A Frobenius-féle karakterformula

Miután meghatároztuk a szimmetrikus csoport irreducibilis reprezentációit, a következ˝o fontos lépés ezen irreducibilis reprezentációk karaktereinek kiszámítása. Most ezt fogjuk megtenni; bebizonyítunk egy Frobeniustól származó képletet, ami megadja egy irreducibilis reprezentáció karakterének értékét S_n egy adott konjugáltosztályán. A bizonyításban nagy szerepe lesz a szimmetrikus függvényekr˝ol szerzett ismereteinknek.

Ismert, hogy S_n konjugáltosztályait a ciklusszerkezetük egyértelm˝uen meghatározza;

pontosabban, egy konjugáltosztály az összes adott ciklusszerkezet˝u permutációból áll.

Legyenα egy ciklusszerkezet, azaz egy α = (α₁, . . . ,α_n)természetes számokból álló szám n-es, ahol

n

∑

i=1

iα_i = n.

Azα sorozat azokat a permutációkat írja le, amelyekbenα₁darab 1-ciklus,α₂darab 2-ciklus van és így tovább. Az S_n csoport konjugáltosztályait a fenti típusú α sorozatokkal fogjuk indexelni; azα ciklusszerkezet˝u permutációkból álló osztály jeleCα.

Rögzítsünk egy |λ| = n partíciót, legyen továbbá k olyan természetes szám, amely legalább akkora, mint λ sorainak a száma (például k=n mindig jó választás). Tekintsük az

pedig ak-változós Vandermonde-determináns. Ak=1 speciális esetben∆(x₁) =1.

Amint az a szimmetrikus polinomokról szóló fejezetben szokás volt, tetsz˝oleges f(x)∈R, l= (l₁, . . . ,l_k)∈N^kesetén

[f(x)]_l ^def= x^l együtthatója f-ben.

Ismét csak megtartva az említett fejezet konvencióit, adott|λ|=npartícióra legyen λ˜ ^def= (λ₁+k−1,λ₂+k−2, . . . ,λ_k).

Látható, hogy ˜λ szintén egy partíció.

A szimmetrikus csoportok karaktereire vonatkozó f˝o eredményünk az alábbi.

3.5.2. TÉTEL (FROBENIUS-FÉLE KARAKTERFORMULA) Az iménti jelölésekkel χ_λ(Cα) =

Miel˝ott igazoljuk a tételt, nézzük meg pár példán a m˝uködését.

3.5.3.PÉLDA Legyenntetsz˝oleges,λ = (n); ekkor ˜λ = (n),k=1-nek választható, legyen továbbáα = (α₁, . . . ,α_m)tetsz˝oleges ciklusszerkezet. Mivelk=1, összesen egy változónk van,x₁. Nézzük meg, mint mond a Frobenius-képlet:

χ_(n)(Cα) =

ahol a középs˝o egyenl˝oségnél azt használtuk ki, hogy ∑^m_j=1iα_i=n. Az eredmény pontosan az, amint vártunk, mivel az (n) partícióhoz a triviális reprezentáció tartozik, amelynek a karaktere az azonosan 1 függvény.

3.5.4. FELADAT Tetsz˝oleges n mellett számítsuk ki a λ = (1, . . . ,1) partícióhoz tartozó karaktert a Frobenius-formula felhasználásával.

3.5.5.PÉLDA Legyenn=5,λ = (3,2),α = (0,1,1,0,0),k=2. Azaz, a

partícióhoz tartozó irreducibilis reprezentáció karakterének értékét fogjuk kiszámolni az egy transzpozícióból és egy hármas ciklusból álló permutációk konjugáltosztályán. A tétel szerint

χ_(3,2)(C_α) =

3.5.6. FELADAT A Frobenius-féle karakterformula segítségével számítsuk ki az S₄ szim-metrikus csoport(2,2), illetve(3,1)ciklusszerkezetekhez tartozó irreducibilis reprezentáci-ók karaktereit.

3.5.7.MEGJEGYZÉS Léteznek más módszerek is a szimmetrikus csoportok karaktereinek a meghatározására. Ilyen például az ún. Murnaghan–Nakayama-szabály (ld. [13, Problem 4.45]), ami rekurzív módon számolja ki a karaktereket. Ez utóbbi számítási szempontból hatékonyabb a Frobenius-képletnél. választunk, a többib˝ol mind x₁-et, illetve ha az els˝o zárójelb˝ol x₁-et választunk, ekkor azonban a második zárójelb˝ol az x₂-ben lineáris tagot kell választani, mindenhol máshol pedig azx₁megfelel˝o hatványát.

Az els˝o esetben azxⁿ₁x₂monom együtthatója−1, a második esetben pedigα₁lesz. Ezzel

a következményt beláttuk. 2

3.5.9.FELADAT Lássuk be az iménti érvelés megfelel˝o módosításával, hogy χ_(n−2,1,1)(C_α) = ¹₂(α₁−1)(α₂−1)−α₂.

3.5.10.MEGJEGYZÉS A Frobenius-féle karakterformulát megfogalmazhatjuk Schur-poli-nomok segítségével is:

n

∏

j=1

p_j(x₁, . . . ,x_k)^αj =

∑

|λ|=n, λ-nak legfeljebbksora van

χ_λ(C_α)s_λ .

Miel˝ott a3.5.2.Tételt igazoljuk, mutatunk egy további érdekes nem-triviális alkalmazást:

kiszámoljuk segítségével aV_λ irreducibilis reprezentációk dimenzióit.

3.5.11. ÁLLÍTÁS Legyenλ = (λ₁≥ · · · ≥λ_k az n szám egy partíciója, ekkor dimV_λ = d!

λ₁!. . .λ_k!

∏

1≤i<j≤k

(λ_i−λ_j).

BIZONYÍTÁS Ismert, hogy egy reprezentáció (pontosabban a hozzá tartozó vektortér) dimenziója megegyezik a reprezentáció karakterével kiértékelve az identitás (egyelem˝u) konjugáltosztályán.

Mint általában tehát,

dimV_λ = χ_λ(C_(n)). A3.5.2.Tétel szerint

dimV_λ = [∆(x)(x₁+· · ·+x_k)ⁿ]_(λ˜) , ezt fogjuk most részletesen kiszámolni.

A jobboldalon szerepl˝o els˝o tényez˝o-t, aV(x₁, ...,x_k)Vandermonde-determinánst kifejtve

∆(x) =

∑

σ∈S_k

sgn(σ)x^σ(1)−1_k · · · · ·x^σ₁^(k)−1, valamint a polinomiális tételt felhasználva kapjuk, hogy

(x₁+· · ·+x_k)ⁿ =

∑

r1,...,r_k,∑^k_i=1ri=n

n!

r₁!. . .r_k!x^r₁¹. . .x^r_k^k . Ezek alapján∆(x)(x₁+· · ·+x_k)ⁿ-ben azx^λ˜ monom együtthatója

σ∈S

∑

k

sgn(σ) n

(λ₁−σ(k) +1)!. . .(λ_k−σ(1) +1)! ,

ahol l_k−i+1−σ(i) +1≥0 minden 1≤i≤ k esetén. Utóbbi állítás helyességét az alábbi módon láthatjuk be: azt kell megvizsgálni, hogy

x^σ(1)−1_k . . .x^σ₁^(k)−1·x^r₁¹. . .x^r_k^k

mikor lesz egyenl˝ox^l₁¹. . .x^l_k^k-val. Ez pontosan akkor következik be, ha

ahol utolsó egyenl˝oséget oszlopredukció segítségével kaptuk. Ezzel az állítást beláttuk. 2 3.5.12.FELADAT Mutassuk meg, hogy dimV_λ megegyezik a λ partíción megadható standard Young-tablók számával.

A karakterformula bizonyításához még egy eszközre lesz szükségünk.

3.5.13. DEFINÍCIÓ Legyenλ = (λ₁, . . . ,λ_k)az n szám egy tetsz˝oleges partíciója. A hozzá tartozó úgynevezettYoung-részcsoport

S_λ ^def= S_λ1× · · · ×S_λk,→S_n.

LegyenU_λ az baloldaliCS_n-modulus, amely azS_λ Young-részcsoport triviális reprezen-tációjáról indukált reprezentációnak felel meg. Az el˝oz˝o fejezet alapján könnyen látható, hogy

U_λ = CS_na_λ , továbbá

V_λ ⊆U_λ

hiszenV_λ =CS_na_λb_λ 'CS_nb_λa_λ ⊆CS_na_λ =U_λ. Jelöljeη_λ azU_λ reprezentáció karakterét.

3.5.14. LEMMA Az eddigi jelölésekkel η_λ(C_α) = 1

ahol az összegzés minden olyan

r_pq|1≤p≤k, 1≤q≤n számhalmazra kiterjed, amelyre

r_1q+· · ·+r_kq = α_q és

r_p1+2r_p2+· · ·+nr_pn=λ_p minden1≤q≤n és1≤p≤k esetén.

3.5.15.FELADAT Igazoljuk, hogy

|C_α| = n!

1^α1(α₁)!· · · · ·n^αn(α_n)! .

BIZONYÍTÁS Az indukált reprezentációk karakterére vonatkozó képlet alapján η_λ(Cα) = 1

|C_α||S_n:S_λ| · |C_α∩S_λ| . Itt

|S_n:S_λ| = n!

λ₁!. . .λ_k! ,

|C_α∩S_λ|kiszámítása valamennyivel több er˝ofeszítést igényel.

Írjuk felC_α∩S_λ p-edik komponenseinek az elemeit, mintr_p1 darab 1-ciklus, r_p2 darab 2-ciklus, stb. Ily módon

|C_α∩S_λ|=

∑

∑prpq=αq ,∑qqrpq=λp

|n

σ|S_λp-benr_pq darabq-ciklus vano

|

=

∑

∑prpq=αq ,∑qqrpq=λp

λ₁!

1^r11r₁₁!. . .n^r1nr_1n!. . . λ_k!

1^rk1r_k1!. . .n^rknr_kn!

=

∑

k p=1

∏

λp!

1^rp1r_p1!. . .n^rpnr_pn! , ahol az összegzés azokon a

r_pq|1≤p≤k, 1≤q≤n számhalmazokon fut végig, amelyekre

r_1q+· · ·+r_kq = αq

és

BIZONYÍTÁS Az el˝oz˝o lemma szerint η_λ(C_α) = 1

az ott említett indexhalmazra összegezve. Ebb˝ol kis egyszer˝usítéssel azt kapjuk, hogy η_λ(C_α) =

∑

ahol az összegzés a korábbi indexhalmazra történik. Tekintsük most a p_α = (x₁+· · ·+x_k)^α1·. . .·(xⁿ₁+· · ·+xⁿ_k)^αn

általánosított Newton-féle hatványösszeg-polinomot. Ebbenx^λ együtthatója

∑

n q=1

∏

αq! r_1q!. . .r_kq! .

Ezzel az állítást beláttuk. 2

BIZONYÍTÁS (Frobenius-féle karakterformula) Az eddigi jelölésekkel azt szeretnénk belátni, hogy

χ_λ(C_α) = [∆·P^(α)]_˜

λ , illetve a3.5.16.Állítás szerint

[p_α]_λ = [∆·p^(α)]_˜

λ .

Alkalmazzuk a szimmetrikus polinomok együtthatóiról szóló2.5.5.Tételt ap_α általánosított hatványösszeg-polinomokra: eszerint

Ebb˝ol a3.5.15. és a2.5.8.Feladat felhasználásával az adódik, hogy

kifejezések mint osztályfüggvények kielégítik ugyanazokat a mer˝olegességi relációkat, mint az irreducibilis reprezentációk karakterei. Ebb˝ol az irreducibilis karakterek tulajdonságai miatt következik, hogy a[∆·p_α]_˜

λ osztályfüggvények azS_ncsoport irreducibilis reprezentá-cióhoz tartozó karakterei.

Vegyük észre, hogy a Tétel állításának egy rész még hiányzik: meg kell mutatnunk azt is, hogy[∆·p_α]_˜

λ aV_λ-val jelölt irreducibilis reprezentációhoz tartozó karakter.

Ehhez tekintsük aV_λ ⊆U_λ reprezentációkat. Láttuk, hogyV_λ ⊆U_λ; ennél több is igaz, hiszen mint minden véges csoportnak,S_n-nek is minden reprezentációja teljesen reducibilis, ezért minden részreprezentáció direkt összeadandó.

Ezért egyenl˝oséggel összevetve az következik, hogy [∆· p_α]_˜

λ a χµ karakterek Z-együtthatós lineáris kombinációja⁴:

[∆·p_α]λ˜ =

∑

µ

v_{λ µ}χ_µ (v_{λ µ} ∈Z). Láttuk, hogy a [∆·p_α]_˜

λ elemek ortonormált bázist alkotnak az osztályfüggvények terében, amib˝ol az

1 = h[∆·p_α]λ˜,[∆·p_α]λ˜i =

∑

µ

v²

λ µ

összefüggésre jutunk; ez viszont azt jelenti, hogy [∆·p_α]_˜

λ = ±χ

azS_ncsoport valamely irreducibilisχ karakterére. Aλ partíciókra vonatkozó lexikografikus indukcióval tegyük fel, hogy

[∆·p_α]_ν˜ = χ_ν^def= χ_Vν

mindenν <λ partíció esetén. Ekkor viszont az indukciós feltevés szerint η_λ(C_α) = [∆·p_α]_˜

4Egy csoport karaktereinek egészegyütthatós lineáris kombinációitvirtuális karaktereknek hívjuk.

amib˝ol

η_λ =

∑

µ

r_{λ µ}χ_µ r_{λ µ} ≥0 ésr_{λ λ} ≥1 és az irreducibilis karakterek lineáris függetlensége miatt

[∆·p_α]_˜

λ = χ_λ

következik. 2

In document Bevezetés az algebrai kombinatorikába (Pldal 117-125)