álló olyan sor is, melyben csak egész számok szerepelnek, s szomszédos tagjai a megadott arányban állnak egymással.
(A 4, 6, 9 számsor ugyanis nem folytatható egész számokban _ a követ-kező szám 13-2- volna; a 8, 12, 18, 27 számsor sem folytatható egész szá-1 mokban, a következő szám 40% volna, stb. Vö. még 6-7. pp.) _ Az.
(lyen eljárással kapott szorzatok szám-háromszögként is felírhatók ilásd 9. ábra). Ez a szám-háromszög (melyet Ramus is bemutat) igen
/'\
8*/"53-72'/6§1dı "g`\""1-27 fõ/ "`24/ \~::õf 52'” 381
9. ábra
sokféle szám-összefüggést tár fel. A két szélső sor: 2-nek, ill. 3-nak hatványsora; a 2-nek hatványsorával párhuzamos sorok olyan mértani haladványok, melyeknek első tagjaik különbözők, de azonos szorzószá-muk: 2 ; a 3-nak hatványsorával párhuzamos sorok olyan mértani haladványok, amelyeknek első tagjaik különbözők, de azonos számuk: 3; a vízszintes sorok _ szintén mértani haladványok _ száma: Š; a függőleges sorokból adódó mértani haladványok szorzó-száma 6, vagyis a 2 : 3 arány tagjainak szorzata; bármelyik számnak 2-vel való szorzata az alatta levő sorban tőle balra a legközelebb eső szám; bármelyik szánmak 3-mal való szorzata az alatta levő sorban tőle jobbra a legközelebb eső szám, stb.
76
tek, vagy az elsők által.2°4 7*. De ha folytába hasonlók lésznek, az leg've'gső magok között elsőknek leg'küssebbei lésznek; és ellenbe.2°5 8.* Annako'káért, ha a végsőknek magok között leszen elébb'-elébb vitettetések, az elsőknek leg'nagyobbjok leszen.2°°
Ebből a lelésből más két találás származik. Elsö: 9*. Ha két számoknak lésznek folytába' való közepsőik, az adottakhoz hasonlóknak meg'annyi közepsőjök leszen. Második: 10*. Vala-hány folytába való közepsőjök vagyon az egymás közt elsőknek,
24. elsők alt-al, 6. 25. vegsö | elsőknek | léBnek: 26. 7. Annáko-káért vegsöknek 27. elsőknek 28. lelésből | Első.- 8. 29. közepsőik, 30. Mafodik. 9.
31. közepsőjök vagyõ | elsőknek,
2°1 R : Ab. II : XVI_46,,_2„. _ Feltéve, hogy egy adott arányt a legkisebb számokban adtak meg, hogy tehát ennek tagjai relatív prím-számok, az ismertetett számháromszög felállításával megkereshető az a mértani haladvány is, amely az adott arány szerint növekszik, adott számú tagokból áll s az ugyanilyen és ugyanennyi tagból álló mértani haladványok közt a legkisebb pozitív egész számokból szerkesztett-.
(Pl. a 4_6_9 sor a 2 3 arány szerint növekvő háromtagú és csak pozi-tív egész számokat magukban foglaló mértani haladványok közül a leg-kisebb számokból szerkesztett.) A szélső tagok ugyanis ilyen esetben relatív prímeknek önmagukkal, vagy hatványaikkal való szorzatai, s ezért a VHI. 8. p. értehnében maguk is relatív prímek, mint pl. 4 és 9.
205 R :Ab. II :XVI_46,,_z,_,2. (Böv.) (*E. VIII. 1. őt 3.) Ha a számháromszőgnek két ilyen relatív prím szélső tagja folytatólagosan arányos egymással (vagyis ha ugyanannak az adott arány szerint növekvő mértani haladványnak tagjai, nıint pl. 4 és 9 a 4_6_9 haladványnak), akkor ez a haladvány az ugyanolyan és ugyanannyi tagból álló halad-ványok között a viszonylag legkisebb pozitív egész számokból szerkesz-tett; és fordítva, ha egy mértani haladvány az ugyanolyan és ugyanannyi tagból álló haladványok között a viszonylag legkisebb pozitív egész számokból szerkesztett, akkor szélső tagjai relatív prímek. _ Apáczai hibás fordítása az R :Ab. hibás interpunkciójú szövegén alapul (ez a hibás interpunkció talán a R :A?-ban is megmaradt): ,,At si continue proportionales sint, extremorum inter se primorum erunt . . .”, magyarul: „Ha pedig folytatólagosan arányosak, akkor a relatív prím szélsők között a legkisebbek . . . ” _ ennek a mondatnak azonban nincs értelme. Helyesen a „sint” szó után nem kell vesszőt tenni, de a ,,p'r'lmo-rum” szó után igen, s akkor a tétel az ismertetett értelmet nyeri. Apáczai nyelvén ez helyesen így lett volna: ,,De ha az legvégső magok között elsőknek folytába hasonlói lésznek, legküssebbek lésznek . . '
111111 R :Ab. H_: XVI_46,,_2,,. _ Ha tehát egy mértam haladvány relatív prímek egyıkétől a másikig halad, nem folytatható tovább egész számokban (a XXVII. 9. p. értelmében), vagyis „legnagyobb” lesz.
Apáczai fordítása itt is az előbbihez hasonló interpunkciós hibán alapul:
„Itaque si continuatio sit extremorum inter se, primorum erit maxiJ:na”;
helyesen: ,,. . . eırtremorıım inter se primorum, erit maxima” (ez a szöveg az ismertetett értelmet adja). Apáczai nyelvén helyesen így lett volna:
,,Annakokáért, ha a magok között első végsőknek leszen elébb-elébb vitettetése, legnagyobb leszen.”
77
25
30
35
5
0
meg'annyijok vagyon az egységre. 11*. És valahány közepsőjök vagyon két számoknak és az egységnek, az adottaknak meg'-annyi vagyon.2°7
“ Progressio. 1' Inventio terminorum vel summae. C Theorema.
XXIX. Ebből penig a második ki'hozásból“ (folya'matból) következik a kívánt határos számnak a sokfélékből való fel'-találtatása'”.2°3 1. Ha a számlálási előmenetelnekc határos szá-mai, az egységtől fogva, az adatott nemi szám első sokas számá-tól fogva való mérési elő'menetel“1 határos számainak meg'felel-nek*-ˇ, a két mé'résitől lött az ő elő'menetelének határos száma leszen egygyel nagyobb, mint a számlálásinak egyszer'smind mindenikje, mellyek a megsokasittottnak fe1elnek.2°9 2. Mivel az első sokas, a másodikot meg'sokasíttó szám harmadikot csinál (ez az első helynek kiváltképpen való szabadság'a); a második a harmadikot meg'sokasítván, csinállya nem már a negyediket, hanem egygyel többet, az'az az ötödiket; a harmadik megsoka-sitván a negyediket, csinállya nem az ötödiket, hanem kettővel
32. 10. | közepsőjök 33. Bámoknak, 35. P:-ogre,6ío. | fummae: XXII.
1. R ki hozásbol (folya sk. matbol) 2. következikö 3. 0 Bamlalálil Bámai 4. első 5. válo fi |<= meg 6. me sv. |löt, 7. nagyob 8. felelnek, 9. elsö Iokas | Bám, |tIinal, 10. elsö | kiváltképpë 1 a) 11. [okaiitván | negyecliket 12. az az, az ötödiket: 13. negyediket tiinallya, 1 ötödiket
201 R Ab. II XVI_46,,_,,. (Cs. röv.) _ Megannyljok vagyon az
egységre : ugyanannyi van közöttük és az egység közt (vö. a 9. ábrát). _Az adottaknak megannyi vagyon : a két adott szám közt ugyanannyi van.
203 R : Ab. II :_XVI_46,,,_,5. _ Kihozásból: ,,(ex hoc . . . ) consectario”, a. m. ,,következményből”. (Vö. XXVIII. 11.) _ Sokíélék _
„multiplices”, tk. a. m. „többszörösségiek” _ Apáczai, ill. Ramus szerint azok a mértani haladványok, melyekben a quotiens természetes szám (mint pl. az 1_2_4_8 stb., ill. 3_6_12_24 stb. haladványok; utóbbi-ban a 3 az egységnek megfelelő tag). Az ilyen, vagyis egész számú hánya-dossal rendelkező haladványok végtelenül folytathatók egész számokban.
20° R : A. II : XVI_46,,_,,. _ Ha a természetes számsornak, mint a legegyszerűbb számtani haladványnak tagjai 1-től kezdve egy mértani haladvány tagjait sorszámozzák, mégpedig az első olyan számtól kezdve, amely az egységnél nagyobb, s amely ezért az egységgel egăütt a halad-vány adott arányát fejezi ki (nemi szám), akkor a mértani ladvány két tagjának szorzataként adódott tag sorszáma eggyel nagyobb lesz, mint azoknak a sorszámoknak az összege, melyek a két szorzótényezőnek felelnek meg. _ Például:
1 2 a 4 E 8
1 2 4 816 32 64
2 - 4 = 8, 1 + 2 = 3; a 8, melynek a 3-as sorszám felel meg, ahaladvány
negyed-tk tagja. _ Határos száma leszen egygyel nagyobb: latinos.
szórend ehelyett: ,,egygye1 nagyobb határos száma leszen”
78