4. Mozgó közeg nyugvó-ekvivalens modellje 79
4.2. Elektrodinamikai törvények transzformációja
A Maxwell-egyenletek és a bel˝olük levezethet˝o további összefüggések kovariánsak a Lorentz-transzformációra, amely Einstein speciális relativitáselmélete szerint az egymáshoz képest moz-góK ésK0inerciarendszerek között teremt kapcsolatot [59]. Az ún. sztenderd elrendezésre (lásd
(a) (b) S12
V1
V1 V2
V2
ε1,µ1,σ1 ε2,µ2,σ2
v n
x x′ y
y′
K
K′
v
4.1. ábra. (a) A modell vizsgálatához használt inerciarendszerek:K a „nyugvó”,K0pedig a
„mozgó” objektumhoz rögzített koordináta-rendszer. (b) Stacionárius relatív mozgást végz˝o közegek határfelülete.
4.1/a. ábra) vonatkozó koordinátatranszformáció a következ˝o:
x0=γ(x−v t), y0=y, z0=z, t0=γ Ã
t− v c02x
!
, ahol γ= 1
q1−v2± c20
. (4.1)
A kifejezésekben (x,y,z,t) és (x0,y0,z0,t0) ugyanazon elemi esemény hely- és id˝okoordinátái a K, illetve a K0 koordináta-rendszerben, v aK0 rendszer sebessége aK-ból nézve, c0 pedig a vákuumbeli fénysebesség.
Ennél általánosabb mozgások is tárgyalhatók a speciális relativitáselmélet keretei között – habár közelít˝o jelleggel – a pillanatnyi nyugalmi rendszer fogalmán keresztül [59]: ha a test vagy közeg mozgásátK-ban av=v(x,y,z,t)sebességtérjellemzi, akkor annak bármelyP(x,y,z) pontjához tetsz˝olegestid˝opontban hozzárendelhet˝o egy olyanK0(x,y,z,t) lokális inerciarend-szer, amelynek sebességev. Ez a közelítés „hétköznapi”, azaz nem relativisztikus nagyságú se-bességek, illetve moderált gyorsulások mellett megfelel˝o pontosságú [111].
A gyakorlatban felmerül˝o elektromágneses térszámítási feladatok túlnyomó részét elegen-d˝o av ¿c0ún.nemrelativisztikushatáresetben megoldani. Egyéb esetekben természetesen a relativisztikus összefüggések használhatók. Van azonban a jelenségeknek egy viszonylag széles köre, amelyet érdemes egy számítástechnikailag egyszer˝ubb, köztes közelítésben tárgyalni: ez az ún.kvázirelativisztikusközelítés, amely av2¿c20, dev 6¿c0feltevésen alapul. A dolgozatban ez utóbbit tartjuk szem el˝ott.
4.2.1. Maxwell-egyenletek vákuumban
A négy Maxwell-egyenlet vákuumbeli avagy „mikroszkopikus” alakja egyK rendszerben:
∇ ×B= 1 c02
∂E
∂t +µ0J (4.2)
∇ ×E=−∂B
∂t (4.3)
∇ ·B= 0 (4.4)
∇ ·E= ρ
ε0 (4.5)
Aρ, J, E ésB mennyiségek páronkéntnégyesvektorrá, illetve -tenzorrá vonhatók össze, ame-lyekkel a (4.2)-(4.5) egyenletek egyszer˝ubb alakban írhatók. Mi azonban továbbra is a fenti ún.
hármasalakot használjuk, mivel az jobban illeszkedik a mérnöki numerikus térszámítás jelen-legi eszköztárához.
A relativitáselmélet értelmében a Maxwell-egyenletek aK0rendszerben is pontosan ugyan-ilyen alakúak. Tekintettel erre, a (4.1) Lorentz-transzformáció segítségével levezethet˝ok aK, il-letveK0rendszerben nyugalomban lév˝o megfigyel˝ok által mért térer˝osség- és indukciókompo-nensek közötti összefüggések (lásd pl. [100]). A sztenderd elrendezésre érvényes alakjuk:
Ex0 =Ex Bx0 =Bx J0x=γ(Jx−vρ) ρ0=γ³ ρ− v
c2Jx
´ E0y=γ(Ey−vBz) B0y=γ
³By+ v c2Ez´
J0y=Jy (4.6)
Ez0=γ(Ez+vBy) Bz0 =γ³ Bz− v
c2Ey
´ Jz0 =Jz
4.2.2. Maxwell-egyenletek közegben, konstitúciós egyenletek
A közegbeli elektromágneses jelenségek egyszer˝ubb leírására bevezetjük az elektromos eltolás D, valamint a mágneses térer˝osségH vektorát a
D=ε0E+P, H= 1
µ0B−M (4.7)
összefüggésekkel, amelyekben aP polarizációvektor a közegbeli ún.kötötttöltések, míg azM mágnesezettség a kötött áramokstatisztikaihatását írja le.2Ezekkel a Maxwell-egyenletek
kö-2A klasszikus elektrodinamikában lényegében ezzel a hatással definiáljuk magát a közeget.
zegbeli avagy „makroszkopikus” alakja:
∇ ×H=Jf+∂D
∂t (4.8)
∇ ×E=−∂B
∂t (4.9)
∇ ·B= 0 (4.10)
∇ ·D=ρf (4.11)
Jf ésρf az ún. szabad áram-, illetve töltéss˝ur˝uség (a továbbiakban az „f” jelölést elhagyjuk).
Feltéve, hogy a (4.8)-(4.11) alak is Lorentz-kovariáns, belátható, hogy aK →K0transzformáció aDésH vektorok esetében az alábbi megfeleltetésekre vezet:
D0x=Dx Hx0 =Hx D0y=γ³
Dy− v c2Hz
´ H0y=γ(Hy+vDz) (4.12)
D0z=γ³ Dz+ v
c2Hy
´ Hz0=γ(Hz−vDy)
A (4.8)-(4.11) Maxwell-egyenletek megoldásához – a bevezetett új térmennyiségek miatt – to-vábbi egyenletek szükségesek, amelyek vagy közvetlenül aPésMvektormez˝oket, vagy aD(E,B) ésH(E,B) függvényeket (karakterisztikákat) adják meg. Az egységes kezelés érdekében – har-madikként – ide soroljuk még a vezet˝oképes közegre vonatkozóJ(E,B) karakterisztikát, az ún.
„differenciális” Ohm-törvényt. Ezek a konstitúciós egyenletek, amelyek általános alakja (1.5).
A gyakorlatban el˝oforduló közegek többségében az említett karakterisztikák lineárisnak te-kinthet˝ok, és a bennük szerepl˝o arányossági tényez˝ok (anyagparaméterek) mérhet˝ok; ezáltal mell˝ozhet˝o P és M, illetve azok anyagszerkezeti háttere. A továbbiakban lineáris, izotrop, és beiktatott forrást nem tartalmazó közegre szorítkozunk,3melynek konstitúciós egyenletei a kö-zeghez „rögzített”, vele együtt mozgóK0inerciarendszerben:
D0=εE0, H0= 1
µB0, J0=σE0. (4.13)
Ittε=ε0εra közeg permittivitása,µ=µ0µra permeabilitása (ε0,µ0a vákuumbeli, mígεr,µra közegre jellemz˝o relatív értékek),σpedig a fajlagos vezet˝oképessége.
Ha a (4.13) egyenleteket komponensekre bontjuk, majd alkalmazzuk a (4.6) és (4.12) transz-formációs képleteket, megkapjuk a közeghez képest egyenletes,−vsebességgel mozgóK rend-szerbeli összefüggéseket. Az így adódó „teljesen” relativisztikus alakot itt nem közöljük, de meg-találhatók pl. a [111] m˝uben. A gyakorlati fontosságú,kvázirelativisztikusközelítésben a kom-ponensenként kapott összefüggések praktikus, vektoriális formában írhatók; ezek az ún.
Min-3A tárgyalás anizotrop, s˝ot bi-anizotrop közegekre is kiterjeszthet˝o [106], ezzel azonban itt nem foglalkozunk.
kowski-egyenletek, amelyeknek több ekvivalens alakja ismert [57, 91, 111]:
Megfigyelhet˝o, hogy a (4.13)-tól eltér˝oen ez utóbbiak már nem tisztán elektromos, illetve mág-neses természet˝uek, hanem magneto-elektromos csatolást, ún. kereszteffektusokat is tartal-maznak.
Amint a bevezet˝oben utaltunk rá, a leggyakrabban el˝oforduló problématípus a mozgó veze-t˝okkel, pontosabban a mozgási indukcióval kapcsolatos; ehhez lényegében csak a (4.16) össze-függésre van szükség, ráadásul többnyire a töltést tartalmazó konvektív áramtag nélkül. A rit-kábban használt (4.14) és (4.15) karakterisztitkák alkalmazására két példa a Wilson&Wilson kí-sérlet [57] és a nagy sebesség˝u plazma elektrodinamikája [106].
4.2.3. Közeghatár-egyenletek
Tekintsük a szomszédosV1ésV2 tartományokat, melyeket azS12 felület határol el egymástól (4.1/b. ábra). A tartományokat különböz˝o közegek töltik ki, amelyek anyagjellemz˝oiε1,µ1,σ1, illetveε2,µ2,σ2. Azt vizsgáljuk, hogy a határfelület egy pontjában az elektromágneses tér mi-lyen folytonossági feltételeknek tesz eleget. Ehhez el˝oször olyanK0inerciarendszert választunk, amelyben a vizsgált pont nyugalomban van, és egyel˝ore feltesszük, hogy maguk a közegek sem mozognak. Ekkor a térvektorok folytonossági (ugrási) feltételeinek jól ismert alakja [98]:
£n0×E0¤
Az egyenletekbenJ0sésρ0sa felületi áram-, illetve töltéss˝ur˝uséget jelöli,n0a felület normálvekto-ra,£
·¤
pedig az adott mennyiség ugrása azS12felületen, aV1→V2irányban. Ezt kiegészíthetjük az árams˝ur˝uségre vonatkozó, stacionárius esetben érvényes feltétellel, amely a töltésmegmara-dás és (4.20) együttes következménye:
£n0·J0¤
= 0. (4.21)
Ha ugyanezeket aK0-höz képest−vsebességgel mozgóK rendszerb˝ol szemléljük, akkor a (4.6) és (4.12) transzformációk felhasználásával a következ˝o alakra jutunk (a levezetés megtalálható
többek között a [111] m˝uben):
£n×E¤
= (n·v)£ B¤
(4.22)
£n·B¤
= 0 (4.23)
£n×H¤
=Js−(n·v)£ D¤
(4.24)
£n·D¤
=ρs (4.25)
Ne feledjük, hogy a transzformáció során csupán a koordináta-rendszer váltásából ered˝o, „lát-szólagos” mozgásra voltunk tekintettel. A gyakorlati alkalmazás szempontjából azonban alap-vet˝o kérdés, hogy érvényben maradnak-e a (4.22)-(4.25) feltételek, ha a közegek egymáshoz ké-pest „valódi” mozgásban is vannak. Gyakorta valamely tárgy vákuum-, vagy leveg˝obeli moz-gásáról van szó. Ebben az esetben a kérdéses határfeltételek nyilvánvalóan teljesülnek, mivel a tárgyhoz rögzítettK0rendszerb˝ol nézve a „mozgó” vákuum, illetve leveg˝o elektromágneses jellemz˝oi azonosak a nyugvóéval, és a K0-ben érvényes (4.17)-(4.20) alakból már következik a (4.22)-(4.25) transzformált alak.
Mélyebb megfontolást igényel, ha egyik közeg se vákuum vagy leveg˝o. Gyakorlati relevan-ciája a közeghatárralpárhuzamosrelatív mozgásnak van; alkalmazásként említhetjük a csúszó érintkez˝oket, vagy az elektromágneses ágyút (railgun). A (4.22)-(4.25) feltételek érvényessége ez esetben úgy látható be, hogy azok rendre a (4.8)-(4.11) Maxwell-egyenletek valamelyikéb˝ol vezethet˝ok le, ahol egyrészt nem jelennek meg a konstitúciós egyenletek, másrészt csak a ha-tárfelületremer˝olegessebességkomponens (n·v) számít [111]. A kérdést részletesen tárgyalja, s˝ot méréssel is alátámasztja [94].
Számunkra a fentiek legfontosabb következménye az, hogy ha két közeg egymáshoz képest stacionárius mozgást végez, akkor bármelyikhez rögzítsük is koordináta-rendszerünket, abban n·v= 0 miatt a (4.22)-(4.25) folytonossági feltételek a (4.17)-(4.20) nyugalmi alakba mennek át.