A szimmetrikus csoportok irreducibilis reprezentációi

3. A szimmetrikus csoportok reprezentációelmélete 83

3.4. A szimmetrikus csoportok irreducibilis reprezentációi

Az el˝okészít˝o fejezetek után eleget tudunk ahhoz, hogy meg tudjuk határozni a szimmetrikus csoportok irreducibilis reprezentációit. Egy korábbi észrevételünk (3.1.35. Megjegyzés), hogy egy G csoport irreducibilis reprezentációi lényegében (kategóriák ekvivalenciája ere-jéig) nem mások, mint aCGcsoport algebra minimális balideáljai.

Esetünkben tehát aCS_ncsoportalgebra minimális balideáljaira vagyunk kíváncsiak; eze-ket fogjuk most explicit módon leírni. Munkánk során támaszkodni fogunk a partíciókalkulus és a szimmetrikus függvények terén szerzett ismereteinkre.

Az alapvet˝o ötlet az, hogy S_n bizonyos speciális részcsoportjaiból fogunk balideálokat konstruálni, amely részcsoportokat az 1, . . . ,nszámok partíciói segítségével határozzuk meg.

3.4.1. DEFINÍCIÓ Legyen λ az n szám tetsz˝oleges partíciója, T egy tetsz˝oleges λ alakú tabló. Tekintsük az S_nszimmetrikus csoport alábbi részcsoportjait.

P_λ =P_T ^def= {σ ∈S_n| σ meg˝orzi T minden sorát} aλ partíciósorcsoportja,

Q_λ = Q_T ^def={σ∈S_n| σ meg˝orzi T minden oszlopát} pedig aλ-hoz tartozóoszlopcsoport.

3.4.2.MEGJEGYZÉS AP_T, Q_T ≤S_n részcsoportok csakλ-tól függenek, a T tabló válasz-tásától nem, ezért λ partíciótól függ˝o invariánsok, és ennek megfelel˝oen is fogjuk jelölni

˝oket.

A sor- illetve oszlopcsoportok jelöléséb˝ol gyakran elhagyjuk a λ indexet, ha az a szövegkörnyezetb˝ol egyértelm˝u.

Az S_n részcsoportjaiból a CS_n balideáljaiba való átmenetet az adott részcsoportok elemeinek aCS_n-beli összegzésével érjük el.

3.4.3. DEFINÍCIÓ

a_λ ^def=

∑

σ∈P_λ

e_σ, b_λ ^def=

∑

σ∈Q_λ

sgn(σ)e_σ ahol sgn(σ)aσ permutáció el˝ojele. ³

Legyen most V tetsz˝oleges véges-dimenziós komplex vektortér, amelynek n-edik V^⊗n tenzorhatványán S_n a tényez˝ok permutálásával hat. Vizsgáljuk meg, mi a hatása az a_λ,b_λ elemeknek aV^⊗n tenzorhatványon. Láthatóan a_λ-nak mint End(V^⊗n)-beli endomorfizmus-nak a képe

ima_λ = Sym^λ¹⊗Sym^λ²⊗ · · · ⊗Sym^λ^k⊆V^⊗n. Hasonlóképpen, ha µ =λ⁰aλ partíció konjugáltja, akkor

imb_λ =∧^µ¹V⊗ ∧^µ²V⊗ · · · ⊗ ∧^µ^kV ⊆V^⊗n. 3.4.4. DEFINÍCIÓ A fenti jelölésekkel legyen

c_λ ^def=a_λ·b_λ ∈CS_n

aλ partícióhoz tartozóYoung-szimmetrizátor; aCS_n·c_λ ≤CS_nbalideált pedig jelölje V_λ. 3.4.5.MEGJEGYZÉS Az imc_λ ≤V^⊗n altér V^⊗n egy rész-CS_n-modulusa, azaz S_n egy reprezentációja.

3.4.6.PÉLDA Nézzük meg az egyik legegyszer˝ubb esetet: legyen λ = (n), az egy sorból álló partíció. Ekkor

σ∈Sn

sgn(σ)e_σ = sgn(τ)·

∑

σ∈Sn

sgn(σ)e_σ , V(1,1,...,1) az alternáló reprezentáció.

3.4.11.PÉLDA Legyenλ = (2,1). A(2,1)partícióhoz tartozó sor- és oszlopcsoportok:

P_λ = {1,(12)} , Q_λ = {1,(13)} , ezért

c_λ = (e₁+e₍₁₂₎)(e₁−e₍₁₃₎) = e₁+e₍₁₂₎−e₍₁₃₎−e₍₁₃₂₎∈CS_n.

Ellen˝orizhet˝o, hogyV_(2,1) egy bázisac_(2,1),(13)·c_(2,1) ésV_(2,1) azS₃ szimmetrikus csoport standard reprezentációja.

A3.4.8. Tétel bizonyításának lelke aza_λ,b_λ,c_λ ∈CS_nelemek viselkedésének ismerete a csoportalgebrában. Az alábbi lemmák összefoglalják a szükséges ismereteket.

3.4.12. LEMMA Legyenλ `n. Minden p∈P_λ és q∈Q_λ esetén 1. p·a_λ =a_λ ·p=a_λ,

2. sgn(q)·q·b_λ =b_λ·sgn(q)·q=b_λ,

3. p·c_λ·sgn(q)·q=c_λ és skalárral való szorzás erejéig c_λ az egyetlen ilyen elemCS_n -ben.

3.4.13. LEMMA Tetsz˝oleges x∈CS_nesetén

c_λ·x·c_λ = n_λc_λ , továbbá haµ<λ a lexikografikus rendezésben, akkor

a_λ·x·b_µ=0.

Miel˝ott a lemmákat belátnánk, nézzük meg, hogy miképpen tudjuk segítségükkel a3.4.8. Té-telt bebizonyítani.

BIZONYÍTÁS (3.4.8. Tétel) Rögzítsük aλ partíciót egyszer s mindenkorra, így elhagyhatjuk az indexekb˝ol.

El˝oször is, vegyük észre, hogy ha egy permutáció λ sorait és oszlopait is fixen hagyja, akkor egyik elemet sem mozdítja meg, így ez a permutáció az identitás kell, hogy legyen.

Azaz

P∩Q = 1.

Emiatt|PQ|=|P|·|Q|, és mindenσ∈S_nlegfeljebb egyféleképpen írhatóσ=pq,p∈P,q∈Q alakba; ezért

c =

∑

σ=pq

±e_σ ,

speciálisane₁együtthatója+1 (mivel az egységelem a két részcsoport egységelemeinek szor-zataként áll el˝o).

El˝oször lássuk be, hogyV_λ irreducibilis reprezentáció. A3.4.13. Lemma szerint c_λV_λ = c_λ(CS_n)c_λ ⊆Cc_λ ,

ahol ez utóbbi vektortér egydimenziós. HaW ⊆V_λ egy részreprezentáció, akkor c_λW ⊆ c_λV_λ ⊆Cc_λ ,

ígyc_λW =0 vagyc_λ =Cc_λ. Az els˝o esetben

W·W ⊆ (CS_nc_λ)·W = (CS_n)·(c_λW) = 0.

Mindenφ :CS_n→W lineáris vetítést egyCS_n-beli idempotensd_φ elemmel való jobbszorzás ír le, ebben az esetben

d_φ = d_φ² = 0, ezértW =0.

Hac_λW =Cc_λ, akkor

V_λ = CS_nc_λ = CS_nc_λc_λ = (CS_nc_λ)(CS_nc_λ)

= (CS_nc_λ)c_λW =CS_nc_λW ⊆W ,

vagyisV_λ =W. Megállapíthatjuk tehát, hogy aV_λ reprezentációk irreducibilisek.

Következ˝oként igazoljuk, hogy különböz˝o partíciókhoz tartozó irreducibilis reprezentá-ciók nem izomorfak. Legyenλ >µ a lexikografikus rendezésben. Ekkor

c_λV_λ = Cc_λ 6=0, azonban

c_λV_µ = c_λ·CS_n·c_µ = 0, tehátV_λ 6'V_µ, amint azt állítottuk.

Hátra van még annak bizonyítása, hogyc²

λ =n_λc_λ aholn_λ pozitív egész szám. Ennél egy kicsit többet fogunk megmutatni, nevezetesen azt, hogy

n_λ = n!

dim_CV_λ .

Legyen ugyanis φ ∈ End_C(CS_n) a c_λ-val való jobbszorzás mint lineáris endomorfizmus.

Ekkor

φ|_V

λ = n_λId és

φ|_Ker(c

λ) = 0, tehát

Tr(φ) = n_λ·dimV_λ . Azonban Tr(φ) =n!, mivele_gegyütthatójae_gc_λ-ban 1. Ezért

n_λ = Tr(φ)

dimV_λ = n!

dimV_λ amint azt állítottuk.

Ezzel beláttuk, hogy van legalább annyi irreducibilis reprezentációja S_n-nek, amennyi partíciója n-nek. Ez viszont megegyezik S_n konjugáltosztályainak a számával, amib˝ol következik, hogyS_nösszes irreducibilis reprezentációját megkonstruáltuk. 2 BIZONYÍTÁS (3.4.12. Lemma) Az els˝o két állítás és a harmadik állítás els˝o fele azonnal következik a megfelel˝o elemek definíciójából.

A skalárszorzó erejéig való egyértelm˝uséget az alábbi módon láthatjuk be. Tegyük fel, hogy a

∑

n_ge_g

elemre teljesül a (3)-beli feltétel. Ekkor mindeng∈S_n,p∈P_λ,q∈Q_λ esetén n_pgq = sgn(q)n_g,

speciálisann_pq =sgn(q)n₁. Elég tehát belátni, hogyn_g=0 mindeng6∈P_λQ_λ esetén.

Egy ilyeng-re — azaz amelyreg6∈P_λQ_λ — elég egy olyant∈S_ntranszpozíciót találni, amelyre

p =t∈P_λ , q = g⁻¹tg∈Q_λ , hiszen ekkor

g = pgq és így n_g = −n_g, azazn_g=0. Ebben segít nekünk a3.4.14.Lemma.

Legyenta Lemmában szerepl˝o két számot felcserél˝o transzpozíció. Rögtön látszik, hogy

megfelel a vele szemben támasztott követelményeknek. 2

3.4.14. LEMMA Ha T⁰=gT az a tabló, amelyet úgy kapunk, hogy az i elem el˝ofordulását T -ben g(i)-vel kicseréljük, akkor van két (különböz˝o) pozitív egész, amelyek T -nek ugyan-abban a sorában és T⁰-nek ugyanabban az oszlopában vannak.

BIZONYÍTÁS Amennyiben nincs ilyen számpár, akkor legyen p₁∈P_λ ésq⁰₁∈Q⁰_λ = gQ_λg⁻¹

úgy, hogy p₁T és q⁰₁T⁰ els˝o sorai megegyeznek. Ezt a m˝uveletet megismételve a tablók maradék részére végeredményül kapunk egy

p∈P_λ , q⁰∈Q⁰

elempárt, amelyekre pT =q⁰T⁰. Ekkor viszont pT =q⁰gT ,

így p=q⁰gés ezértg=pq, aholq=g⁻¹(q⁰)⁻¹g∈Q_λ. 2 BIZONYÍTÁS (3.4.13. lemma) A második állítás igazolására legyen el˝oszörx=g∈S_n. Idéz-zük fel, hogy hab_µ aT⁰tablóból gyártott elem, akkorgb_µg⁻¹agT⁰tabló oszlopcsoportjának az elemeinak az el˝ojeles összege. Elég tehát belátni, hogya_λ·b_µ =0.

Ha λ > µ, akkor van két szám, ami T-nek ugyanabban a sorában, T⁰-nek pedig ugyanabban az oszlopában van. Ha t az ezen két szám cseréjét végrehajtó transzpozíció, akkor

a_λt =a_λ , tb_µ =−b_µ , tehát

a_λb_µ =a_λttb_µ =−a_λb_µ

azaza_λb_µ=0. Az els˝o állítás a3.4.12. Lemma következménye. 2

In document Bevezetés az algebrai kombinatorikába (Pldal 112-117)