ex ez vagyjegyıd jegy alealıs. kerıileeeı tfinál,
V. 1. Az elosztás” az, a'mellyel az osztó annyeszor vonatik el az osztandótól, valamennyeszer ő'benne meg'találtatik, és
meg'lesz az osztott°.3° 2. Annakokáért az osztott az osztandónak az osztóval egy'nemú része, ellenben penig az osztó' is az osztot-tal egynemű része az osztandónakfil 3. A'mint itt az el'osztandó vagyon az osztóhoz, úgy az osztott az egyhez.32 4. Hárman
van-22. kerület, kerület 23. altalis, kerületet | annakoká-ért 25. hagy-ván Út.: hagy-ván] kerületet 27. ha-gyhagy-ván V. 1. 0 elolitás 2. oBtandotol|
ő | találtatikg 3. b oBtott. | OBtott
*Ü R :Afh. I :IV. 11. _ A ramusi példa írásmódja _ melynek alapján a számolásmód is követhető lesz _ a következő:
2070 X 204 8280 0000 4 140 422280
Kinek kinek . . . alája íratlk: A szorzat első számjegyét minden szorzás-nál a szorzó számjegy alá írjuk.
2° R : Afh. I : IV. 12--13. _ Jegyző jegy által: „per significantem notam”, a. m. ,,névértékes szám'egy által”. _ Ãltalúton: „compendio”, a. m. „rövid úton". _ Mindaddig hátrahagyván a kerületet: ,,praeter-misso circulo tamdiu”, a. m. ,,mindaddi mellőzvén a zérust (zérusokat), amíg . . .” _ Ha a sokasittók között vıäahol: „Si intermedio multipli-cantis loco”, a. m. „ha a szorzó valamely közbülső helyén (van zérus)”.
_ Az ő alatta levő jegy alatt: ti. a szorzó számjegy alatt, vö. 28. j.
W R :A. I :V. 1. _ Osztott: ,,quotus”, a. m. ,,hányados”.
31 R :Afh. I :V. 2. _ Egynemü része: ,,pars cognominis”, a. m.
„azonos elnevezésű része". Értsd: az osztó megjelöli (nevében benne van), hányad része az osztandónak a hányados, a hányados pedig, hogy hányad része az osztandónak az osztó. P1. a 8 : 4 = 2 osztásban 8-nak a 2 : negyedrésze, 8-nak a 4 : fele (kettedrésze). _ Az egynemű szó itteni alkal-mazásához vö. 22. és 32.
3* R : A. I :V. 3. (Cs. röv.) _ Elosztandó: a. m. „osztandó”. _ Az iménti példát véve, az itt emlitett összefüggés így alakulnaz 8 : 4 =
= 2 1.
22
nak penig az osztásnak határos számai, mellyek közül az el'osz-tandó felyül, az osztó' alol, az osztott penig oldalra jegyeztetik.”
5. Az osztásnak állapattya két'féle, mert minekutánna meglett, vagy hágy maga után valamit, vagy semmit sem.” 6. A'holott semmi sem marad, annak fel'tétele illyen: a'mely számot vala-mely szám más szám által csinál, a csináltat azonon osztya el; fel'vé-tele penig vagyon a sokasittás táblájábólfifi 7. De ha az osztónak jegyei többen léendnek, mindnyájan, mint'ha csak egy volna,
8. felyül | olitoalol | jegjeztetik. 9. féle. l meg- sk. lett 10. utã.
valamit ll. A' 12. tfinál | az-onon 1,4. mindnyájan
33 Võ. R : Ab. I V_7,,,_8,. _ Az osztásnak határos számai:
„divisionis termini”, a. m. „az osztás tagjai". _ Felül írták az osztandót, alája az osztót, az osztandótól jobbra pedig egy jobbra nyíló zárjelet, s emőgé a számjegyenként kialakuló hányadost. Minthogy azonban a számolás során az osztót minduntalan törölniíik kellett, az osztandótól balra is felírták az osztót egy balra nyíló zárjel elé. A 7476 : 6 osztás írás-beli kijelölése tehát a következö volt:
e)7476(
6
(Az angolszász és más nyugati országokban hasonló írásmód hasz-nálatos ma is.) _ Példánkban a keresett hányados 1246. (Az esetleges maradékot törtszám formájában az egészszámú hányadoshoz írták hozzá,
pl. 74.77 ze = ızzıeê. võ. XI. 4-7.,)
34 R : Afh. I : V. 5. (Röv.) _ A R : Afh. I : V. 6-7. pp-at, melyek a maradék nélküli és a maradékos osztás meghatározásait adják, Apáczai elhagyja, jóllehet ezeken az osztásfajtákon alapul az egyszerű számok (vö.
4. j.) aritmetikai sajátságainak további kifejtése (vö. 13. tábla). Vö. még 43. `.
1 35 R :Afh. I :V. 8. (Röv. Mód.) _ Az osztandóból és az osztóból a hányados kényszerűen következik. Ezt a kényszerüséget Ramus _ naiv módon _ úgy akarja levezetni, hogy az osztás során végrehajtott követ-keztetést feltételes szillogizmusnak fogja fel. A maradék nélküli osztás szerinte olyan szillogizmus, melynek feltétele (,,propositio", a. m. ,,felső tétele") a következő (Ramus eredeti tétele csak utal itt az R : Afh. I : V.
4. p-ra, melyet azonban Apáczai vagy az R : A? szerkesztője - az ismét-lés és az utalás elkerüismét-lése érdekében _ kihagyott, helyette a bázeli kiadás egy mondatát iktatva be, vö. 33. j., s ezért most ezt a 4. p-ban
foglalt tételt egészében ideiktatja): amely számot . . . azonon osztya el,
vagyis: ha egy számot egy másikkal kell megszoroznunk ahhoz, hogy egy bizonyos szorzatot kapjunk, akkor ezt a szorzatot a kiinduló szám úgy is osztja el, hogy hányadosul ugyanazt a másik számot adja (ha ab = c, akkor É = bl ,` a szillogizmus felvétele pedig (,,assumptio", a. m. „alsó tétele")8. Pythegerze-fele szá-zõtebıebõı euepaheiõ meg, p1.z 8-ez 9-zzz kell
meg-szoroznunk ahhoz, hogy 72 -t kapjunk. Ramus szerint ennek a felső, ill.
alsó tételnek kapcsolatából következik (zárótételként), hogy 72 : 8 = 9.
23
1
egyszersmind' vetetnek és egyenlöképpen vonatnak el.” 8. Tel[y]-lyességgel nem lehet penig meg, hogy csak egy jegye' is az osztó-nak kilencnél többször (vetethetnék) vonathatnék itt el.3"ˇ 9. Ha
15. egyszerlmind- sk. vetetnek,
36 R : Ab. I : V-9„_„. Az írásbeli osztás a következőképpen tör-tént (az eljárást Ramus egyik példáján mutatjuk be): Kijelölték a 144 : 12 Osztást:
12) 144 ( 12
Az elsö lépésnél megállapitották, hogy az osztó elsó számjegye (1) kivon-ható egyszer az osztandó első számjegyéböl, s ugyanennyiszer az osztó második számjegye is kivonható az osztandó második számjegyéböl (4), hogy tehát 12 egyszer vonható ki 14-böl; az 1-et tehát beirták a hánya-dosba, azután pedig visszaszorozták: 1 X 12 = 12 (1-gyel szorozván vissza, ezt az eredményt nem jegyezték fel), és marad 2; a maradékot a rész-osztandó megfelelő számjegye(i) fölé írták, ugyanakkor pedig töröl-ték a már elintézett számjegyeket:
2
12) 144 (1 12
A második lépésnél a 24 alá, mint rész-osztandó alá ismét odaírták a 12-t, mint osztót, megállapitották, hogy ez az osztó 24-ből kétszer kivonható, beirták a 2-t a hányadosba, majd visszaszoroztak: 2 X 12 = 24, oda-irták ezt az eredményt a 12 mint másodszor felírt rész-osztó alá, s mint-hogy itt sem maradék nem maradt, sem az osztandónak több elosztandó számjegye nincs, azért a szükséges törléseket is elvégezve még, ezzel az osztásnak is végére jutottak:
12) 124 (12 12 12
24
A keresett hányados tehát 12. - Egyenlõképpen vonatııak el:
,,subdu-cuntur aequa1iter”, a. m. „egyaránt kivonjuk őket” (ti. az osztandóból, annyiszor, ahányszor megvan benne - amint ezt Ramus meg is jegyzi).37 R : Ab. I :V-111-2.--Arész-osztandó kijelölését, mint láttuk (36. j.), fejbeni kivonással, ill. osztással becsülték fel, úgy, hogy az osztó legmagasabb helyi értékű első számjegyével az osztandó legmagasabb helyi értékű (elsö) számjegyét elosztották. Ha az osztó első számjegye az osztandóval egyenlő, vagy annál kisebb volt, kettőjük legnagyobb hányadosa 9 lehetett (9 : 1 = 9). Ha pedig az osztó első számjegye az osztandóénál nagyobb volt, akkor az osztó első számjegyével az osztandó első két számjegyét osztották el (vö. 38. j.). Ebben az esetben az első két számjegy értéke legfeljebb 89 lehetett, s az osztó első számjegye, a 9, 89-ben csak 9-szer van meg teljesen. A rész-hányados tehát, mely az osztónak mindig csak egy szám jegyére vonatkozik, legfeljebb 9 lehet.
E szabály tk. azt a megállapítást is magában foglalja, hogy ha valamely részlet-osztás hányadosaként 9-nél nagyobb szám mutatkoznék, akkor a részlet-osztás helytelenül van kijelölve. P1. ha az 1100 ll osztásban 24
az osztó az el'osztandónak elsö helyen levő jegyénél nagyobb léend, tétessék a második alá. 10. Ha történik penig, hogy az elsö osztás után valahol az osztandónál nagyobb, az osztottért írassék kerület, és az osztó ki'töröltetvén, ha mégh vagyon az osztandónak valami jegye hátra, vitessék elébb.” ll. Ha a mara-dékot le'irván, az osztottat ne 'hezen vehedd eszedbe, az osztottól az osztó által csinált számot az osztó alá irván, vond el az osz-tandótól.” 12. Ha a következő jegy nem oszthattya a felette valót annyeszor el, mint az első, mind'annyit kell az elsőböl le'hagyni, amennyiben a következőt' is szinte annyeszor meg'-találod. 13. Ha az osztónak első és második jegye maradékot ád, a több felől ne légy szorgalmatos.4° 14. Ha a kerületben
vége-18. elsö 19. téteflêk [ alá: | penig 20. elsö | után, 22. je, 81:. gye 23. irván 24. irván 26. el | elsö, l elsõbõl 27. hagymi, 28. elsö
azt keresem, hányszor van meg ll a 110-ben; mert a részlet-osztás helyes kijelölése: 11 : 11.
39 R : A. I : V. 13. - Ha az osztó első számjegye az osztandó első-számjegyénél nagyobb, akkor az osztandó második számjegye alá kell irni, vagyis az osztandó első két számjegyét kell vele elosztani. Ha pedig az osztó valahol az első rész-osztás után bizonyulna a rész-osztandónál nagyobbnak, akkor a hányadosba zérust írunk, az osztót pedig, ha van még az osztandónak hátralevő számjegye, eggyel tovább csúsz-tatjuk (pl. a tízesek alatt levő számjegyét az egyesek alá, stb.), s az így megváltoztatott rész-osztandót osztjuk vele.
3” R : Afh. I : V. 15. (Röv.) _ Nehezen vehedıl eszedbe : „tenebitur difficiJius”, a. m. „nehezen érthető lesz”, ha ti. bizonytalanok leszünk a hányados helyességében. - Ramus példája az osztás próbájának írás-beli elvégzésére:
00045
22õ8> 15886 (T
2263
15341
A maradék tehát 45, vagyis kisebb az osztónál, és így a hányados helyes.
4° R : Afh. I : V. 16-17. (Mód.)-A hányados vagy részlet-hányás dos becslése az osztó két első számjegye alapján történik. Mindenekelőtt elosztjuk az osztó legmagasabb helyi értékű számjegyével az osztandónak vagy a részlet-osztandónak első számjegyét, v (ha az osztó első szám-jegye az osztandó második számszám-jegye alá esilšyaz osztandónak két első számjegyét. Majd az így kapott próba-hányados birtokában megnézzük, megvan-e az osztó második számjegye is ugyanennyiszer az osztandó megfelelő (tehát második, ill. harmadik) számjegyében (figyelembe véve a próba-hányados kiszáınitásánál adódott maradékot is). Ha nincs, akkor a próba-hányadost kisebbre kell vennünk, mindaddig, amíg az osztó második számjegye is ugyanannyiszor lesz meg az osztandó megfelelő számjegyében (az említett maradékot is figyelembe véve). - A következõ jegy: az osztó második számjegye. -- A felette valót: az osztandó első, ill. első két számjegyét. -- Mint az első : ti. mint az osztó első számjegye.
25
20
25
30
31.
35