II. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek 27
4.4. Feladatok
c(x)dx+d(y) =c(x) +d(y).
A 4.1–4.4. Feladatokban egyéb integrálható egyenletekre találhatunk példá-kat.
4.3.2. Közönséges differenciálegyenletre visszavezethető egyenletek
Az ilyen típusú egyenletek integrálással vagy új ismeretlen függvény beveze-tésével közönséges differenciálegyenletre vezethetők vissza.
4.8. Példa. Keressük meg a
∂1∂2u(x, y) + 2x∂2u(x, y) =x ((x, y)∈R2) (4.4) másodrendű lineáris egyenlet u ∈ C2(R2) klasszikus megoldásit ! Legyen y rögzített és definiáljuk av:R→Rfüggvényt av(x;y) =∂2u(x, y) hozzáren-deléssel, ahol mosty paraméter. Ekkor a (4.4) egyenlet a
v0(x;y) + 2xv(x;y) =x (4.5) alakot ölti, ahol „0” azxszerinti deriválást jelenti. A (4.5) egyenlet egy első-rendű lineáris közönséges differenciálegyenlet, amelyet megoldhatunk például az Euler-féle integráló tényező módszerével. Szorozzuk meg az egyenlet mind-két oldalátex2-tel, ekkor
ex2v0(x;y) + 2xex2v(x;y) =xex2.
Vegyük észre, hogy a bal oldalon éppen azx7→ex2v(x;y) függvény (x sze-rinti) deriváltja áll, a jobb oldalon pedig azx7→ 12ex2 függvény (xszerinti) deriváltja, így az egyenlet mindkét oldalátxszerint integrálva
ex2v(x;y) = 1
2ex2+c(y)
36 4. Parciális differenciálegyenletek alapfogalmai, példák adódik. (Vigyázzunk, mively paraméterv-ben, ezért az integrálás során ke-letkezőckonstans függy-tól !) Innen rendezésselv(x;y) =12+c(y)e−x2. Mivel v(x;y) =∂yu(x, y), ezért végül a (4.4) egyenlet klasszikus megoldásai
u(x, y) =1
2y+C(y)e−x2+D(x)
alakúak, aholC, D∈C1(R)tetszőleges függvények. Megjegyezzük, hogy úgy is eljárhattunk volna, hogy a kiindulási egyenletet először integráljuky sze-rint, ekkor azx7→u(x, y)függvényre nézve kapjuk a (4.5) közönséges diffe-renciálegyenletet.
4.3.3. Új változók bevezetésével megoldható egyenletek
Gyakran célravezető, hogy új független változókat vezetünk be, és az egyen-letet egy könnyebben kezelhető alakra transzformáljuk.
4.9. Példa. Tekintsük az elsőrendű lineáris
∂1u(x, y)−∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2) (4.6) egyenletet. Vegyük észre, hogy
0 =∂1u−∂2u= (∂1u, ∂2u)·(1,−1) =∂(1,−1)u,
más szóval azufüggvénynek az (1,−1)irányban vett iránymenti deriváltja minden pontban 0. Ez azt jelenti, hogy az (1,−1) irányú, tehát x+y = c egyenletű egyenesek menténukonstansfüggvény, így
u(x, y) =c(x+y), aholc∈C1(R)tetszőleges függvény.
Az iménti érvelés adhatja az ötletet egy másik megoldásra, mégpedig az új ξ=x+yfüggetlen változó bevezetésére. A másik változót lényegében tetsző-legesen választhatjuk meg, a későbbiek szempontjából célszerű azη=x−y helyettesítés (a transzformációt a 4.1. ábra szemlélteti). Vezessük be tehát a
(ξ=x+y,
η =x−y (4.7)
új független változókat, valamint av(ξ, η) =u(x, y)új ismeretlen függvényt, és nézzük meg, hogyan alakulv-re nézve a differenciálegyenlet (a továbbiak-ban az egyes változók megkülönböztetése céljából∂x, ∂y és∂ξ, ∂η jelölésekre
4.3. Néhány elemi úton megoldható egyenlet 37
4.1. ábra. Áttérés új koordinátákra térünk át). A láncszabály alkalmazásával kapjuk, hogy
(∂xu(x, y), ∂yu(x, y)) = (∂ξv(ξ, η), ∂ηv(ξ, η)) ami azt jelenti, hogy
(∂xu=∂ξv+∂ηv
4.10. Példa. A 4.9. Példában alkalmazott (4.7) koordinátatranszformáció a
∂12u(x, y)−∂22u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2) (4.9) egyenlet megoldására is használható. A deriváltakra vonatkozó (4.8) össze-függések alapján
∂2xu=∂ξ(∂ξv+∂ηv) +∂η(∂ξv+∂ηv) =∂ξ2v+ 2∂ξηv+∂η2v,
∂2yu=∂ξ(∂ξv−∂ηv)−∂η(∂ξv−∂ηv) =∂ξ2v−2∂ξηv+∂η2v,
így ∂2xu−∂y2u = 4∂ξηv, vagyis a (4.9) egyenlet alakja ∂ξηv = 0. Ennek megoldása (a 4.7. Példa alapján)v(ξ, η) =c(ξ) +d(η), vagyis a (4.9) egyenlet
38 4. Parciális differenciálegyenletek alapfogalmai, példák
x y
x+y=c
4.2. ábra. Karakterisztikák
x y
˙
x(t) =a(x(t), y(t))
˙
y(t) =b(x(t), y(t)) )
4.3. ábra. Karakterisztikák klasszikus megoldásai
u(x, y) =C(x+y) +D(x−y)
alakúak, ahol C, D ∈ C2(R2) tetszőleges függvények. Megjegyezzük, hogy a (4.9) egyenlet az úgynevezettegydimenziós hullámegyenlet, amellyel a ké-sőbbiekben részletesen is foglalkozunk.
4.3.4. Elsőrendű lineáris egyenletek
Tekintsük ismét az elsőrendű lineáris
∂1u(x, y)−∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2) (4.10) egyenletet. Amint a 4.9. Példában láttuk, az egyenlet megoldásai azx+y=
=cegyenletű egyenesek mentén állandók (lásd a 4.2. ábrát). Ezeket az egye-neseket a (4.10) egyenletkarakterisztikus görbéinek vagykarakterisztikáinak hívjuk. (A karakterisztikus szó a matematikában mindig „invariáns módon kapcsolódót” jelent, a mostani esetben a karakterisztikák a koordinátarend-szer választásától függetlenek.)
Általában az
a(x, y)∂1u(x, y) +b(x, y)∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2) (4.11) elsőrendű homogén lineáris egyenletkarakterisztikus rendszere a
(x˙ =a(x, y),
˙
y=b(x, y) (4.12)
közönséges differenciálegyenlet-rendszer, amelynekt7→(x(t), y(t)) megoldás-görbéit (trajektóriáit) a (4.11) egyenlet karakterisztikus görbéinek vagy ka-rakterisztikáinak nevezzük (lásd a (4.3. ábrát). A (4.11) egyenlet megoldásai
4.3. Néhány elemi úton megoldható egyenlet 39 a karakterisztikus görbék mentén állandók, ugyanis
d
dt u(x(t), y(t)
= ∂1u(x(t), y(t)), ∂2u(x(t), y(t)
·( ˙x(t),y(t)) =˙
=a(x(t), y(t))∂1u(x(t), y(t))+b(x(t), y(t))∂2u(x(t), y(t)) = 0.
Ez azt jelenti, hogy a (4.11) egyenlet mindenu∈C1(R2)klasszikus megoldá-sa a (4.12) karakterisztikus rendszerelső integrálja, vagyis a megoldásgörbé-ken állandó függvény. Megfordítva, hau ∈C1(R2)minden karakterisztikus görbén állandó, akkorukielégíti a (4.11) parciális differenciálegyenletet.
4.11. Példa. Az elsőrendű homogén lineáris
y∂1u(x, y)−x∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2) (4.13) egyenlet karakterisztikus rendszere :
(x(t) =˙ y(t),
˙
y(t) =−x(t).
A közönséges differenciálegyenletek elméletéből ismert, hogy ennek megoldá-sax(t) =csin(t+t0),y(t) =ccos(t+t0), ahol acést0 konstansok a kezdeti feltételtől függnek. Ez azt jelenti, hogy a rendszer megoldásgörbéi, vagyis a karakterisztikák origó középpontú körvonalak (lásd a 4.4. ábrát). A (4.13) egyenlet megoldásai tehát az origó középpontú körvonalak mentén állandók, vagyis a megoldás(x, y)pontbeli értéke csak az origótól vett távolságtól függ.
Ebből következőenu(x, y) =c(x2+y2), aholc∈C1(R2)tetszőleges függvény Megjegyezzük, hogy azuelső integrált a karakterisztikus rendszer megoldása-inak ismerete nélkül is megtalálhattuk volna. Nevezetesen a karakterisztikus rendszer első egyenletétx(t)-vel, a másodikaty(t)-vel szorozva, majd a kapott egyenleteket összegezve
˙
x(t)x(t) + ˙y(t)y(t) = 0 adódik. Más szóval
d dt
1
2x2(t) +1 2y2(t)
= 0,
tehátt 7→ x2(t) +y2(t) konstansfüggvény, így ϕ(x, y) =x2+y2 a rendszer egy első integrálja. Mivel első integrál tetszőleges függvénye is első integrál, az u(x, y) = Φ(x2+y2)alakú függvények a (4.13) egyenlet klasszikus megoldásai, aholΦ∈C1(R)tetszőleges függvény.
Tekintsük most az elsőrendű inhomogén lineáris
a(x, y)∂1u(x, y) +b(x, y)∂2u(x, y) =f(x, y) ((x, y)∈R2) (4.14)
40 4. Parciális differenciálegyenletek alapfogalmai, példák egyenletet. Ennekkarakterisztikus rendszere ugyancsak az
(x˙ =a(x, y),
˙
y=b(x, y)
közönséges differenciálegyenlet-rendszer, amelynekt7→(x(t), y(t)) megoldás-görbéi (trajektóriái) a (4.13) egyenletkarakterisztikái. A (4.11) egyenlet meg-oldásaira a karakterisztikák mentén a következő teljesül :
d
dt u(x(t), y(t)
= ∂1u(x(t), y(t)), ∂2u(x(t), y(t)
·( ˙x(t),y(t)) =˙
=a(x(t), y(t))∂1u(x(t), y(t))+b(x(t), y(t))∂2u(x(t), y(t)) =
=f(x(t), y(t)).
Ezt integrálva
u(x(t), y(t))−u(x(t0), y(t0)) = Z t
t0
f(x(τ), y(τ))dτ, (4.15) vagyis megkapjuk az u megoldás általános alakját egy t 7→ (x(t), y(t)) ka-rakterisztika mentén. Amennyiben ismerjük uértékét a karakterisztika egy (x(t0), y(t0))pontjában, akkor ezen a karakterisztikán a megoldás már egyér-telműen meg van határozva. Ebből következően, ha a (4.14) egyenlet megoldá-sát előírjuk egy olyan kezdeti görbe mentén, amely minden karakterisztikus görbét pontosan egyszer metsz, akkor általában az egyenletnek egyértelmű klasszikus (és általában csak lokális) megoldását nyerjük (feltéve, hogy a ka-rakterisztikák sem metszik egymást). (Az elsőrendű egyenletek elméletének precíz és részletes tárgyalása megtalálható például a [13, 3] könyvekben.) 4.12. Példa. Határozzuk meg a
∂1u(x, y)−∂2u(x, y) =x ((x, y)∈R2) (4.16) elsőrendű inhomogén lineáris egyenletet azon megoldását, amelyre
u(x, x) =x (x∈R). (4.17)
Láttuk, hogy az egyenlet karakterisztikái azx+y =c egyenletű egyenesek, pontosabban az x(t) = 1,˙ y(t) =˙ −1 rendszer megoldásgörbéi, amelyeket például
(x(t), y(t)) = (t, c−t) (t∈R)
módon paraméterezhetünk. A (4.17) feltétel azt jelenti, hogy a megoldás érté-keit előírjuk azy=xegyenes mentén, amely minden karakterisztikát ponto-san egyszer metsz (lásd a 4.5. ábrát). Egy rögzített karakterisztikán a(2c,c2)
4.4. Feladatok 41
x y
˙
x(t) =−y(t)
˙
y(t) =x(t) )
4.4. ábra. Karakterisztikák
x
y u(x, x) =x
x+y=c
4.5. ábra. Kezdeti görbe pontból integrálva a (4.16) egyenletet a (4.15) összefüggés alapján kapjuk, hogy
u(t, c−t) =uc 2,c
2
+ Z t
c 2
τ dτ = c 2+t2
2 −c2 4. Ebből következően
u(x, y) = x+y 2 +x2
2 −(x+y)2 4 , amely valóban kielégíti a (4.16) egyenletet.
4.4. Feladatok
4.1. Adjuk meg a következő parciális differenciálegyenletek u ∈ C1(R2) klasszikus megoldásainak általános alakját !
a) ∂1u(x, y) =x+y ((x, y)∈R2), b) ∂2u(x, y) =xy ((x, y)∈R2),
c) ∂1u(x, y)2
+ ∂2u(x, y)2
= 0 ((x, y)∈R2).
4.2. Határozzuk meg a következő parciális differenciálegyenleteku∈C2(R2) klasszikus megoldásainak általános alakját !
a) ∂12u(x, y) =ex+y ((x, y)∈R2), b) ∂1∂2u(x, y) =xy ((x, y)∈R2).
4.3. Adjuk meg a következő parciális differenciálegyenletek u ∈ C3(R3) klasszikus megoldásainak általános alakját !
a) ∂13u(x, y, z) = 0 ((x, y, z)∈R3), b) ∂1∂2∂3u(x, y, z) =xyz ((x, y, z)∈R3).
42 4. Parciális differenciálegyenletek alapfogalmai, példák 4.4. Határozzuk meg azon u∈ Cn(Rn)függvényeket, amelyek kielégítik a
következő parciális differenciálegyenletet !
∂1∂2· · ·∂nu(x1, . . . , xn) = 0 ((x1, . . . , xn)∈Rn).
4.5. Vezessük vissza a következő parciális differenciálegyenleteket elsőren-dű közönséges differenciálegyenletekre, majd határozzuk meg az u∈
∈C2(R2)klasszikus megoldásaik általános alakját ! a) ∂12u(x, y) +∂1u(x, y) =y ((x, y)∈R2), b) ∂1∂2u(x, y) + 2y∂2u(x, y) =x ((x, y)∈R2).
4.6. Írjuk fel az alábbi egyenletnek a megadott(ξ, η)koordináták bevezeté-se után kapott alakját, majd határozzuk meg az egyenletek klasszikus megoldásait !
a) ∂12u(x, y) + 2∂1∂2u(x, y) +∂22u(x, y) =x ((x, y)∈R2), ξ= 3x+y,η=x−y,
b) ∂12u(x, y)−2∂1∂2u(x, y)−3∂22u(x, y) =y ((x, y)∈R2), ξ=x,η=x−y.
4.7. Keressük meg a következő elsőrendű lineáris egyenletek klasszikus meg-oldásait ! Rajzoljuk fel az egyenletek karakterisztikáit is, ahol tudjuk !
a) x∂1u(x, y)−y∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2), b) ∂1u(x, y)−y∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2),
c) y2∂1u(x, y) +ex∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2).
4.8. Igazoljuk, hogy az alábbi egyenlet klasszikus megoldásai u(x, y) =f(x) +g(y)
x−y
alakúak, aholf, g∈C2(R)tetszőleges függvények.
∂1∂2u(x, y)− 1
x−y∂1u(x, y) + 1
x−y∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2, x6=y).
4.9. Adjuk meg azonu∈C1(R2)függvényeket, amelyekre teljesül a követ-kező parciális differenciálegyenlet !
∂1u(x, y)·∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2).
4.10. Keressük meg a következő feladatoku∈C2(R2)klasszikus megoldásait !
4.4. Feladatok 43
a)
∂1∂2u(x, y) = 0 ((x, y)∈R2), u(x,0) =x2 (x∈R), u(0, y) = 4y2 (y∈R).
b)
∂21u(x, y)−∂22u(x, y) = 2 ((x, y)∈R2), u(x, x) = sin 2x+ 5x2 (x∈R), u(x,−x) = sin 2x−7x2 (x∈R).
4.11. Igazoljuk, hogy a (4.3) Cauchy-feladatnak egyértelműen létezik u ∈
∈C2(R×R+0)megoldása !
4.12. Legyen Ω = (0,1)2 ⊂R2. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi peremérték-feladatnak nem léteziku∈C2(Ω)megoldása !
(∂12u+∂22u= 1 Ω-ban, u|∂Ω= 0.
4.13. Mutassuk meg, hogy az alábbi feladatnak végtelen soku∈C∞(R×R+0) megoldása van !
(∂1u−∂22u= 0 R×R+-ban, u(x,0) = 0 (x∈R).
4.14. Igazoljuk, hogy az alábbi kezdetiérték-feladat esetében nem teljesül a kezdeti értéktől való folytonos függés feltétele !
∂1u+∂22u= 0 R×R+-ban, u(x,0) = 1
ksinkx (x∈R).
5. fejezet
A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete
A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfede-zések legtermékenyebb forrása.
Joseph Fourier (1768–1830) A fejezet tartalma.Levezetjük két fontos fizikai jelenség, a hőveze-tés és a hullámmozgás leírására szolgáló egyenleteket egy- és magasabb dimenzióban, majd számos további példát mutatunk parciális differen-ciálegyenletek, illetve rendszerek konkrét előfordulására.
5.1. Motiváció
A következőkben a másodrendű parciális differenciálegyenletek elméletének három alapegyenletével és azok fizikai motivációjával ismerkedünk meg. Az egyenletek két, mindenki számára jól ismert fontos fizikai jelenség, a hővezetés és a hullámmozgás matematikai leírásában játszanak szerepet. A fejezetben célunk e két folyamat matematikai vizsgálata egyszerű fizikai törvények alap-ján. Nem törekszünk a precizitásra, levezetéseink matematikailag egyáltalán nem lesznek szabatosak. Érveléseinkben rendszerint „kicsiny” (infinitezimális) mennyiségek bukkannak fel, és lépten-nyomon a következő közelítést fogjuk használni : haδxkicsiny mennyiség, akkor
f(x+δx)−f(x)
δx ≈f0(x).
Az érvelések természetesen precízzé tehetők (a differenciálszámítás középér-téktételeinek segítségével, lásd a [80] könyvet), azonban a szabatosság
hát-45
46 5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete térbe szorításával talán szemléletesebb képet kaphatunk az egyenletek jelen-téséről. A fejezet végén számos egyéb fizikai példát sorolunk fel (a teljesség igénye nélkül), ahol parciális differenciálegyenletek és rendszerek fordulnak elő, ezzel is illusztrálva, hogy a természeti folyamatok számtalan érdekes és nehéz matematikai problémát vetnek fel, ahogy ezt a fejezet nyitó idézete is mondja.
A későbbi fejezetekben fő célkitűzésünk a megismert három alapegyenlet és az ezekből a különböző mellékfeltételekkel nyert problémák részletes tanul-mányozása, elsősorban a megoldások létezésével és tulajdonságaival kapcsola-tos kérdések vizsgálata, valamint az ehhez szükséges alapvető elméleti háttér megteremtése.
5.2. A hővezetés matematikai leírása
Ahővezetésfolyamata a hétköznapjaink szerves része, hiszen a levegő hőmér-séklete szinte minden embert érdekel, nyáron leginkább a nyaralás, télen pedig lakásunk fűtése miatt. A hővezetés matematikai leírására szolgáló egyenletet két tapasztalati összefüggésre alapozva fogjuk levezetni. Az egyik, amelyet mindenki jól ismer, hogy a hő a magasabb hőmérsékletű helyről az alacso-nyabb felé áramlik. A másik Joseph Fourier (1768–1830) francia matematikus és fizikus törvénye, amely szerint a hőáramlás sebessége arányos a hőmérsék-let adott irányú deriváltjával. Pontosabban fogalmazva, egy adott xpontra illeszkedőδA felületdarabon keresztülδtidő alatt áramló hőmennyiség
δQ=−k(x)∂νu(x, t)δAδt,
aholνa felület normálvektora, amely a hőátadás irányába mutat (a magasabb hőmérséklet felől az alacsonyabb felé),k(x)a belső hővezetési együttható és u(x, t)a hőmérséklet az xpontban a tidőpillanatban (lásd az 5.1. ábrát).
Fourier törvényét szemléletesen úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a hőáram-lás sebességének iránya az állandó hőmérsékletű szintvonalakra (izotermákra) merőleges, és nagysága a hőmérsékleti gradiens nagyságának negatív szám-szorosa. Képzeljük el például, ahogy az eső lefolyik a dombtetőről, vagy a síelő lecsúszik a hegy tetejéről, úgy áramlik a hő a magasabb hőmérsékletű helyről az alacsonyabb felé (lásd az 5.2. ábrát). E fizikai törvények segítségével az alábbiakban részletesen levezetjük az egy- és magasabb dimenziós hővezetési egyenletet, majd megvizsgáljuk, hogy milyen mellékfeltételek szükségesek a hőmérséklet egyértelmű meghatározásához.
5.1. Történeti megjegyzés. A hővezetési egyenletet először Fourier vezette le A hővezetés analitikus elemélete című művében (lásd [22]) az előbbiekben is-mertetett tapasztalati törvény alapján. A művet 1812-ben írta meg, azonban nem engedték megjelenni, csak 1822-ben került kiadásra, amikor is Fourier a
5.2. A hővezetés matematikai leírása 47 Párizsi Akadémia titkára lett, és engedélyezte saját könyve kiadását. A mű később a Fourier-sorok elméletének kiindulópontjává vált, a fizika fejlődésé-ben szintén egy óriási mérföldkő volt, Lord Kelvin (1824–1907) például, saját bevallása szerint, 16 éves korában két hét alatt áttanulmányozta, és egész ké-sőbbi pályafutását meghatározta. Ahogy ő fogalmazott, a mű egy „nagyszerű matematikai költemény”. Hasonlóan vélekedett a kiváló német fizikus Arnold Sommerfeld (1868–1951), aki a fizikusok bibliájának nevezte a művet.
Fourier fizikai kutatásai mellett egy ideig Alsó-Egyiptom kormányzója is volt, később a francia Isère megye prefektusaként tevékenykedett, és ezalatt készí-tette el egyiptológiai témájú áttekintő monográfiáját. Érdekességként megem-lítjük, hogy az üvegházhatás felfedezése ugyancsak Fourier nevéhez köthető.
5.2.1. Hővezetés egy dimenzióban
Tegyük fel, hogy adott egy vékony,Lhosszúságú, henger alakú rúd, amelynek palástja szigetelt, tehát nem áramlik rajta keresztül hő. Mivel a rúd vékony, ezért a pontjait azx∈[0, L] koordinátákkal jellemezhetjük, és jelöljeu(x, t) a rúdxkoordinátájú pontjának hőmérsékletét atidőpillanatban.
Tekintsük a rúd egy[x, x+δx]kicsiny szakaszát és vizsgáljuk meg a szakasz két végén végbemenő hőáramlást ! Ha azx+δxvégpont egy kis környezetében a hőmérséklet csökken, akkor a rúd itt hőt ad le, ha pedig a hőmérséklet nő, akkor hőt vesz fel, hiszen a hő a magasabb hőmérsékletű helyről az alacso-nyabb felé áramlik. Fourier törvénye szerint a hőáramlás sebessége negatívan arányos a hőmérséklet adott pontbelixváltozó szerinti deriváltjával, jelölje k(x) az arányossági tényezőt, amely függ(het) az adott ponttól és amelyet hővezetési tényezőnek szokás nevezni. Ekkor azx+δxpontban a szakaszba befelé haladó hőáramlás sebessége k(x+δx)∂xu(x+δx), a kifelé haladóé ennek(−1)-szerese.
Az x végpontban fordított a helyzet, ha a hőmérséklet lokálisan csökken, akkor hőt vesz fel a szakasz, ha pedig a hőmérséklet nő, akkor hőt ad le, így a befelé haladó hőáramlás sebessége −k(x)∂xu(x, t), a kifelé haladó ennek (−1)-szerese, lásd az 5.3. ábrát.
δA
−k∂νuδAδt ν
5.1. ábra. Fourier törvénye 5.2. ábra. Izoterma és gradiens
48 5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete
δA
x x+δx
−(k∂xu)|(x+δx,t)δAδt (k∂xu)|(x,t)δAδt
5.3. ábra. Kifelé haladó hőáram vékony rúddarabban
Az előbbiek alapján azt mondhatjuk tehát, hogy az[x, x+δx]végtelen kicsiny szakaszonδtidő alatt befelé áramló hőmennyiség közelítőleg
δQ1= k(x+δx)∂xu(x+δx, t)−k(x)∂xu(x, t) δAδt≈
≈∂x(k(x)∂xu(x, t))δxδAδt,
aholδAa henger keresztmetszetének területe. Tegyük fel, hogy a rúdban hő-források éshőnyelők révén is keletkezik hőmennyiség (más szóval a rúd egyes pontjaival esetleg hőt közlünk, más pontokból pedig hőt vonunk el), jelölje F(x, t) a hőforrások intenzitását (F(x, t) >0 esetén hőforrásról, F(x, t) <
<0 esetén pedig hőnyelőről van szó az xpontban). Ez azt jelenti, hogy az [x, x+δx]végtelen kicsiny szakaszonδtidő alatt közelítőleg
δQ2≈F(x, t)δxδAδt
hőmennyiség keletkezik hőforrások és nyelők útján. A szakaszonδtidő alatt a hőmérséklet-változás közelítőleg
u(x, t+δt)−u(x, t)≈∂tu(x, t)δt, amelyhez
δQ3≈c(x)%(x)δxδA∂tu(x, t)δt
hőmennyiség szükséges, aholc(x)a rúddarab fajhője és%(x)a sűrűsége azx pontban (a szükséges hőmennyiség a rúddarab tömegével és a hőmérséklet-változással arányos). Ekkor szükségképpen
δQ3=δQ1+δQ2, azaz
c(x)%(x)δxδA∂tu(x, t)δt≈∂x(k(x)∂xu(x, t))δxδAδt+F(x, t)δxδAδt, ahonnan aδx, δAésδtmennyiségekkel való osztás után a
c(x)%(x)∂tu(x, t)−∂x(k(x)∂xu(x, t)) =F(x, t)
5.2. A hővezetés matematikai leírása 49 pontos egyenletet nyerjük, amely azegydimenziós hővezetési egyenlet inho-mogén közeg esetén. Hac, %, k állandók, akkor a
∂tu(x, t)− k
c%∂x2u(x, t) =F(x, t) c% , vagy tömören a
∂tu−a∂x2u=f (5.1)
egyenletet kapjuk, ahol
a= k c%
az úgynevezetthőmérséklet-vezetési tényező. Az (5.1) egyenletet röviden in-homogén egydimenziós hővezetési egyenletnek nevezzük, azf jobb oldalt pe-digforrástagnak. Amennyibenf=0, akkorhomogén egyenletről beszélünk.
Mellékfeltételek
Vizsgáljuk most meg, hogy milyen mellékfeltételek szükségesek a hőmérsék-let egyértelmű meghatározásához ! Kézenfekvő, hogy megadjuk a rúd kezdeti hőmérséklet-eloszlását, illetve valamilyen formában a rúd peremén a hőmér-séklet vagy a hőmennyiség időbeli változását.
• Kezdeti feltétel. Ha megadjuk a rúd kezdeti hőmérséklet-eloszlását, azaz u(x,0) =T0(x) (x∈[0, L]),
akkorkezdeti feltételről beszélünk.
• Első peremfeltétel. Ha a rúd végeinek hőmérsékletét időben szabályoz-zuk, akkor
u(0, t) =T1(t), u(L, t) =T2(t) (t≥0)
úgynevezettelső peremfeltételt, más névenDirichlet-féle peremfeltételt írhatunk elő.
• Második peremfeltétel. Ha a peremen hőáramlás megy végbe, akkor meg-adhatjuk a kifelé (vagy befelé) haladó hőáramot, azaz
k(0)∂xu(0, t) =u1(t), −k(L)∂xu(L, t) =u2(t) (t≥0), amelyetmásodik vagyNeumann-féle peremfeltételnek hívunk.
50 5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete
• Harmadik peremfeltétel. Ha a peremen hőcsere megy végbe a közeg-gel, akkor Newton lehűlési törvénye szerint a kifelé mutató hőáramlás sebessége arányos a rúd végpontja és a közegTk hőmérsékletének kü-lönbségével, így
k(0)∂xu(0, t) =λ(u(0, t)−Tk(t)),
−k(L)∂xu(L) =λ(u(L, t)−Tk(t)) (t≥0), vagy ekvivalensen
k(0)∂xu(0, t)−λu(0, t) =−λTk(t), λk(L)∂xu(L, t) +k(L)u(L, t) =−λTk(t), amelyetharmadik vagyRobin-féle peremfeltételnek nevezünk.
A hővezetés (homogén vagy inhomogén) egyenletéhez hozzávéve a kezdeti feltételt, valamint az első, második, harmadik peremfeltétel valamelyikét a hővezetési egyenletre vonatkozó vegyes feladatot kapjuk a Q:= (0, L)×R+ végtelen téglalap (kétdimenziós henger) lezártján, lásd az 5.4. ábrát.
Amennyiben a rúd végtelen hosszú, más szóval a perem hatása elhanyagolha-tó, akkor nincs szükség peremfeltételre, csak azu(x,0) =T0(x)(x∈R) kez-deti feltételre, ekkor ahővezetési egyenletre vonatkozó kezdetiérték-feladatról vagy más névenCauchy-feladatról beszélünk.
E feladatokat matematikailag akkor fogalmaztuk meg pontosan, ha megadjuk azt a teret is, amelyben a megoldásokat keressük. A hővezetési egyenletre vonatkozó vegyes feladatnak első peremfeltétel esetén kereshetjük például u∈ C2(Q), vagy akár u∈ C2(Q)×C1(Q) megoldásait, vagy esetleg olyan u∈ C1(Q)×C(Q) megoldásait, amelyre∂x2u∈C(Q). Azt, hogy valójában mely terek választása esetén lesznek korrekt kitűzésűek a fenti feladatok, a későbbi fejezetekben vizsgáljuk meg.
x t
0 T1(t) =u(0, t)
L
u(L, t) =T2(t)
u(x,0) =T0(x) Q
∂tu−∂2xu=f
5.4. ábra. Hővezetési egyenletre vonatkozó vegyes feladat
5.2. A hővezetés matematikai leírása 51 5.2. Történeti megjegyzés. Isaac Newton (1642–1727) lehűlési törvényét 1701-ben publikálta a Királyi Társaság tudományos folyóiratában névtelenül meg-jelent hatoldalas cikkében. Ebben különböző anyagok lehűlését vizsgálta és megállapította, hogy a lehűlés sebessége arányos az anyag és a közeg hőmér-sékletének különbségével.
A Dirichlet-féle peremfeltétel Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) német matematikusról kapta nevét. A Dirichlet-feladat szem-léletes jelentésével a 7.3.3. szakaszban foglalkozunk.
A Neumann-féle peremfeltétel Carl Gottfried Neumann (1832–1925) német matematikusról kapta a nevét. Neumann 1870-es években írt potenciálelmé-leti, vagyis a Laplace-egyenlet megoldásaival foglalkozó cikkeiben gyakran jelenik meg a második peremfeltétel (a Laplace-egyenlettel a 7. fejezetben fog-lalkozunk). A funkcionálanalízisbeli Neumann-sor is az ő nevét viseli, ugyanis Neumann a peremérték-feladat megoldásait éppen ilyen sor alakjában adta meg.
Victor Gustave Robin (1855–1897) francia matematikus volt, aki többek kö-zött potenciálelmélettel is foglalkozott. Munkáiban azonban nem szerepel a harmadik peremfeltétel, a kissé félrevezető Robin-peremfeltétel elnevezés az 1950-es évektől terjedt el.
5.2.2. Hővezetés két és magasabb dimenzióban
Mielőtt tetszőleges dimenzióban felírnánk a hővezetés egyenletét, érdemes a kétdimenziós esetet is részletesen megnéznünk. Tekintsünk egyΩ⊂R2 tarto-mányban elhelyezkedő vékony szigetelt lemezt, amelynek pontjait jellemezzük az(x, y)koordinátákkal ! Tegyük fel, hogyu(x, y, t)jelöli a lemez(x, y) pont-jának hőmérsékletét atidőpillanatban. Vegyük a lemez egy rögzített(x0, y0) középpontú kicsinyN= [x, x+δx]×[y, y+δy]résztartományát, és írjuk fel a δt idő alatt a peremen befelé haladó hőáramot, amelyet az egyes perem-szakaszokon befelé haladó hőáramok összegeként nyerhetünk. Azxtengellyel párhuzamos oldalakonδtalatt befelé haladó hőáram közelítőleg
k(x+δx, y)∂xu(x+δx, y, t)−k(x, y)∂xu(x, y, t) δyδt≈
≈∂x k(x, y)∂xu(x, y, t) δxδyδt, azy tengellyel párhuzamos oldalakon pedig
k(x, y+δy)∂yu(x, y+δy, t)−k(x, y)∂yu(x, y, t) δxδt≈
≈∂y k(x, y)∂yu(x, y, t) δyδxδt, így összességében a peremen közelítőleg
δQ1= ∂x k(x, y)∂xu(x, y, t)
+∂y k(x, y)∂xu(x, y, t)
δxδyδt=
= div k(x, y) gradu(x, y, t) δxδyδt
52 5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete
δx δy
(x, y)
(x+δx, y+δy)
−(k∂xu)|(x+δx,y,t)δyδt (k∂xu)|(x,y,t)δyδt
−(k∂yu)|(x,y+δy,t)δxδt
(k∂yu)|(x,y,t)δxδt
5.5. ábra. Kifelé haladó hőáram téglalaptartományon
hőmennyiség áramlik befelé δt idő alatt. Tegyük fel, hogy a lemezen lévő hőforrások és nyelők intenzitását F(x, y, t) sűrűségfüggvénnyel írhatjuk le, vagyisδtidő alatt azN végtelen kicsiny négyzettartományon közelítőleg
δQ2=F(x, y, t)δxδyδt
hőmennyiség keletkezik hőforrások és nyelők útján. A téglalaponδtidő alatt a hőmérséklet-változás közelítőleg
u(x, y, t+δt)−u(x, y, t)≈∂tu(x, y, t)δt, amelyhez
δQ3=c(x, y)%(x, y)δxδy∂tu(x, y, t)δt
hőmennyiség szükséges, aholca lemez fajhője és%a sűrűsége az(x, y) pont-ban. Ekkor
δQ3=δQ1+δQ2, azaz
c(x, y)%(x, y)δxδy∂tu(x, y, t)δt≈
≈div k(x, y) gradu(x, y, t)
δxδyδt+F(x, y, t)δxδyδt, ahonnan aδx, δyésδtmennyiségekkel való osztás után a
c(x, y)%(x, y)∂tu(x, y, t)−div k(x, y) grad(u(x, y, t)
=F(x, y, t) egyenletet nyerjük, amely akétdimenziós hővezetés egyenlete inhomogén közeg esetén, forrástag jelenléte mellett. Hac, %, kállandók, akkor a
∂tu(x, y, t)− k
c%∆u(x, y, t) =F(x, y, t) c% ,
5.2. A hővezetés matematikai leírása 53 kétdimenziós hővezetési egyenletet nyerjük, ahol
∆u(x, y, t) =∂x2u(x, y, t) +∂y2u(x, y, t)
a kétdimenziósLaplace-operátor (amelybe atváltozót nem értjük bele).
Hasonló módon nyerhető a háromdimenziós hővezetési egyenlet. AzΩ⊂R3 tartományban elhelyezkedőinhomogén közegben végbemenő háromdimenziós hővezetést forrástag esetén az alábbi egyenlet írja le :
c(x)%(x)∂tu(x, t)−div k(x) grad(u(x, t)
=F(x, t).
Amennyibenc, %, k állandó mennyiségek, akkor a
∂tu(x, t)− k
c%∆u(x, t) = F(x, t) c% , háromdimenziós hővezetési egyenletet nyerjük, ahol
∆u(x, t) :=
3
X
j=1
∂j2u(x, t)
a háromdimenziósLaplace-operátor (amelybe a tváltozót nem értjük bele).
Megemlítjük, hogy az előbbiek mintájára tetszőleges npozitív egész esetén értelmezhető az n-dimenziós hővezetési egyenlet (közvetlen fizikai tartalom nélkül).
Mellékfeltételek
Vizsgáljuk most meg, hogy az egydimenziós esetben ismertetett különböző mellékfeltételek hogyan adhatók meg azΩkorlátos tartományban végbemenő hővezetés esetében.
• Kezdeti feltétel. Megadjuk a rúd kezdeti hőmérséklet-eloszlását, azaz u(x,0) =ϕ(x) (x∈Ω),
aholϕ: Ω→Radott függvény.
• Első peremfeltétel. A tartomány peremének hőmérsékletét szabályoz-zuk, vagyis
u|∂Ω=χ, aholχ: ∂Ω×R+0→Radott függvény
54 5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete
• Második peremfeltétel. Ha a peremen hőáramlás megy végbe, akkor meg-adhatjuk a (befelé vagy kifelé haladó) hőáramot, azaz
∂νu|∂Ω=χ (t≥0), aholχ: ∂Ω×R+0→Radott függvény.
• Harmadik peremfeltétel. Ha a peremen hőcsere megy végbe a közeggel, akkor
α(∂νu)|∂Ω+βu|∂Ω=χ
alakú peremfeltételt adhatunk meg, aholα, β, χ:∂Ω×R+0→Radott függvények.
A hővezetés (homogén vagy inhomogén) egyenletéhez hozzávéve a kezdeti feltételt, valamint az első, második, harmadik peremfeltétel valamelyikét a hővezetési egyenletre vonatkozó vegyes feladatot kapjuk a
Q:= Ω×R+
((n+ 1)-dimenziós) végtelen henger lezártján, lásd az 5.6. ábrát.
AmennyibenΩ =Rn, akkor nincs szükség peremfeltételre csak az u(x,0) =
=ϕ(x) (x∈ Rn) kezdeti feltételre, ekkor a hővezetési egyenletre vonatkozó kezdetiérték-feladatról vagy más névenCauchy-feladatról beszélünk.
E feladatokat matematikailag akkor fogalmaztuk meg pontosan, ha megadjuk azt a teret is, amelyben a megoldásokat keressük. A hővezetési egyenletre vonatkozó vegyes feladatnak első peremfeltétel esetén kereshetjük például u∈ C2(Q), vagy akár u∈ C2(Q)×C1(Q) megoldásait, vagy esetleg olyan u∈ C1(Q)×C(Q) megoldásait, amelyre ∂j2u ∈ C(Q) (j = 1, . . . , n). Azt, hogy valójában mely terek választása esetén lesznek korrekt kitűzésűek a fenti feladatok, a későbbi fejezetekben vizsgáljuk meg.
5.3. Megjegyzés. A hővezetési egyenletet szokás diffúziós egyenletnek is ne-vezni, mert ugyanez az egyenlet írja le adiffúziófolyamatát. Ekkoru(x, t)az anyag koncentrációját jelenti azxpontban éstidőpillanatban. Ebben az eset-ben a levezetéskor Fourier törvénye helyett Fick törvényét kell alkalmaznunk a koncentráció változására, amely ugyanúgy szól, csak a hőmérséklet szót kon-centrációra kell cserélnünk. A törvényt először Adolf Eugen Fick (1829–1901) német fizikus írta le, innen kapta a nevét.
5.2.3. Stacionárius hővezetés
A hővezetés folyamata során előfordulhat, hogy a hőmérséklet-eloszlás idő-ben állandó, gondoljunk például arra, amikor a szoba hőmérséklete egy idő után nem változik. Ekkorstacionárius hővezetésről beszélünk. Mivel azu hő-mérséklet időben konstans, ezért a hővezetés egyenletében∂tu= 0, így azt
5.2. A hővezetés matematikai leírása 55
Rn t
Ω
Q u(x, t) =χ(x, t)
u(x,0) =ϕ(x)
∂tu−∂x2u=f
5.6. ábra. Vegyes feladatndimenzióban
kapjuk, hogy az u hőmérséklet-eloszlás, amely időtől független, kielégíti az alábbi egyenletet :
−div k(x, y) gradu(x, y)
=F(x, y) ((x, y)∈Ω).
Ebbőlk= 1állandó esetén a
−∆u=F
n-dimenziós Poisson-egyenletet nyerjük. (Számos könyvben a negatív elő-jeltől eltekintenek, mi azonban lényegesnek érezzük, többek között a fizikai tartalom miatt is.) Amennyiben F = 0, vagyis a tartományban nincsenek források és nyelők, akkork= 1eseténLaplace-egyenletről beszélünk :
−∆u= 0.
(Világos, hogy a mínusz előjelnek a Laplace-egyenlet esetében nincs
(Világos, hogy a mínusz előjelnek a Laplace-egyenlet esetében nincs