4. Egydimenziós közelítések 49
4.1.2. A normális eloszlásfüggvény közelítései
Az approximáló függvények meghatározását csak az x > 0 esetre végezzük el, hiszen az x <0 esetén aΦ(−x) = 1−Φ(x) egyenlőség alkalmazható. Ebben a részben az előzőleg bevezetett t1, t2, t3 jelöléseket használjuk, de ezek csak a függvények általános formáját jelölik, a tényleges paraméterek eltérhetnek.
A fordított-logaritmikus közelítés
A t3 approximáció általában jó eredményt ad, mivel jól utánozza a normális eloszlás eloszlásfüggvényét, különösen igaz ez az eloszlás farkára. Ezt at3 közelítés néhány tulaj-donságának megadásával mutatjuk meg.
a.) Az a3 < 0 esetén a g3(x) = a3x2 +b3x+c3 függvény konkáv, monoton csökkenő x > xt =−b3/(2a3)esetén, amiből at3(x) = 1−exp(g3(x))monoton növekvő tulajdonsága következik. Vegyük észre, hogy limx→∞g3(x) = −∞, tehát limx→∞t3(x) = 1 is fennáll.
Mindkét tulajdonság – a monoton növekvés és az 1-hez való konvergencia – igaz a Φ(x) eloszlásfüggvényre is.
b.) AΦ(x)függvényφ(x)deriváltja mindig pozitív, azx >0esetén monoton csökkenő és nullához tart x → ∞-re, a konvergenciája O(e−x2). A közelítő t3 függvény hasonlóan viselkedik, mivel t03(x) = [1−eg3(x)]0 = −(2a3x+b3)eg3(x), amely szintén pozitív x > xt esetén, továbbá t03(x) tart a nullához O(xe−x2+x) sebességgel, amely (nem nagyon nagy xértékekre) majdnem azonos az eloszlásfüggvény deriváltjának viselkedésével. A log(1− Φ(x)) második deriváltja
(log(1−Φ(x)))00 =−φ(x) Φ(x)
φ(x) Φ(x) −x
,
amely negatív és 0-hoz tart O(e−x2), ha x→+∞. A t3(x) függvényre pedig t003(x) = −[(2a3x+b3)2+ 2a3]eg3(x),
ami szintén negatív, ha 2a3x +b3 > √
−2a3, vagyis ha x > (√
−2a3 −b3)/(2a3) – hiszen a3, b3 negatívak a mi esetünkben. Továbbá limx→∞t003(x) = 0 és a konvergenciára O(x2e−x2)fennáll, ami az eloszlásfüggvénynél tapasztaltaknak jól megfelel.
Tegyük fel, hogy az előző szakaszban leírtak szerint akarunk a [0, r] intervallum-ban egymástól egyenlő távolságra lévő n pontban felvett függvényértékek segítségével egy közelítést meghatározni. Természetesen az n és az r értékeitől függően a a3, b3, c3 paraméterek értékei némi ingadozást fognak mutatni. Mivel a t3(x) az általános alakja miatt növekvőx esetén jól közelít, ezért azr értékét megpróbáljuk lehetőleg kicsinek tar-tani – arra kényszerítve az approximáló függvényt, hogy az origóhoz közel is viszonylag jó közelítést adjon.
A továbbiakban megadjuk azt a három approximációt, amelyek a legjobban viselkedtek a numerikus számítások szerint és amelyeket a standard normális eloszlás eloszlásfüg-gvényének közelítésére ajánlunk.
Egy általános közelítés
Ezt az approximációt javasoljuk azon esetekben, amikor a számítások egyszerűségére van szükségünk és egy tetszőleges x esetén jó közelítést szeretnénk kapni. Az approximáló függvényt3 alakú, és a benne szereplő konstansok értéke a következő:
Φ(x) ∼ tg(x) = 1−ea3x2+b3x+c3
a3 = −0.379254 (4.7)
b3 = −0.770566 c3 = −0.694893
Ezeket a numerikus értékeket úgy kaptuk meg, hogy a [−0.05,2.2) intervallumban vettünk fel n= 225 ekvidisztans pontot (a közelítés a[0,∞) félegyenesen használható).
A közelítés legnagyobb abszolút hibája 0.87×10−3, amelyet az x = 0 pontban vesz fel. A hibafüggvény további lokális maximumai (és minimumai) a következő pontokban vannak: x = 0.25-ben a hiba = 0.73×10−3, az x = 0.96 pontban a hiba −0.59×10−3, az x = 2.13 esetén a hiba 0.72 ×10−3, ettől a ponttól kezdve a végtelen felé a hiba monoton csökken. Ezek szerint az approximáció megbízható, legalább három tizedesre pontos eredményt ad és nincs korlát azx értékére (a csonkolási pont xt∼ −1.016).
t1 t2 t3 a -0.083668 -0.253309 -0.360682 b 0.429250 0.769021 -0.784058 c 0.497643 -0.690378 -0.694043 4.1. táblázat. Az kombinált közelítés állandói.
Kombinált közelítés
Ha a számításokban valamivel nagyobb bonyolultságot is megengedhetünk, akkor használ-hatjuk ezt a közelítést – az előző általános közelítésnél tapasztaltnál tizedakkora hibát érhetünk el. A félegyenest némileg önkényesen két részre osztjuk, legyenek ezek a részek [0,0.95] és [0.95,∞), és különböző közelítéseket használunk ezen a két részen. Az első intervallumon a tc1(x)-szel jelölt approximációt, a [0.95,∞) félegyenesen pedig a tc2(x) jelű függvényt. A [0,0.95] intervallumon a három különböző fajtájú approximáció egy lineáris kombinációját használjuk (ezért nevezzük a közelítést kombináltnak):
tc1(x) = 1 2
(t1(x) +t2(x))
2 +t3(x)
, x∈[0,0.95] (4.8) Ezt a formát arra alapozva alakítottuk ki, hogy a t1 alakú közelítés és a t2 alakú közelítés hibafüggvénye ellenkező előjelet mutat majdnem minden esetben, hasonlóképpen ellentétes előjelű a(t1(x) +t2(x))/2és a t3(x)approximációk hibafüggvénye. Míg at1 és a t2abszolút hibái mintegy2×10−3 nagyságúak, az átlaguk abszolút hibája kisebb a4×10−4 értéknél, a tc1(x) függvénynek a Φ(x) eloszlásfüggvénytől való abszolút eltérése pedig kisebb 4×10−5-nél. A (4.8)-ban szereplő t1, t2, t3 közelítések állandóit a 4.1 táblázatban adjuk meg.
A kombinált közelítés második,[0.95,∞)félegyenesen megkonstruált függvényetc2(x) = t3(x), x∈[0.95,∞), melynek paraméterei:
a3 =−0.424478, b3 =−0.669668, c3 =−0.746823.
Ennek a közelítésnek a legnagyobb abszolút hibája 7×10−5, a hiba pedig azx = 2.8 értéknél nagyobbxértékekre csökken. Összefoglalva a kombinált approximálásra használt függvényeinket kapjuk a következőt:
tc(x) =
( tc1(x), ha x∈[0,0.95),
tc2(x), ha x∈[0.95,∞). (4.9) Dekomponált közelítés
Az előző közelítésnél tett felbontáshoz hasonlóan járunk el: a[0,∞)félegyenest felbontjuk öt intervallumra és a maradék félegyenesre. A használt dekompozíció némileg önkényes,
i [di, ei) a b c 1 [0.00,0.25) -0.332731 -0.796469 -0.693163 2 [0.25,0.55) -0.357923 -0.782874 -0.695015 3 [0.55,0.90) -0.382191 -0.755848 -0.702595 4 [0.90,1.35) -0.406612 -0.711912 -0.722454 5 [1.35,2.00) -0.431045 -0.645689 -0.767481 6 [2.00,∞) -0.452221 -0.562700 -0.848839 4.2. táblázat. A dekomponált közelítés állandói.
számítógépes kisérletezések után jutottunk el a használt értékekhez. A felbontás min-den részében egy t3(x) alakú approximációt konstruáltunk, jelölje az i-edik részben lévő közelítést tp,i(x). A teljes dekomponált approximáció
tp(x) =tp,i(x), ha x∈[di, ei), i= 1,· · ·,6 (4.10) alakban írható fel, ahol a tp,i függvények értékét a [di, ei) intervallumon kívül nullá-nak tekintjük. A felbontás, a [di, ei) intervallumok és a szereplő g3(x) állandóit a 4.2 táblázatban adtuk meg. A közelítés abszolút hibája a teljes [0,∞) félegyenesen kisebb mint1.2×10−5 (a hiba túlnyomórészt 6×10−6 körüli).
A numerikus számításokat egy személyi számítógépen végeztük a Microsoft Excel, Version 4.0a program használatával, a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének értékeit pedig az ott található függvénnyel számítottuk ki. Lehetséges, hogy az állandók megadott értékeire egy pontosabb (például az egydimenziós normális eloszlásfüggvény du-plapontosságú értékeit előállító) szubrutin felhasználásával némileg eltérő értékeket kap-nánk, de itt főleg azt akartuk szemléltetni, hogy at1, t2, t3 alakú közelítések egyszerűségük ellenére elég jó közelítést adnak.
A t3(x) alakú közelítésnek a [di, ei) intervallumban három olyan pontja volt, ahol a közelítés pontosan a közelítendő függvény értékét vette fel. A legnagyobb hibák pedig a részintervallumok elején és végén léptek fel. Ezeket a hibákat úgy csökkentettük, hogy az xi alappontokat nem a[di, ei)intervallumon, hanem a[di−ε, ei+ε)intervallumon vettük fel egy ε ∼ 0.01− 0.1 értékkel (természetesen a közelítés csak a [di, ei) intervallumon használható).
A fentebbi elgondolásokat használva (több osztóponttal, vagy másmilyen felbontással) tetszőlegesen további approximáló függvények konstruálhatók, amelyek a teljes félegyene-sen, vagy az adott felhasználó által fontosnak tartott intervallumon még jobb közelítést adhatnak.