Az excentrumosságokra vonatkozólag találja La p l a c e a következő vonatkozást:
£ m e2 V a = constans,
minden időre nézve. A nagy tengely, mint láttuk, saeculárisan állandó, és a két előjellel bíró V a mindig positiv jellel veendő, ha az összes bolygók ugyanazon irányban keringenek a Nap körül. A bolygók tömege nagyon kicsiny, éppen ilyen jelen
leg az excentrumosság, tehát még inkább annak szintén min
dig positiv négyzete. A bolygó tömegéből, excentrumosságának négyzetéből és fél nagy tengelyének négyzetgyökéből képezett szorzatok összege tehát jelenleg tényleg kicsiny, és ezért min
dig kic&iny is fog maradni. Ha tehát az egyik bolygó ex cen
trumossága nő, akkor egy vagy több más bolygóé ugyanakkor fogyni fog. Épp úgy az sem lehetséges, hogy az összes pályák egyidőben körökké legyenek, mert akkor minden e = o volna, a mi az összeg állandó értéke mellett nem lehetséges. Ha azonban csak egyetlenegy bolygó is retrograd volna, akkor a különben csak positiv mennyiségekből alkotott összegben egy tag negatív volna és összes okoskodásunk megdőlne, mert akkor egy possitiv és a negatív in é2 la tagban e2 a végte
lenségig nőhet, és összegük mégis véges és állandó marad.
Látnivaló tehát, hogy a bolygók egyirányú mozgása minő fontos körülmény a rendszer stabilitása érdekében.
Ha a mondott összeget csak Jupiter és Saturnus, a bolygó- rendszer két leghatalmasabb tagja számára képezzük, a követ
kező számokat nyerjük:
Idő Jupiter: m 'e ,2y a' Saturnus: m " e " 2"V ;
16 000 K r. e. 0 000 001 98 0 000 006 08
840 Kr.u. 4 74 3 09
1840 „ 5 07 2 77
2840 „ 5 41 2 47
17 000 „ 7 84 011
/' m' e '2 V a '+ m " e " 2 V a' *
0*000 008 06 7 83 7 84 7 88 7 95.
A két szélső időpontban Jupiter és Saturnus illetve maximális és minimális értékét veszi fel. A táblázat mutatja tehát, hogy Jupiter és Saturnus már magában véve is nagyon közel állandó összeget ad, úgy hogy a többi bolygó ez összeget már alig
változtatja meg. Látnivaló, hogy e két hatalmas test mintegy önmagában véve egyenlíti ki a bolygórendszer háborgásait, mintegy önmagukban egyensúlyozzák egymást. Ha e két bolygó között kisebbek volnának, akkor e kis bolygók igen nagy háborgásoknak volnának alávetve. A kis bolygók általában véve nagy excentrumosságú pályákban mozognak és ezért e2 változásai aránylag kisebbek, mintha e kisebb volna.
Hogy a bolygók hajlására és csomópontjára nézve is stabilitási feltételt nyerjünk, mindenekelőtt szilárd fekvésű alapsíkra van szükségünk, melyre a pályák fekvését vonat
koztathatjuk. Ilyen síknak nem tekinthető az ekliptika, a föld
pálya síkja, mert ez folytonos változásoknak van alávetve.
A Nap aequatorsíkja megfelelne, de fekvése pontosan meg nem határozható, még perezekre sem. Maga a rendszer mecha
nikai viszonyai adnak azonban ilyen síkot, melyet LAPLACE-féle síknak szokás nevezni, s melynek létezését már Kepler is sejtette. E sík fekvése szoros kapcsolatban áll a területi se
bességekkel, a mennyiben ezen síkra vonatkozólag e sebessé
gek maximumok és minimumok. Meghatározása a következő módon eszközölhető: fektessünk a Nap középpontján át tet
szőleges síkot, pl. magát az ekliptikát, melyre a bolygók pálya
elemeit már ismerjük. Kössük össze egyenesekkel a Nap közép
pontját a bolygók csomóival, és vágjunk le a Napból kiindulva ez egyeneseken a pályahajlás tangenseivel arányos hosszúsá
gokat, melyek végpontjaira a bolygók tömegével arányos töme
geket alkalmazzunk. Az arányossági faktor a pályaparameter négyzetgyökéből és a pályahajlás cosinusából alkotott szorzat.
Ha most ezen új rendszer súlypontjához a Napból egyenest húzunk, akkor ennek hossza ugyanazon faktor szerint arányos a szilárd sík hajlásának tangensével, és iránya a szilárd sík csomópontjának irányát adja az ekliptikához képest. Vagy képletileg; ha
l m sini sin£2 Y a (l— e2) = Cj ; Sm sini cosfí V a (l— e2) = c2;
l m cosi V a (l— e 2) = c3,
a hol Cjl, c2 és c3 állandókat jelentenek, és i és Q az ekliptikára vonatkozó pályahajlás, illetve pályacsomó hosszúsága, akkor
c c
tangi0 sinfí0 = — és tangi0 cosfi0 = —
C 3 C 3
Csillagászati Földrajz. 4 3
adják a szilárd sík hajlását és csomóhosszát az ekliptikára vonatkozólag. Ha az 1800-iki ekliptikát veszszük kiindulási pontul, akkor La p l a c e számításai szerint i0 = l° 34' 36".29 és Q0 = 103° 13'45", inig a bolygók pontosabb tömegével és Nep- tunust is beleszámítva: i0 = 1° 35' 27".90 és Q0 — 106° 0' 49".0.
Ezen sík — melyhez hasonló minden, külső behatások
nak alá nem vetett mechanikai rendszerben feltalálható — mindaddig állandó, míg a bolygórendszerben csak belső erők működnek, külső önkényes beavatkozás nélkül. Miután már a legrégibb történeti feljegyzések is a mérések pontosságán belül ugyanazon értékekhez vezetnek, egyszersmind bizonyí
tékot nyertünk aziránt, hogy történeti idők lefolyása alatt bolygórendszerünk ily önkényes külső beavatkozást nem szen
vedett. Ezen állandó síkra vonatkozólag azt találja La p l a c e,
hogy _
£m V a tg2i = const; Sm Vatg i sin Q = const;
E m Vatg i cos íí ==- const,
s ezen egyenletek éppen úgy tárgyalhatok, mint az excentru- mosságra vonatkozó. A hajlások, melyek ma mind igen kicsi
nyek, e szerint mindig kicsinyek is maradnak, mert tang2i mindig positiv lévén, az összeg állandó csak úgy maradhat, ha az egyik bolygó pályahajlásának megnövekedése egy vagy több más bolygó hajtásának kisebbedésével jár. Egyszersmind a ma direct mozgású bolygók közül egyetlenegy sem válhatik retrográddá, mert ehhez szükséges volna, hogy a pálya fel
egyenesedjék és a merőleges álláson is túlmenjen. De a merő
leges állás esetében i=-=90°, tehát tangi = oo, és mivel egyetlen
egy tangi sem lehet az összeg állandó értéke mellett végtelen, ilyen átalakulás lehetetlen. Ha azonban ma akár csak egy bolygó is retrograd volna, akkor — az előbbiekhez hasonló okoskodások szerint — bármennyi bolygó is válhatnék hátra- futóvá.
A következő két egyenletre ezen okoskodás nem alkal
mazható, mert sin iá és cos iá úgy positiv, mint negativ előjelű lehet. Ennek következtében, noha e két függvény állandóan
— 1 és + 1 határok között marad, iá vég nélkül megnöveked- hetik, mert e két függvénynél az átmenet a negativ értékekbe 0 értéken át történik, nem mint a tangens esetében oc-en át.
Éppen úgy, mint a csomó hossza, a perihélium hosszú
sága is vég nélkül megnövekedhetik; mindkét mozgás termé
szetesen körmozgás lévén, már magában véve is periodikus.
Első tekintetre úgy látszanék, mintha a bolygók kerin
gési ideinek commensurabilitása is végtelenül megnövekedő háborgásokra adhatna okot. Ez esetben ugyanis két bolygó helyzete bizonyos időközök múlva egészen pontosan ismétlő
dik, s így a hatás egyoldalúlag mindig ugyanazon irányban tetszőleges nagyságig fokozódik. így pl. Jupiter és Saturnus esetében az 5|> — 2 2j. argumentum igen hosszú időn át majd
nem teljesen állandó marad, s innen e két bolygó kölcsönös háborgása nemcsak hosszú idő alatt játszódik le, hanem egy
szersmind igen tetemesre megnövekedik is. A commensura- bilitás hiányát bolygórendszerünkben tehát sokan a stabilitás biztosítékának tekintették. És e mellett tényleg bizonyítani látszanak az úgynevezett KiRKWOOD-féle hézagok és a Saturnus- gyürű oszlásai. A kis bolygók övében ugyanis éppen ott hiá
nyoznak teljesen az asteroidák, a hol keringési idejük a Jupiter keringés f, f..-n e k megfelelne. Hasonlóképen hézagos a Saturnusgyürű is mindazon helyeken, a melyeken valamely gyürűrészecske a Saturnusholdak valamelyikével kis egész számokkal pontosan összemérhető keringési idővel bírna.
A dolog tényleg Hansen kutatásai szerint egészen más
képen áll. Ha ugyanis a commensurabilitás valamikor köze
lítésben megvolt, akkor a háborgás e viszonyt legalább rövid időre tökéletessé teszi, de azután a pontos összemérhetőség körül ingalengésszerű eltérések lépnek fel. Az egyik bolygó mozgása ugyanis lassul, a másik gyorsul a kölcsönös behatás folytán, a keringési idők tehát az összemérhetőség felé köze
lednek, és ezt végül el is érik. Ekkor a háborgás eddig vál
tozó argumentuma állandóvá válik s vele együtt a háborgás maga is. Az egyik bolygó tehát még jobban lassul, a másik gyorsul s a kitérés most az összemérhetőség másik oldal felé történik. Ugyanez okból egyenlő a Hold forgási és keringési ideje egészen az alig 1 ívmásodpercznyi libratióig, s ugyanez oknál fogva végez ingaszerű mozgásokat Mercur gömbje a Naphoz húzott radiusvector körül; ezek liijában ennél is for
gási és keringési sebesség azonos volna.
Az összemérhetőség legtökéletesebb példáját a Jupiter 4 3*
rendszer szolgáltatja; ugyanis ha a2, \ls a három belső Hold közép napi mozgása, akkor
1^1 -f~ 2 (ij = 3 íx2 ,
s e viszony mindig szigorúan is állt, mert különben ingado
zások volnának észlelhetők ez állapot körül, melyek tényleg nem vehetők észre.
Möbius a stabilitási problémát illetőleg hasonló ered
ményhez jut: szerinte a bolygórendszer állandósága határtalan hosszú időre biztosítva van, ha a bolygóknak a Naptól való középtávolságai, tehát keringési idejük is, állandók; ha az excentrumosság mindig kis tört marad, s ha a térben válto
zatlan sík konstruálható, melylyel a bolygók pályái kis szöge
ket képeznek.
Az állandósági problémában azonban nem szerepelnek az üstökösök; ezek tömege a bolygóéknál is sokkal kisebb, mert valóságban teljesen mérhetetlen, de visszont mozgási irá
nyuk egészen tetszőleges, a mennyiben a directfutásúak mel
lett retrograd üstökösök is vannak. Azonkívül a legtöbb üstö
kös pályája parabola, azaz nagy tengelye végtelen nagy, úgy hogy nem illeszkednek közvetlenül a LAPLACE-féle egyenletekbe.
Mindazonáltal a stabilitást éppen roppant kis tömegük folytán nem dönthetik meg beláthatóan hosszú idők alatt. Eredetileg ugyanis minden üstökös párából ás pályában közeledik a vég
telenségből a Nap felé, és ugyancsak a végtelen űrbe visszatér, ha a bolygórendszeren belül való tartózkodása alatt tetemes háborgást nem szenved. Ha ellenben ez utóbbi eset előfordul, akkor az eredetileg parabolikus pálya könnyen átváltozik elliptikussá, azaz az üstökös ekkor a rendszer állandó tagjává válik. Ezen átváltozás természetesen annál valószínűbb, minél hosszabban tartózkodik az üstökös a rendszer terén belül, tehát minél kisebb pályájának hajtása az ekliptika felé. Innen magya
rázható, hogy a periodikus vagy elliptikus üstökösök, azaz a naprendszerhez állandóan tartozók, majdnem kivétel nélkül kis hajlásokkal bírnak.
Az eddig mondottak azonban a bolygórendszernek csak mechanikai stabilitására vonatkoznak, mely kedvező elintézés után is még mindig kételyeket hagy rendszerünk jövője iránt.
A kérdés teljes megoldására szükségünk van azon energia
tanulm ányozására is, mely a rendszerben nem csak mint töm eg
mozgás, hanem mint láthatatlan m ozgás is jelen van, s ez a hő. A hö mechanikai elmélete két tételt szolgáltat, m elyekkel a kérdés megoldható, s ezek Clausius foglalatjában a követ
kező módon fejezhetők ki: A világegyetem energiája állandó, és a világegyetem entrópiája m aximum felé tör.
Az első tétel szerint az összes úgy látható, mint láthatat
lan mozgások energiája együttvéve állandó ; ha tehát külön
ben változatlan körülmények között egy tömeg mozgását liir- telenül inegsemmisítenok is, akkor az e mozgásnak megfelelő energia nem vész el, hanem helyette ugyanakkora energiának megfelelő hőmennyiség lép fel. Az entrópia elnevezés azon arányt fejezi ki, melyben látható tömegmozgás hővé alakul.
A természetben ugyanis kivétel nélkül azt tapasztaljuk, hogy az összes mozgások (súrlódás, ellentállás s hasonlók folytán) maguktól is hővé alakulnak, ellenben soha nem alakul hő magától munkává; erre mindig szükséges, hogy valami más compensatio történjék, hogy pl. meleg a melegebb testből hidegebb testbe menjen át, mint az a gőzgépben történik.
Clausius ezen második tétele tehát azt mondja, hogy a ter
mészetben lévő összes mozgások idővel hőmozgássá fognak átalakulni, és a végállapot e szerint az, hogy a világűr min
den pontjában ugyanazon hőmérséklet uralkodik. Mihelyt ez fellépett, minden látható tömegmozgás véget ért. A hőmérsék
letnek mindenütt egyenlő értéke tehát a világrendszer igazi vége.
Egynéhány reánk nézve fontossággal bíró háborgással mi is közelebbről foglalkozunk: a praecessióval és tengerjárással, mely már azért is fontos, mert alkalmas tárgyalása némi be
tekintést enged a Föld belső szerkezetébe.