Fogyasztásengedélyezési probléma egyoldalas és kétoldalas együttes valószínűséggel

Célunk a fogyasztásengedélyezési probléma megfogalmazása olyan sztochasztikus modellként, amit meg tudunk oldani a kutatócsoportunk által kidolgozott megoldó eljárással. A további részben bemutatásra kerül az egyik saját eredményeként a sztochasztikus modell, melyben kapcsolható készülékek vezérlése történik több időszakon keresztül. Először költségminimalizálásként, együttes valószínűségi korlátokkal írjuk le a problémát, majd pedig áttérünk a valószínűség maximalizálási feladatként történő tárgyalásra.

A továbbiakban bemutatunk egy sztochasztikus optimalizálási modellt készülékek vezérlésére.

Adott egy véletlen fogyasztási profil, valamint vezérelhető készülékek egy halmaza, melyeket meghatározott időtartamig működtetni kell, de bekapcsolásuk időpontja megválasztható. Feladatunk a vezérelhető készülékek (pl. mosógép, klíma, vízmelegítő) bekapcsolási idejének meghatározása úgy, hogy az összes fogyasztás meghatározott korlátokon belül maradjon. A teljes időtartamot időszakokra (pl. 15-30 perces szakaszok) bontjuk fel, a fogyasztás mértékét az adott időszakon belül elfogyasztott energia mennyiségével adjuk meg. A modellt a 6.1. ábra szemlélteti.

E

_n

E

1 ... n ... N

6.1. ábra Sztochasztikus modell A modell változói és paraméterei a következőkben kerülnek leírásra.

Döntési változók:



1



  

x x x_n x_N - adott időablakban bekapcsolt vezérelhető készülékek száma (egy készüléktípusra korlátozva a feladatot, tehát minden készüléknek azonos a fogyasztási profilja). Nem lehet negatív:



x 0. Mindig az időszak elején történik az eszközök be- és kikapcsolása, attól kezdve az adott időszak folyamán ebben a ki- vagy bekapcsolt állapotukban maradnak.

Véletlen változók:



1



  

ξ

 

_n



_N - adott időablakban a véletlen fogyasztás összesen, amelyre nincsen hatásunk.

Jellegüknél fogva nem tudjuk vezérelni az ebbe a fogyasztásba tartozó készülékeket: pl. porszívó, mikrohullámú sütő, fúrógép, vasaló. Rendelkezünk azonban korábbi időszakokról származó mérésekkel a fogyasztásra vonatkozóan, melyekből statisztikai jellemzőket tudunk meghatározni (pl.

eloszlásfüggvényt).

További paraméterek:

1, ,



n N

- az időhorizonton belül egy adott időablak indexe, M- előírás szerint vezérlendő készülékek összes darabszáma,

k- azon időszakok száma, amelyen keresztül egyenként működtetni kell a vezérelhető készülékeket,

n

xn

93

h - vezérelhető készülék energiafogyasztási alapegysége egy időablakban, E- a legnagyobb megengedhető összes energiafogyasztás egy adott időablakban,

E

- a legkisebb megengedhető összes energiafogyasztás egy adott időablakban.

Összesen M készülék van:

, ( 1, , )

 

xn M n N (6.26)

Az M db vezérelhető készülék mindegyikét kidőszakon keresztül kell működtetni:

 

x 1

T

M k

(6.27)

Az összes energiafogyasztás az n-edik időszakban a véletlen fogyasztás (_n) és az engedélyezett mennyiségű (x_n) determinisztikus fogyasztás összege. Tegyük fel továbbá, hogy nem feltétlenül egybefüggő k időszakon keresztül kell működtetni a vezérelhető készülékeket:

  

n n n

E



x h (6.28)

Az egységár az n-edik időszakban az energiafogyasztás függvénye [106], amely egy konvex, monoton növekvő függvénnyel definiálható (6.2. ábra). Fontos megjegyezni, hogy itt nem végfelhasználói piacról van szó a modellben, hanem egy köztes kereskedő egység költségeit értjük az energia egységáron.

 

n n

K  f E (6.29)

K_n

E_n

6.2. ábra Egységár

Összes költség az n-edik időszakban = költségfüggvény * felhasznált energiamennyiség:

n n

K E (6.30)

Az optimalizálási feladat így megfogalmazható a következő formában:

min



^{N n} ⁿ

n

K E (6.31)

94

Az összes költséget az n-edik időszakban a g függvény fogja megadni, ami a költségfüggvény és a felhasznált energiamennyiség szorzata: kétszer deriválhatóak. A két függvény szorzata konvexitásának feltétele az, hogy a szorzat második deriváltja nem negatív legyen:

Az n-edik időablakban az összes költség várható értéke:

 

n ^:



⁽ n n ⁾



G x   g



 x h . (6.37)

 

n

G x is konvex függvény, mert a konvexitás öröklődik a várható érték függvényre. Az összes időablakot összegezve az összes költség várható értéke:

 

A felső korlátra szűkítve a modellt, a valószínűségi korlát a következő lesz:

( _n ;  1 )

P E E n N p (6.39)

95

A modell egyszerűsítése érdekében feltesszük a következőket:

- Egyoldali korlátot írunk elő (pl. csak felsőt: E), - A felső korlátok időablakonként azonosak,

- x_n folytonos változóként kezelhető (a készülékek nagy száma miatt egész értékre kerekíthető), - Az összes költség várható értékét linearizáljuk.

A

G R :

^

 R

^ összes költség várható értékének linearizációja az alábbiak szerint történik, amit a 6.3. ábra is személtet. Az



^0,M



folytonos intervallumon fölveszünk pontokat. Legyenek ezek

0 1... _s 1 _s

d d d _ d , ahol célszerű a d₀ 0, d_s M választás. Kiértékeljük a

0 1

( ), ( ),..., ( _s)

G d G d G d függvényértékeket. Az ábrán zölddel jelölt lineáris függvények könnyen számíthatók a szomszédos d d_j, _j1 osztópontok és a megfelelő G d( _j),G d( _j1) értékek alapján. A szakaszonként lineáris közelítő függvény ezeknek a lineáris függvényeknek a felső burkolója.

( ) G x

d

0

d

1

... d

_j

x

1

d

s_

d

_s

6.3. ábra Összes költség várható értékének linearizációja Optimalizálási feladatban, mint az alábbi (6.26), a következő technikát kell alkalmazni:

Legyenek l x₁( ),..., ( )l x_s a zöld lineáris függvények a 6.3. ábra szerint. A szakaszonként lineáris közelítő függvényünk ezeknek a felső burkolója lesz: G x^u( )max



l x1( ),..., ( )l x_s



. A

 

n

G x d



feltétel úgy írható le, hogy felveszünk új döntési változókat: G^u₁,...,G^u_N. Ezek fogják a G^u( ),...,x₁ G^u(x_N) függvény-értékeket jelölni. Tehát elő kell írni:

1 1( ),...,1 1 ( )1

u u

G l x G l xs , (6.40)

…

1( ),..., ( )

u u

N N N s N

G l x G l x .

És az összegükre vonatkozó feltétel így írható:

1 ...

u u

G  G N d. (6.41)

96

Ez belső közelítés, de külső közelítést is lehet alkalmazni, ami az érintőkre támaszkodik. A közelítés menet közben javítható [107]. Külső közelítés esetén ez vágósíkos eljárást jelent. Mi a továbbiakban lineáris közelítést használunk.

A költségminimalizálásként felírt feladat a következőképpen foglalható össze:

minimalizálandó

 

Habár a fendi megfogalmazás elterjedtebb a gyakorlatban, az alábbi valószínűség maximalizálási modellel is megfelelően lehet leírni megbízhatósági feladatokat:

maximalizálandó (P_nx_n h E n, (  1 N)) a

 

Most bemutatjuk, hogy miként lehet a költségminimalizásáli feladatot a valószínűség maximalizálásra visszavezetni, azomban a későbbiekben kizárólag az utóbbival foglalkozunk. Jelölje

( ) d



a meghatározott

d

költséghez tartozó célfüggvény értékét (6.4. ábra). Minél nagyobb a költség keret, annál nagyobb valószínűséget kapunk a megoldásban (annál kisebb lesz a

 log( ) p

értéke).

Keressük azt a

d

^ költség értéket (1-el jelölve a 6.4. ábrán), melyet a valószínűséggel korlátozott költségminimalizálási feladat megoldása adna meg. A valószínűség maximalizálási feladattal egy megadott d_kköltséghez tartozó maximális valószínűségi szintet tudjuk meghatározni (2-vel jelölve a 6.4. ábrán), amivel még garantált a feltételek betartása. Iteratív eljárással (egy Newton-típusú módszerrel) megkereshető az optimális költségkeret. Részletesen a [97] cikkünkben tárgyaljuk.

( ) d

6.4. ábra Célfüggvény értéke a költség függvényében

A feladat megoldhatóságát a modellhez tartozó további feltételek természetesen befolyásolják.

A megszabott készülékek száma (M), a készülékek előírt működési ciklusszáma (k), a véletlen fogyasztás eloszlása mind olyan paraméterek, amik meghatározzák, hogy mi az a maximális valószínűség –költségkerettől függetlenül– ami elérhető a feladat megoldásában.

97

In document Valószínűségi eljárások alkalmazása a Smart Grid hálózatok hatékonyságának növelésére (Pldal 92-97)