CAC hatékonyságának vizsgálata különböző statisztikai egyenlőtlenségek

5.3.3. CAC hatékonyságának vizsgálata különböző statisztikai egyenlőtlenségek alkalmazásakor A CAC algoritmusban az ütemező az időben eltolható (shiftable) készülékeket letiltja, amennyiben az aggregált összes fogyasztás a megengedett p_U–nál nagyobb valószínűséggel haladná meg az előírt CU felső korlátot. Ebben az alfejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy miként alakul az engedélyezett készülékek száma a szolgáltatás minőségének (QoS) betartása érdekében különböző LDT becslések és a CLT használatakor (nem tévesztve szem elől ennek ismert hátrányait: nem felső-becslés, valamint a várható értéktől távolodva egyre rosszabb közelítést ad).

Elsőként azt az esetet vizsgáltuk, amikor egyetlen készülékosztály található a feladatban. Az 5.16. ábra mutatja a készülékszám alakulását a következő paraméterek beállítása esetén:

- Egyetlen készülékosztály Bernoulli IID modellel (p_ON 0,1), - 400 készülék.

72

5.16. ábra Engedélyezett készülékek száma 𝑝 függvényében

Az engedélyezett készülékek száma – a várakozásoknak megfelelően – monoton módon növekszik a 𝑝 függvényében egyetlen készülékosztály esetében (5.17. ábra). Ebben az egyszerű esetben analitikusan is kiszámolható az engedélyezhető készülékek száma, (az aggregált fogyasztás sűrűségfüggvényét konvolúcióval számoltuk ki), ezt tekintettük referenciának. A többi módszert ehhez képest értékeltük: minél inkább megközelíti egy módszer az analitikus értéket, annál hatékonyabb.

Hangsúlyozni kell ugyanakkor, hogy a túlfogyasztás valószínűségének LDT becslései, mivel szigorú felső becslései a túlfogyasztási valószínűségnek, az analitikusan számolt készülékszámhoz képest kevesebb készüléket engedélyeznek. Ennél fogva az LDT korlátok alkalmazása, amint azt korábban már említettük, tartalék kapacitásokat jelent a rendszerben, viszont garanciát jelent arra, hogy a túlfogyasztási valószínűség értékét (QoS paraméter) be fogjuk tartani. A CLT nem jelent felső becslést, tehát 100% -nál magasabb értékekhez vezethet, ami szerződésszegést jelent – amelyre az 5.16. ábrán látható eredmények egyértelmű példát mutatnak. Az engedélyezett készülékek pontos százalékarányát (az analitikai szempontból kiszámított érték referenciaként) a 5.3. táblázat tartalmazza. Ezek alapján legjobb megoldást (legmagasabb kihasználtságot a Chernoff egyenlőtlenséggel lehet elérni, de ebben a kísérletben majdnem azonos eredményre vezet a Bennett egyenlőtlenség is, amely ugyanakkor kisebb számítási kapacitást igényel.

5.3. táblázat Engedélyezett készülékek számának százalékos aránya 𝒑 < 𝟏𝟎^−𝟑 𝒑 > 𝟏𝟎^−𝟐 Garantált a QoS?

Analitikus 100%

(referencia)

100%

(referencia)

CLT 105% 101% nem

Chernoff 92% 88% igen

Bennett 91% 88% igen

Hoeffding 80% 75% igen

Chebisev 0% 50-80% igen

Markov 0% 10-50% igen

Kettő vagy több készülékosztály esetén a CAC algoritmusnak döntenie kell a különböző készülékosztály kombinációk engedélyezéséről. Ezt mutatjuk be két osztály esetén a (5.17. és 5.18.

73

ábra). A zöld szín jelzi az engedélyezhető készülék halmazokat, míg a piros azokat a kombinációkat mutatja, ahol a QoS nem teljesülne.

A paraméterek a következők ebben a kísérletben:

- Két készülékosztály Bernoulli IID modellel⁴ ( p_ON1 0, 2; h₁ 1; p_ON2 0, 001; h₂ 5), - 100 készülék mindkét osztályban,

- A túlfogyasztási valószínűség analitikusan lett kiszámolva.

5.17. ábra Engedélyezett készülékek száma két osztály esetén (h₂ 5)

Az 5.17. ábra alapján konvexnek, sőt lineárisnak tűnik a döntési felület, azonban más paraméterek alkalmazása esetén jól látszik az (5.18. ábra), hogy általában nem konvex és erősen nemlineáris.

Összegezve elmondható, hogy a döntési felület nem lineárisan szeparálható feladatot definiál, így indokolt a statisztikus egyenlőtlenségekkel történő megközelítés.

5.18. ábra Engedélyezett készülékek száma két osztály esetén (h₂ 10)

A következő két ábrán azt mutatjuk be, hogy miként függ a döntési görbe az alkalmazott LDT becslésektől, illetve CLT közelítéstől. Az 5.19. és 5.20. ábrák tehát a különböző becslési eljárások

4 Két markánsan eltérő készüléktípust modelleztünk: egy gyakran bekapcsolt kisebb fogyasztásút, és egy ritkán bekapcsolt nagy fogyazstásút, pl. világítás és mosógép.

74

vizsgálatát mutatják az engedélyezett készülékek számára vonatkozóan. A paraméterek az előző vizsgálatokkal (5.17. és 5.18. ábra) rendre megegyezőek voltak.

Az egyes módszerek közötti különbségek lényegesen kisebbek akkor, amikor kisebb ah₂/h₁ arány (5.19. ábra), míg magasabb h₂/h₁ aránnyal (5.20. ábra) a döntési görbék messzebb esnek egymástól, ami hatékonyságromlást okozhat.

5.19. ábra Döntési görbék (ℎ₂= 5)

A második esetben (5.20. ábra) az analitikus számítással kapott nemlineáris és nem konvex szeparáló felületet a különböző eljárások konvex felülettel közelítik.

5.20. ábra Döntési görbék (ℎ₂= 10)

A következő két táblázat (5.4. és 5.5.) tartalmazza az engedélyezett készülékek számának százalékos alakulását két osztályra.

75

5.4. táblázat Engedélyezett készülékek számának százalékos aránya h₂ 5 Analitikus CLT Chernoff Bennett

N₂=100 64* 80 50 35

5.5. táblázat Engedélyezett készülékek számának százalékos aránya h₂ 10 Analitikus CLT Chernoff Bennett

N2=100 11* 69 0

*Első osztály engedélyezett készülék darabszám (N1)

A legjobb eredményt az LDT eljárások közül a Chernoff adja a QoS garantálása mellett, de nagyon érzékeny a h₂/h₁ arányra. h₂/h₁5 esetén a Chernoff egyenlőtlenséggel a beengedett készülékek száma 9-11%-kal kisebb, mint az analitikusan számolt ráták, míg a nagyobb h₂ /h₁10 rátánál ugyanez 21-46%. A CLT mindkét esetben szinte azonos eredményeket hozott, de az engedélyezett készülékek száma nagyobb, mint a referencia esetén, tehát nem tudja tartani a QoS kritériumot.

5.4. Összefoglalás

Ebben a fejezetben az LDT statisztikus egyenlőtlenségein alapuló fogyasztásengedélyezési algoritmust (CAC) vezettünk be, amely képes az engedélyezhető készülékek számának meghatározására úgy, hogy közben képes biztosítani a túlfogyasztási valószínűség, mint QoS paraméter garantálását. A numerikus vizsgálataink pedig megmutatták, hogy az algoritmus alkalmas rövid időléptékre nézve a fogyasztási idősor műszaki paramétereinek a javítására, a csúcsok levágására és a hullámvölgyek kitöltésére.

Megvizsgáltuk a fő paraméterek hatásait (felső kapacitás korlát, túlfogyasztási valószínűség), a scheduling megoldásokat (egylépéses, többlépéses véletlen), valamint több készülékosztály esetén a döntési szeparáló felületet. Kétosztályos esetben a Chernoff egyenlőtlenséggel a beengedett készülékek száma 9-11%-kal kisebb az analitikusan számoltnál, valamint a döntési felület a kísérletek alapján konvex (ami a számítás szempontjából előnyös). További kutatási terveink között szerepel a fogyasztásengedélyezési algoritmus kibővítése az alsóhatár kezelésével, tárolók (storage) használatával, valamint további (pl. heurisztikus) ütemezők vizsgálatával.

76