Egyszerű konvex halmazok

Az előző szakaszból látható, hogy egy, az X halmaz valószínűségének meghatározására a gyakorlatban használható algoritmus előállítható akkor, ha rendelkezésünkre áll a λL, λU

értékek meghatározását elvégző „ jó” eljárás, vagyis viszonylag egyszerű lépésekből álló, gyorsan kiszámítható eljárás. Ebben a részben ilyen algoritmusokat adunk meg néhány egyszerű konvex halmazra: lineáris egyenlőtlenségekkel meghatározott poliéder, hiperel-lipszoid és körkúp esetén. De nemcsak konvex halmazokra alkalmazható az általános elgondolás; például csillag alakú halmazok ([Loh 93]), vagy invertálható függvények segít-ségével megadott határokkal rendelkező halmazok valószínűsége szintén kiszámítható.

Nem-konvex halmazok valószínűsége is meghatározható, ha egy egyenesnek az X hal-mazba eső részéhez tartozó valószínűségi tartalom megadható (ha például az X halmaz X = Q₁ ∪Q₂, Q₁ ∩Q₂ = ∅ formában dekomponálható, ahol Q₁, Q₂ a fentebb felsorolt konvex halmazok valamelyike).

A H = {x| x≤ h} halmaz valószínűségének meghatározásához (az eloszlásfüggvény értékének kiszámításához) a szükséges részleteket [De 80a] tartalmazza, a Q = {x| a ≤ x ≤ b} téglatesttel foglalkoztunk a [De 86b] cikkben. Az alábbiakban megmutatjuk, hogyan lehet λ_L, λ_U értékeket kiszámítani általános poliéder, hiperellipszoid és körkúp esetén.

3.3.1. Konvex poliéderek

Tekintsük véges számú lineáris egyenlőtlenség által adott félterek közös részét, vagyis tegyük fel, hogy a poliédert

X ={x|Ax≤b} (3.17)

határozza meg, valamilyen adottA,besetén. Feltesszük, hogyX nem üres és nem elfajult (van a halmaznak belső pontja). Ennek megfelelően egy adottzvektorra a keresettλ_L, λ_U értékek úgy adhatók meg, mint a következő szélsőértékek értékei:

λ_L= min {λ|A(λz)≤b}, (3.18)

λU = max {λ|A(λz)≤b},

ha a λz egyenes elmetszi az X halmazt. Vezessük be a d = Az jelölést és egyszerűség kedvéért ad vektor zéró komponenseit helyettesítsük azε ∼10⁻¹⁰ értékkel. Definiáljunk két indexhalmazt, legyen I+ = {i | di > 0, i = 1, . . . , n}, I− = {i | di < 0, i = 1, . . . , n}.

Ekkor a megfelelő szélsőértékek:

λ_L= max{b_i/d_i |i∈I−}, (3.19) λ_U = min{b_i/d_i |i∈I₊}.

Ha a λAz ≤b feladatnak nincs megengedett megoldása (vagyis λL > λU), akkor legyen λ_L=λ_U = 0.

A d = Az vektorok meghatározásánál – elkerülendő a mátrixszorzásokat minden z esetén – a következő módosítást kell alkalmazni a végső algoritmusban. Az vektort mint két U-beli vektor v^i,j,s = ^√1

2(s₁uⁱ+s₂u^j) összegének transzformáltját kapjuk. Ezért a z=Tv=Tv^i,j,s= ^√1

2(s₁Tuⁱ+s₂Tu^j), tehát azAzszorzat meghatározásához definiáljuk a B =AT mátrixot és ezzel kapjuk a d^i,j,s =Az^i,j,s = ^√1₂(s1Buⁱ +s2Bu^j)egyenlőséget.

Így amikor egy U rendszert generálunk, akkor azonnal kiszámítjuk a uⁱ = Buⁱ/√ 2, i = 1, . . . , nvektorokat. Ezek után a d^i,j,svektorok meghatározása már csak azuⁱ =Buⁱ/√

2 vektorok összeadását (kivonását) igényli (az összegnek az1/√

2 értékkel való normálását is a uⁱ vektorokra végezzük, hogy a számítási időt csökkentsük). Ennek alapján megint csakndarabB =AT-vel való mátrixszorzásra van szükségünk aT és az Amátrixszokkal valón(n−1)mátrixszal való szorzás helyett (ami a durva becslés esetében szükséges lenne).

O₂ algoritmus (poliéder, egy U rendszer esetén).

1. Generáljuk az U ={uⁱ} rendszert és számítsuk ki az uⁱ =Buⁱ/√ 2, i= 1, . . . , n vektorokat.

2. Legyen Sum= 0.

3. Határozzuk meg az összes lehetséges d=d^i,j,s =s1uⁱ+s2u^j,

(i, j,s)∈J^∗ vektort és mindegyik d esetén végezzük el a következő lépést.

4. Kezdet (a valószínűségi tartalom e(d) függvényének meghatározása) a 3.2 szakaszban leírtakhoz hasonlóan járunk el

vége (az e(d) függvény kiszámításának).

5. Adjuk át a p=Sum/[2n(n−1)] értéket.

Ennek az általános poliéderre vonatkozó algoritmusnak speciális esete az, amikor a Φ(h) eloszlásfüggvény értékének kiszámítását, vagy egy téglatest valószínűségét akar-juk meghatározni. Természetesen a téglatestek valószínűségének (vagy eloszlásfüggvény értékének) meghatározására kifejlesztett eljárás valamivel gyorsabb, mint az itt leírt ál-talános módszer (lásd [De 86b], [De 98c]), hiszen a belépési és kilépési állandók egysz-erűbben számíthatók. Megjegyezzük még, hogy a fenti módon végezhető egy polihedrikus kúp esetén aλL, λU konstansok meghatározása is, hiszen az is a fenti formájú egyenlőtlen-ségekkel van megadva.

3.3.2. Hiperellipszoid

Tekintsünk egy B pozitív definit szimmetrikus mátrixot. Ekkor egy c középpontú, r sugarú nemdegeneráltn-dimenziósE ellipszoidot adhatunk meg a következő definícióval:

E ={x|(x−c)⁰B(x−c)≤r²}.

A λz egyenes akkor metszi el az E hiperellipszoidot, ha a (λz−c)⁰B(λz−c) = r²

egyenletnek két különbözőλ₁, λ₂ gyöke van. Ezeket a lehetséges gyököket az alábbi egyen-let megoldásával lehet megtalálni:

αλ²+βλ+γ = 0, (3.20)

ahol azα, β, γ együtthatókat az előző egyenletből lehet meghatározni:

α = z⁰Bz,

β = −2z⁰Bc, (3.21)

γ = c⁰Bc−r².

Jelölje a kisebbik gyököt λ_L, a nagyobbik pedig legyen λ_U. Ha a 4(z⁰Bc)² −4(c⁰Bc− r²)(z⁰Bz) < 0 egyenlőtlenség fennáll, akkor nincs megoldás, vagyis a λz egyenes nem metszi el a hiperellipszoidot. Egyetlen gyök létezése azt jelenti, hogy az egyenes csak érinti az E ellipszoidot.

Aγértékét csak egyszer kell kiszámítani. A szükséges számítások mennyiségét csökken-tendő nem közvetlenül számítjuk ki minden egyeszvektorra azα, β együtthatókat, hanem egy külön eljárást adunk. Az O₂ becslésnek tetszőleges z vektorra való alkalmazása es-etén z = Tv^i,j,s = ^√1

2(s₁Tuⁱ+s₂Tu^j) egyenlőség áll fenn. A B mátrix felbontható egy T_B felső háromszög mátrix segítségével B = T_BT_B⁰ alakban, ekkor a C = T_B⁰ T jelölést bevezetve egy rögzítetti, j,s index hármasra kapjuk, hogy

z⁰Bz= 1

Azαegyütthatónak ez a formája az⁰Bzkifejezés kiszámításának a következő, számítástech-nikailag előnyös módját sugallja: előre számítsuk ki az uⁱ = Cuⁱ, i = 1, . . . , n, rij = uⁱ⁰u^j, i, j = 1, . . . , n, i < j értékeket és utána a z⁰Rz mennyiséget egyszerűen skalárok összeadásával határozzuk meg:

α=z⁰Bz=s₁s₁r_ii+ 2s₁s₂r_ij +s₂s₂r_jj.

A (3.20) másodfokú egyenlet lineáris tagjának β együtthatójára vonatkozóan pedig a következő kifejezést állíthatjuk elő: értéke szintén skalárok összeadásával kapható meg:

β =−2z⁰Bc=−2(s₁d⁰uⁱ+s₂d⁰u^j) =−2 s₁ubⁱ+s₂bu^j .

A szükséges műveletek száma a következőképpen határozható meg: egy U rendszer (vagyis az O₂ becslésben használt n(n −1) különböző egyenes) esetén a Cuⁱ értékek kiszámításához csak n darab mátrixszorzásra, az r_ij értékek kiszámításához n(n−1)/2 skalárszorzathoz, valamint az d⁰uⁱ kiszámításához n darab skalárszorzatra van szükség – természetesen valamennyi összeadás és némi előkészítés is szükséges (például a d = T⁰Bc, C =T_B⁰T értékek kiszámítása).

O₂ algoritmus (hiperellipszoid, egy U rendszer).

0. Határozzuk meg a γ =c⁰Bc−r² értéket.

1. Generáljuk az U ={uⁱ} rendszert és számítsuk ki az uⁱ =Cuⁱ,

i= 1, . . . , n, r_ij =uⁱ⁰u^j, i, j = 1, . . . , n, i≤j,ubⁱ =d⁰uⁱ, i= 1, . . . , n értékeket.

2. Legyen Sum= 0.

3. Határozzuk meg az összes lehetséges z=Tv^i,j,s,(i, j,s)∈J^∗ vektort és mindegyik z vektorra végezzük el a következő lépést.

4. Kezdet (az e(z) függvény kiszámítása)

határozzuk meg az α, β együtthatókat, aztán a λ_L, λ_U értékeket, folytassuk a valószínűségi tartalom kiszámítását,

a 3.2 szakaszban leírt módon,

vége (az e(z) függvény értékének meghatározása)

5. Adjuk át az ellipszoid p=Sum/[2n(n−1)] valószínűségét.

3.3.3. Körkúp

Tekintsünk egyos középpontú ésr sugarú,n-dimenziós gömböt, ennek felszinét, valamint ennek egy hipersíkkal való metszetét, vagyis legyen

S ={x|(x−o_s)⁰(x−o_s) = r², n⁰(x−o_s) = 0},

ahol n a gömb középpontján átmenő hipersík normálvektora. Jegyezzük meg, hogy S egy (n − 2)-dimenziós gömbfelület az Rⁿ-ben. Egy általános C körkúpot, melynek csúcsa ac pontban van, és a felülete tartalmazza azS felületet úgy adhatunk meg, hogy a palástját a következő módon definiáljuk:

X ={y|y=µ(x−c) +c,x∈S, µ≥0}. (3.22) Egy adott, rögzített z vektor esetén a λz egyenesnek az X halmazzal való metszését a következőn+ 2 egyenlet adja meg:

µ(x−c) +c = λz, µ≥0,

n⁰(x−o_s) = 0, (3.23)

(x−o_s)⁰(x−o_s) = r²

Az első egyenletből kifejezzük azx= [λz−(1−µ)c]/µ vektort, a második sorból pedig a µ = [λn⁰z−n⁰c]/[n⁰o_s−n⁰c] értéket. Ezeket az utolsó sorba helyettesítve λ-ra egy másodfokú egyenletet kapunk:

αλ²+βλ+γ = 0, ahol (3.24)

α = [n⁰o_s−n⁰c]²z⁰z+ [c⁰c+o_s⁰o_s−2c⁰o_s−r²](n⁰z)²+ [2(n⁰o_s−n⁰c)](n⁰z)(c⁰z)−[2(n⁰o_s−n⁰c)](n⁰z)(o_s⁰z),

β = [2(n⁰c)r²+ 2(n⁰o_s+n⁰c)c⁰o_s−2(n⁰o_s)(c⁰c) + (n⁰c)(o_s⁰o_s)]n⁰z+ [−2(n⁰o_s−n⁰c)n⁰o_s]c⁰z+ [2(n⁰o_s−n⁰c)n⁰c]o_s⁰z,

γ = (n⁰o_s)²c⁰c+ (n⁰c)²o_s⁰o_s−2n⁰o_sn⁰c c⁰o_s−n⁰c n⁰cr².

Jelölje a (3.24) egyenlet két megoldását λ₁, λ₂. Ekkor µ₁ = [λ₁n⁰z−n⁰c]/[n⁰o_s−n⁰c], µ2 = [λ2n⁰z−n⁰c]/[n⁰o_s−n⁰c].

Ha a (3.24) egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenesnek és az X halmaznak nincsen metszete. Ebben az esetben legyen λ_L = λ_U = 0. Ha két különböző λ₁ és λ₂ gyöke van az egyenletnek, akkor a sugár elmetszi a kúpot, de további elemzésre van szük-ség annak eldöntésére, hogy aλzegyenesnek melyik része van a kúpon belül. Nem szabad megfeledkezni arról, hogy minden gyök esetén ellenőrizzük aµ≥0nemnegatívitást is; ha egy adottλ1 gyök esetén például a megfelelőµ1 negatív, akkor aλ1zpont a kúp „negatív”

részén van, vagyis nincsen valódi metszet – a {λz, λ ∈ [λ₂,∞]} félegyenes van a kúp-ban. A feladatban szereplő egyenes és a körkúp egymáshoz viszonyított elhelyezkedésétől (vagyis a λ₁, λ₂ gyökök értékeitől és a megfelelő µ₁, µ₂ értékek negatívitásától illetőleg

pozitívitásától) függően négy különböző esetet kell megkülönböztetnünk, ha az origó a kúpon belül van és tizenkét esetet, ha az origó a kúpon kívül van. Hasonlóképpen, ha az utolsó másodfokú egyenlet egy elsőfokúvá degenerálódik, amelynek csak egy λ₀ gyöke van egy µ0 ≥ 0 értékkel, akkor a félegyenes a kúpban van és további vizsgálat szükséges annak eldöntéséhez, hogy(−∞, λ₀] vagy pedig [λ₀,∞) van a C kúpban.

A szükséges számítástechnikai munka mennyiségét csökkentjük a következő megfontolá-sok alapján. Az α, β, γ együtthatókban szereplő skalárszorzatokat három csoportba os-zthatjuk. Az első csoport tartalmazza azokat a szorzatokat, amelyek a konstans n,c,o vektorok szorzataként jelennek meg, ezeket csak egyszer kell meghatározni. A második csoportba tartoznak ac⁰z,n⁰z,o⁰zskalárszorzatok, a harmadik csoport pedig az⁰zszorzat – ezek a z vektortól függően változnak. Megmutatjuk, hogy az O₂ becslés használata es-etén hogyan lehet a számítási munkát csökkenteni az⁰zszorzat esetén, valamint a második csoportból egy szorzat, a n⁰z kiszámítása esetén (a második csoport többi szorzata ha-sonlóképpen elintézhető).

Vezessünk be új jelöléseket, legyen uⁱ = Tuⁱ és legyen z^i,j,s = ^√1

2(s₁Tuⁱ +s₂Tu^j) ekkor ubⁱ = n⁰uⁱ, i = 1, . . . , n, r_ij = uⁱ⁰u^j, i, j = 1, . . . , n. Ezekkel a jelölésekkel a két keresett skalárszorzat felírható mint skalárok összege: n⁰z = ^√1

2(s₁buⁱ +s₂ub^j) (ugyanezt kell végrehajtani a c⁰z,o⁰z szorzatokra is) és z⁰z=s_is_ir_ii+ 2s_is_jr_ij +s_js_jr_jj.

Az előző részekben leírtakhoz hasonlóan a műveletek megfelelő csoportosításával és átrendezésével kaphatjuk a következő eljárást:

O₂ algoritmus (körkúp, egy U rendszer).

0. Számítsuk ki a n⁰c,n⁰o_s,c⁰o_s,o_s⁰o_s,c⁰c szorzatokat.

1. Generáljuk az U ={uⁱ} rendszert és utána számítsuk ki az uⁱ =Tuⁱ, ubⁱ =n⁰uⁱ, i= 1, . . . , n mennyiségeket, majd a többi skalárszorzatot is a második és harmadik csoportból, végül pedig az r_ij értékeket.

2. Legyen Sum= 0.

3. Határozzuk meg az összes lehetséges z=z^i,j,s, (i, j,s)∈J^∗ vektort, és minden egyes z vektorra végezzük el a következő lépést.

4. Kezdet (a vektor valószínűségi tartalmának meghatározása)

egy adott i, j,s indexhármas esetén határozzuk meg az α, β, γ skalárokat a következő lépések végrehajtásával: először meghatározzuk az r_ij,ub^j értékeket, majd ezek segítségével számítsuk ki a z⁰z,n⁰z, ... értékeket, majd a λ_L = min {λ|λz∈X} és a λ_U = max {λ|λz∈X} számokat

a λ₁, λ₂ gyökök segítségével, végül a µ₁, µ₂ előjelének

figyelembevételével az egyenes valószínűségét adjuk a Sum változóhoz, vége (a valószínűségi tartalom meghatározása).

5. Adjuk át a valószínűség értékeként a p=Sum/[2n(n−1)] értéket.

Az iránymenti integrálás eljárásának minden egyes z vektorra való közvetlen alka-lmazásával n(n−1) darab T(λz) mátrixszorzásra lenne szükségünk. A fentebbi

algorit-musban javasolt számítási elrendezésben csak az uⁱ = Tuⁱ mennyiségekhez szükséges n mátrixszorzást kell elvégezni, továbbábuⁱ =n⁰uⁱ mennyiségekheznskalárszorzás, valamint az r_ij = uⁱ⁰u^j mennyiségekhez szükséges n(n−1)/2 skalárszorzás kell, vagyis még egy mátrixszorzásnyi művelet.

Ha egy polihedrikus kúp nagyon sok egyenlőtlenséggel van megadva, akkor érdemes lehet két körkúpot konstruálni, amelyek közül az egyik tartalmazza a polihedrikus kúpot, a másik pedig benne van. A két körkúp segítségével korlátokat adhatunk a polihedrikus kúp valószínűségére.

In document A sztochasztikus programozás Monte Carlo módszereiről Doktori értekezés (Pldal 47-53)