II. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek 27
5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete 45
5.3. A hullámmozgás matematikai leírása
5.3.1. Az egydimenziós hullámegyenlet
ε2ϕ(ε)dε.
Láthatjuk tehát, hogy a részecskék sűrűségfüggvénye kielégíti az egydimenzi-ós hővezetési egyenletet. Természetesen a fenti levezetés heurisztikus, azonban a mai modern sztochasztikus folyamatok elméletének kiindulópontja.
5.5. Történeti megjegyzés. Az 1905-ös év volt Einstein számára az Annus Mirabilis („csodák éve”), ugyanis ekkor születtek a Brown-mozgással, a fény-elektromos hatással és a speciális relativitáselmélettel, és a tömeg-energia ekvivalenciával (E =mc2) kapcsolatos eredményei. A fényelektromos hatás magyarázatáért Einstein 1921-ben megkapta a Nobel-díjat.
5.3. A hullámmozgás matematikai leírása
A hővezetés mellett egy másik, mindenki által jól ismert fizikai folyamat a hullámmozgás. Gondoljunk például egy kötélen végighaladó hullámra, vagy a megpengetett gitárhúr, vagy a dob membránja által keltett hangra, vagy a fényre, amelynek ugyancsak van hullám természete. Az alábbiakban a hul-lámmozgás egy- és többdimenziós matematikai leírását adjuk meg.
5.3.1. Az egydimenziós hullámegyenlet
Képzeljük el, hogy adott egy megfeszített húr vagy kötél, amelynek két vé-gét egy-egy gyerek fel-le mozgatja, és kíváncsiak vagyunk ekkor, hogy milyen alakot vesz fel a mozgatás közben a húr. Ehhez szükségünk van néhány fel-tételezésre. Tegyük fel, hogy a húr csak kis kitéréseket végez a függőleges síkban, és a húr hosszának változása elhanyagolható, ezáltal a húrban állan-dóT nagyságú érintőirányú feszítő erő ébred. Jellemezzük a húr pontjait az x∈Rkoordinátával, és jelöljeµa húr (konstans) lineáris sűrűségét (ami azt jelenti, hogy tetszőleges` hosszú húrdarab tömegeµ`). Legyenu(x, t)a húr xkoordinátájú pontjának az y tengely irányú (előjeles) kitérése a t időpil-lanatban (feltételeztük, hogy csak függőleges kitérése van minden pontnak).
Végül tegyük fel, hogy a húrra F(x, t) sűrűségűy tengely irányú külső erő hat, ami ismét azt jelenti, hogy tetszőleges végtelen kicsiny[x, δx]húrdarabra F δxnagyságú erő hat.
Tekintsük a húrx ésx+δxpontjai közötti δxhosszúságú végtelen kicsiny darabját, és tegyük fel, hogy az xvégpontban az érintő θ szöget zár be az xtengellyel, míg azx+δx pontban az érintő szögeθ+δθ (lásd az 5.7. áb-rát). Ekkor a húrdarabra ható erők függőleges komponenseire felírva Newton
5.3. A hullámmozgás matematikai leírása 59
T θ+δθ
T θ
x y
x x+δx F(x, t)δx
u(x, t)
5.7. ábra. Húrdarabra ható erők második törvényét
Tsin(θ+δθ)−Tsinθ+F(x, t)δx= (µδx)ay, (5.2) aholay a húrdaraby tengely irányú gyorsulása, amely a húrdarab infinitezi-mális hossza miatt közelítőleg∂t2u(x, t). Másrészt, a húr csak kis kitéréseket végez, ezértδθ kicsiny szög, így alkalmazhatók asin(δθ)≈δθ,cos(δθ)≈1és
sin(θ+δθ) = sinθcos(δθ) + cosθsin(δθ)≈sinθ+δθ közelítések, amelyekkel az (5.2) egyenlet a következőképpen alakul :
T δθ+F(x, t)δx= (µδx)∂t2u(x, t). (5.3) Vegyük még észre, hogy θ az érintő szöge, ezért tgθ =∂xu, amit xszerint deriválva az összetett függvény deriválása alapján(1/cos2θ)∂xθ=∂2xu adó-dik. Ebből ismét acos(δθ)≈1közelítést használva, illetve a∂xθderiváltat a δθ/δxkülönbségi hányadossal helyettesítve azt kapjuk, hogy δθ ≈(∂x2u)δx.
Ezzel az (5.3) egyenlet
(T δx)∂x2u+F δx= (µδx)∂t2u alakot ölti, ahonnan rendezéssel
∂t2u−T
µ∂x2u= F
µ (5.4)
adódik. Az (5.4) egyenletetegydimenziós hullámegyenletnek hívjuk, amelyet atranszverzálisan rezgő húrkis kitérései elégítenek ki. HaF = 0, vagyis nem
60 5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete hat külső erő a húrra, akkorszabad rezgésről éshomogén egyenletről, F 6= 0 esetén pedig kényszerrezgésről és inhomogén egyenletről beszélünk. Hason-ló egyenlet írja le például egy vékony rúd, vagy a levegőoszlop hosszirányú (longitudinális) rezgéseit (gondoljunk például egy orgonasíp hangjára), ekkor u(x, t)azxpont hosszirányú kitérését jelöli.
5.6. Történeti megjegyzés. Az egydimenziós hullámegyenletet először Brook Taylor (1685–1731) angol matematikus írta fel a mechanika törvényei alapján.
Taylor lényegében a következőképpen érvelt, amikor felírta a hullámegyenle-tet. Az egyensúlyi helyzetéből kitérített húr igyekszik „kiegyenesedni”, és az így létrejövő visszatérítő erő a húr görbületével arányos (minél jobban ki-térítettük, annál jobban ki akar egyenesedni). A görbület a húr alakját leíró u(x, t)függvény (xszerinti) második deriváltjának konstansszorosa, így New-ton második törvényéből kapjuk, hogy∂2tu=a∂x2u, aholaalkalmas konstans.
A Taylor-formula is Brook Taylorról van elnevezve, noha azt már James Gre-gory (1638–1675) skót matematikus korábban is ismerte.
Mellékfeltételek
Vizsgáljuk meg, hogy milyen feltételekre van szükség a húr mozgásának egy-értelmű leírásához ! Fizikai szempontból világos, hogy szükség van kezdeti és peremfeltételekre egyaránt. Ezek a következők lehetnek.
• Kezdeti feltételek. A húr mozgásának leírásához ismernünk kell a húr kezdeti alakját, azaz
u(x,0) =ϕ(x) (x∈[0, L]), továbbá a húrkezdeti sebességeloszlását is, vagyis
∂tu(x,0) =ψ(x) (x∈[0, L]).
E feltételeketkezdeti feltételeknek hívjuk.
• Peremfeltétel adott módon mozgó végek esetén. Ha a húr végei adott módon mozognak, akkor
u(0, t) =χ1(t), u(L, t) =χ2(t) (t≥0)
alakú első peremfeltételt, más néven Dirichlet-féle peremfeltételt adha-tunk meg. Ha a húr végei rögzítettek, akkor speciálisan a homogén
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 (t≥0) peremfeltételt írhatjuk elő.
5.3. A hullámmozgás matematikai leírása 61
5.8. ábra. Szabadon mozgó végű húr
y
0 δx x
T δθ T
F(0, t)δx
5.9. ábra. Végpontra ható erők
• Peremfeltétel szabad végek esetén. Tegyük fel, hogy a húr végei szaba-don mozoghatnak, de a húr továbbra is meg van feszítve. Ezt például úgy képzelhetjük el, hogy a húr végére egy (elhanyagolható tömegű) gyűrűt erősítünk, amely egy függőleges hengeren fel-le mozoghat súr-lódásmentesen (lásd az 5.8. ábrát.) Ekkor a végpontokban a feszítőerő párhuzamos az x tengellyel (különben a feszítőerő függőleges kompo-nense gyorsulást adna a húr végének), így a[0, δx]szakaszra ható erők függőleges komponenseinek összege (lásd az 5.9. ábrát)
Tsinδθ+F(0, t)δx,
és mivelδθkicsiny szög, ezért alkalmazható asinδθ≈tgδθ=∂xu(δx, t) közelítés. Ebből következően Newton második törvénye alapján
T ∂xu(δx, t) +F(0, t)δx= (µδx)∂t2u(0, x).
Itt a δx mennyiséggel 0-hoz tartva ∂xu(0, t) = 0 adódik. Az x = L szabad végpont esetén hasonló módon a−∂xu(L, t) = 0 feltételt nyer-hetjük, vagyis mindkét végén szabad húr esetén
∂xu(0, t) = 0, −∂xu(L, t) = 0 (t≥0),
alakú második peremfeltételt, más néven Neumann-féle peremfeltételt adhatunk meg.
• Peremfeltétel rugalmasan rögzített végek esetén. Képzeljük el, hogy a rúd végein a rögzítés Hooke törvénye alapján a kitéréssel arányos, azzal ellenkező irányú erővel hat (amit úgy képzelhetünk el, hogy a húr végét rugókhoz rögzítjük). Ekkor a szabad vég esetéhez képest azx= 0 vég-pontban megjelenik a −ku(0, t)nagyságú erő is, így Newton második
62 5. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete
5.10. ábra. Rugalmasan rögzített húr
x y
u(0, t)
0 δx
T δθ
ku(0, t) T
F(x, t)δx
5.11. ábra. Végpontra ható erők törvénye szerint
T ∂xu(δx, t)−ku(0, t) +F(0, t)δx= (µδx)∂2tu(0, x),
ahonnan δx → 0 esetén T ∂xu(0, t)−ku(0, t) = 0 adódik. Az x =
=Lvégpontban hasonló módon a −T ∂xu(0, t)−ku(0, t) = 0 feltételt nyerhetjük, vagyis mindkét végén rugalmasan rögzített húr esetén
∂xu(0, t)− k
Tu(0, t) = 0, −∂xu(L, t)− k
Tu(L, t) = 0 (t≥0), vagy általánosabban
α1∂xu(0, t)+β1u(0, t) =χ(t), α2∂xu(L, t)+β2u(L, t) =χ2(t) (t≥0) alakú harmadik peremfeltételt, más néven Robin-féle peremfeltételt ír-hatunk elő.
A hullámegyenlethez a kezdeti feltételeket és a peremfeltételek valamelyikét hozzávéve az egydimenziós hullámegyenletre vonatkozó vegyes feladatot ka-punk aQ:= (0, L)×R+ végtelen téglalap (kétdimenziós henger) lezártján, lásd az 5.12. ábrát.
Gyakran előfordul, hogy a húr végpontjainak hatásaitól eltekinthetünk, más szóval a húr „végtelen” hosszú. Ekkor peremfeltétel megadására nincs szükség, csak az
u(0, x) =ϕ(x), ∂tu(x,0) =ψ(x) (x∈R)
kezdeti feltételekre. Ilyenkor a hullámegyenletre vonatkozó kezdetiérték-fel-adatról vagyCauchy-feladatról beszélünk.
A mellékfeltételekkel nyert különböző feladatok matematikailag csak akkor vannak pontosan megfogalmazva, ha azt is megadjuk, hogy milyen térben
5.3. A hullámmozgás matematikai leírása 63
x t
0 χ1(t) =u(0, t)
L
u(L, t) =χ2(t)
u(x,0) =ϕ(x)
∂tu(x,0) =ψ(x) Q
∂t2u−∂2xu=f
5.12. ábra. Hullámegyenletre vonatkozó vegyes feladat
keressük a megoldásokat. Például az egydimenziós hullámegyenletre vonat-kozó vegyes feladatnak első peremfeltétel esetén kereshetjük a Q hengeren u∈ C2(Q), vagy akár u∈ C2(Q)×C1(Q) megoldásait, vagy esetleg olyan u∈C2(Q)×C(Q)megoldását, amelyre∂tu∈C(Q).