C1982), 539-546.
[63 P.Kiss, Differences of the terms of linear recurrences, Studia Scientiarum Mathematicarum Humgarlca 20 C1985), 205-293.
[73 K.K.Kubota, On a conjecture of Morgan Ward I, Act«
Arithm, 33 C1977), 11-28.
[83 K.K.Kubota, On a conjecture of Morgan Van! II, Acta Arithm, 33 CI977), 29-48.
[93 F.Mátyás, On common terms of second order linear recurrences, Mat.Sem. Not. CKobe Univ. Jappan), 9 C1981), 89-97.
[103 M. Mignotte, Intersection des images de certaines
suites recurrentes lineaires, Theoretical Gomput. Sei,
7 C19 7 8), 117-122.
ill] L.J. Mordeil, Dlophantlne equations:, Acad. Press, London, CI909).
[12] G.Revuz, Equations deiphantines exponentielles, Dull.
Soc. Math. France, Mém. , 37 C1974), 139-156.
C13] G.L.Stewart, On divisors of terms of linear recurrence
sequences, J. reine angew, Math., 333 C1902), 12-31.
_
y-j_
PELLE BLLA
A MATEMATIKAOKTATÁS TOVÁBBFEJLESZTÉSÉRE ALAKULT BIZUIISÁG — SZENUREI-f ÉLI BIZOTTSÁG — TEVÉKENYSÉGÉNEK ÁTTEKINTÉSE
ABSTRACT: ( H i e work o f the committee founded f o r Ute improvement n f t e a c h i n g mathematics /Szendrei-cotreni t t e e / . ) Twenty years ago, i n 1960, the m i n i s t r y founded tiie S z e n d r e i - c o m m i t t e e whose task was t o work on the problems r e l a t i n g t o the improvement of t e a c h i n g mathematics. We would l i k e t o g i v e a summary of the woi k of the committee f o r the a n n i v e r s a r y .
D u r i n g i t s s h o r t e x i s t e n c e t h e committee had g r e a t success i n making the t e a c h i n g of mathematics more u p - t u - d a l e . We t h i n k t h a t our summary w i l l h e l p contemporary academics i n w r i t i n g up the h i s t o r y of mathematics.
196nhau, luisz é v v e l e z e l ő t t a m i n i s z t é r i u m mcgalnkí hit.I,a a S / e n d r n i -f é l e b i z o t t s á g o t . Ennek -f e l a d a t a a ma t é m a t i k a o k t a t á s t o v á b b -f e j l e s z t é s é v e l k a p c s o l a t o s t e n n i v a l ó k k i d o l g o z á s a v o l t . Az é v f o r d u l ó r a egy ö s s z e f o g l a l ó t kívánunk adni a b i z o t t s á g m u n k á j á r ó l . V i s s z a t e k i n t v e ma i s úgy l á t j u k , hogy a b i z o t t s á g n a k r ö v i d " é l e t e " a l a t t érdemei vannak a m a t e m a t i k a o k t a -t á s k o r s z e r ű s í -t é s é n e k kimunkálásában. Meggyőződésünk, Imgy ö s s z e f o g l a l ó n k s e g í t i a későbbi kor k u t a t ó i t a m a t e m a t i k a t a n í t á s t ö r t é n e t é n e k f e l d o l g o -zásában .
Az 1960-as években a m a t e m a t i k a o k t a t á s t o v á b b f e j l e s z t é s e v i l á g s z e r t e e l ő t é r b e k e r ü l t . A tudományok f e j l e s z t é s é b e n é l e n j á r ó szakemberek egyön-t e egyön-t ű e n i g é n y e l egyön-t é k a m a egyön-t e m a egyön-t i k a o k egyön-t a egyön-t á s egyön-t o v á b b f e j l e s z egyön-t é s é egyön-t . Századunkban u g y a n i s nemcsak a matematika tudományának f e j l ő d é s e , hanem a m a t e m a t i k á nak a h é t k ö z n a p i é l e t b e v a l ó bevonulása i s rohamos. A matematika n a p j a -inkban ugyanolyan k ö z v e t l e n termelőerővé v á l t , m i t korábban a f i z i k a ,
majd a kémia. Az i s k o l a i matematika o k t a t á s u n k v i s z o n t nem f e l e l t meg ezeknek az igényeknek, t ú l h a l a d o t t s z e m l é l e t ű v o l t v i l á g v i s z o n y l a t b a n .
A nemzetközi és hazai t ö r e k v é s e k e t figyelembe véve n Művelődésügyi M i n i s z t é r i u m a m a t e m a t i k a o k t a t á s t o v á b b f e j l e s z t é s é n e k s e g í t é s é r e l'-MB.
j ú n i u s 2 1 . - i é r t e k e z l e t é n l é t r e h o z o t t egy b i z o t t s á g o t . Elnöke d r . Szend-r e i János, t i t k á Szend-r a N y i l a s Dezső, t a g j a i : CseSzend-r AndoSzend-r, d Szend-r . Göudöcs L á s z l ó , llorvay K a t a l i n , Merő L á s z l ó , d r . Molnár J ó z s e f , Pálinay L ó r á n t , d r . Pel l e B é l a , d r . Gurányi János. A b i z o t t s á g t á r s a d a l m i s z e r v e / e t k é n l . m ű k ö d ö t t , m i n t az MM tanácsadó s z e r v o . A munkája lényegét nz a l a k u l ó ü l é s a k o r s z e
-rű s z e m l é l e t ű m a t e m a t i k a o k t a t á s ú t j a i n a k és módjainak keresésében, ezzel párhuzamosan a közvélemény (a szélesebb t á r s a d a l m i és a szűkebb pedagógus közvélemény) m e g f e l e l ő a l a k í t á s á b a n j e l ö l t e neg. U t a l á s t ö r t é n t a r r a , hogy a munka során s z ü l e t h e t n e k nerész e l k é p z e l é s e k i s , amelyeket e l ő n y -ben k e l l r é s z e s í t e n i , a toldogza t á s - f o l dozgatássa 1 s/em-ben. A b i z o t t s á g f e l a d a t a i t és munkamódszereit az a l á b b i a k b a n r é s z l e t e z t é k . ( 1 )
A b i z o t t s á g f e l a d a t a i :
- a matematikaoktatás h a z a i g y a k o r l a t á n a k elemzése;
- a hazai k í s é r l e t e k tanulmányozása és elemzése;
- a k ü l f ö l d i törekvések és k í s é r l e t e k tanulmányozása;
a matematika tudomány f e j l ő d é s é b ő l az i s k o l a i n n t e m a t i k a u k t a t á s r a h á r u -l ó konzekvenciák v i z s g á -l a t a ;
i r á n y e l v e k k i a l a k í t á s a a nn téma t i k a o k t a t á s tar laImának k n r s z e i ű s í l é s é -r e ;
i r á n y e l v e k k i a l a k í t á s a a matematikaoktatás módszerének k o r s z e r ű s í t é s é -r e ;
- j a v a s l a t és program k i a l a k í t á s a k í s é r l e t e k r e , a k í s é r l e t e k i r á n y í t á s a és é r t é k e l é s e ;
- i r á n y e l v e k k i a l a k í t á s a k o r s z e r ű t a n t e r v k é s z í t é s é r e ;
- i r á n y e l v a k k i a l a k í t á s a k o r s z e r ű tankönyvek, munkafüzetek, segédeszközük k é s z í t é s é r e ;
- i r á n y e l v e k és programok k i a l a k í t á s a a pedagógusok továbbképzésére;
j a v a s l a t o k k i d o l g o z á s a a ma tana t i k a o k t a t á s k o r s z e r ű s í t é s é b ő l adódó f e l -adatok é r v é n y e s í t é s é r e a pedagógusképzésben.
A b í z o t t n á l ] munkamódszere:
- v i t a a h a z a i niatoniatikaoktatán t a p a s z t a l a t a i r ó l ; - v i t a a h a z a i k í s é r l e t e k t a p a s z t a l a t a i r ó l ; - v i t a a k ü l f ö l d i k í s é r l e t e k r ő l ;
t' i
- ú j t e r v e z e t e k , tanulmányok k é s z í t é s e és k é s z í t t e t é s e , ezek v i t á j a ; - p u b l i k á l á s a szaklapokban;
- s z a k é r t ő i tanácskozások ér, m u n k a é r t e k e z l e t e k ; - a l b i z o t t s á g o k működtetése (szükség s z e r i n t ) ;
- k ü l f ö l d i tanulmányutak k í s é r l e t e k tanulmányozására;
- nemzetközi a j á n l á s o k tanulmányozása és v i t á j a . ( 1 )
A meghatározott program a l a p j á n a b i z o t t s á g a következő f e l a d a t o k a t vé-gezte e l :
1. E l k é s z í t e t t e a matematikaoktatás k o r s z e r ű s í t é s é t c é l / ó nemzetközi t ö -rekvések ö s s z e h a s o n l í t ó és é r t é k e l ő dokumentációját. ( 2 ) .
Az anyag r ö g z í t i , hogy n e m z e t k ö z i l e g igen szél esküt fi mn/galnm, k í s é r -l e t e z é s , h i v a t a -l o s i n t é z k e d é s ( r e n d e -l k e z é s , p á r t h a t á r o z a t s t b . ) s z ü -l e t e t t a matematikaoktatás korszerűbbé t é t e l e érdekéhen. I zek egyrés/él. nemzetk ö z i szervenemzetk (UNLSUU, Nemzetnemzetközi M a t e m a t i nemzetk a i Unió) támogatjánemzetk. A nemzetk ü l ö n b ö ző i r á n y z a t o k a sok e l t é r ő vonás m e l l e t t számos közös j e l l e g e t i s m u t a t -nak. I l y e n e k a k ö v e t k e z ő k :
- a matematika f e j l ő d é s e és a g y a k o r l a t b a n v a l ó alkalmazása mindenütt, s z ü k s é g l e t t é t e t t e a k o r s z e r ű s í t é s t ;
- a t a r t a l o m és módszer egysége;
- a k o r s z e r ű m a t e m a t i k a i d i s z c i p l í n á k és s z e m l é l e t bevezetése;
- a k o r s z e r ű s í t é s a l e g a l s ó f o k t ó l a l e g f e l s ő i g egységesen v a l ó s í t a n d ó meg;
- a k í s é r l e t e k e t pedagógiai és p s z i c h o l ó g i a i v i z s g á l a t o k k a l e g y ü t t k e l l v é g e z n i ;
_ - sok a k a d á l y t j e l e n t a szülők és pedagógusok konzervatizmusa;
- akadályozó az a s z e m l é l e t , hogy a matematika t a n í t á s a nem anyag- és pénzigényes.
2. A r e n d e l k e z é s r e á l l ó dokumentációk, v a l a m i n t l á t o g a t á s u k a l a p j á n a b i -z o t t s á g m e g v i -z s g á l t a és eleme-zte a ha-zánkban f o l y ó ma tenia t i kaok tn tárj k o r s z e r ű s í t é s é v e l k a p c s o l a t o s k í s é r l e t e k e t . ( 5 )
Véleményét az a l á b b i a k b a n r ö g z í t e t t e :
a) Az ÜPI Matematika Tanszéke á l t a l i r á n y í t o t t k í s é r l e t a t a n t e r v t ó i e l t é r ő , tartalmában és módszerében ú j f e l d o l g o z á s t k í s é r l e t « ! / I i . K o n c e p c i -ó j á b a n hazánkban - - sajnos - - az e g y e t l e n , tie nem egyedül lehetséges o l y a n k í s é r l e t , a m e l y i k a nemzetközi törekvésekhez mérhető.
b) A MTA P s z i c h o l ó g i a i I n t é z e t é b e n f o l y ó k í s é r l e t e k k ö z ü l a " F o r r a i n é f é l e k í s é r l e t " e l s ő s o r b a n módszertani szempontból érdemel e m l í t é s t . A t a -n u l ó k i -n t e -n z í v és ö -n á l l ó f o g l a l k o z t a t á s a t e r é -n eredmé-nyes. A b i z o t t s á g az a l s ó tagozatban f o l y ó k í s é r l e t t e l , a " d r . L é n á r d - f é l e k í s é r l e t " - t e l nem é r t e t t egyet.
c ) D r . Urigváry Gyula á l t a l k e z d e t t és i r á n y í t o t t k í s é r l e t a flémet Demok-r a t i k u s KöztáDemok-rsaságban f o l y ó k í s é Demok-r l e t e k b ő l v e t t ál h i / o n y n s elemeket, azokat az 1. — I V . o s z t á l y o k r a d o l g o z t a á t . t á v l a t i k o n c e p c i ó j a n i n c s .
3. A b i z o t t s á g e l k é s z í t e t t egy t e r v e z e t e t a ma téma l i k a t a n i t á s k o r s z e r ű s í -tése érdekében f o l y ó k í s é r l e t e k s z é l e s í t é s é r e , t e l j e s e n ú j k í s é r l e t e k be-v e z e t é s é r e , és a már f o l y ó k í s é r l e t e k e t k i e g é s z í t ő r é s z k í s é r j e l e k r e . ( 4 ) A már f o l y ó k í s é r l e t e k s z é l e s í t é s é v e l k a p c s o l a t b a n az a vélemény a l a k u l t k i , liogy az csak b i z t o s í t o t t anyagi és s z e m é l y i f e l t é t e l e k m e l l e t t enge-d é l y e z h e t ő . K í v á n a t o s a f e l s ő b b o s z t á l y o k b a n o l y a n á t m e n e t i k í s é r l e t e k bevezetése, amelyek az a l s ó t a g o z a t o s t a n t e r v r e épülnek, de a k o r s z e r ű s í -t é s bizonyos e l e m e i -t már -t a r -t a l m a z z á k . T e l j e s e n ú j k í s é r l e -t e k b e v e z e -t é s é -t nem l á t t a szükségesnek. A b i z o t t s á g j a v a s l a t o t t e t t egy á t m e n e t i matema-t i k a matema-t a n í matema-t á s i k í s é r l e matema-t r e és a pedagógusok matema-továbbképzésére. ( 5 )
4. Ö s s z e g y ű j t ö t t e és á t t e k i n t e t t e a b i z o t t s á g a h a z a i , e l s ő s o r b a n a móds z e r t a n i lapokban t a l á l h a t ó c i k k e k e t , amelyek a m a t e m a t i k a t a n í t á móds k é r d é -s e i v e l f o g l a l k o z n a k .
5. E l f o g a d t a a b i z o t t s á g a hazai m a t e m a t i k a o k t a t á s k o r s z e r ű s í t é s é b e n é r vényesítendő a l a p e l v e k e t t a r t a l m a z ó dokumentär:iót, amelyet egy a l b i z o t t -ság á l l í t o t t össze. ( 6 , 7)
Az anyag elemzi a k o r s z e r ű m a t e m a t i k a o k t a t á s f e l a d a t a i t . E témán bel ü bel rámutat többek k ö z ö t t a k o r s z e r ű s í t é s szükségességére, a m a t e m a t i k á nak az á l t a l á n o s műveltségben b e t ö l t ö t t s z e r e p é r e , az é l e t k o r i s a j á t o s s á g o k r a , a matematika és a t ö b b i tárgy kaprr.nl a t á r a , az o s z t á l y o z á s ér> ö s z
-tönzés k é r d é s é r e .
A k o r s z e r ű matematikaoktatás ú t j a i n a k elemzésénél s z ó l az a l a p e l v e k -r ő l , ó -r a s z e -r v e z é s -r ő l , a t a n í t á s s e g é d e s z k ö z e i -r ő l , a t a n t e -r v -r ő l és tana-n y a g r ó l .
K i t é r az anyag a megvalósítás f e l t é t e l e i r e , t e n n i v a l ó k r a , problémákr a . Utal a t a n í t ó k é p z é s és tanáproblémákrképzésben megoldandó f e l a d a t u k problémákr a , a t o -vábbképzés Megszervezésére, a k ü l f ö l d i törekvések figyelemmel k í s é r é s é r e , a t á r g y i f e l t é t e l e k b i z t o s í t á s á r a .
6. A k o r s z e r ű s í t é s a l a p e l v e i t szem e l ő t t t a r t v a a b i z o t t s á g j a v a s o l t a a Pedagógusképző O s z t á l y m e l l e t t működő s z a k b i z o t t s á g n a k , hogy a pedagógusképzés k o r s z e r ű s í t é s é n é l vegyék figyelembe a matematikaoktatás k o r s z e r ű -s í t é -s é v e l k a p c -s o l a t o -s a n l e -s z ű r t k ü l f ö l d i é-s h a z a i t a p a -s z t a l a t o k a t , é-s a p e d a g ó g u s j e l ö l t e k e t a j e l e n l e g i t a n t e r v i követelményekre v a l ó l e l k é s z i t é s m e l l e t t k é s z í t s é k e l ő a v á r h a t ó f e l a d a t o k r a .
M i v e l a legnagyobb nehézség az a l s ó t a g o z a t n á l v á r h a t ó , a b i z o t t s á g e l k é s z í t e t t e a t a n í t ó k továbbképzésével f o g l a l k o z ó t e r v e k e t . Ez k i t e r j e d a továbbképzés t a r t a l m á r a , f o r m á j á r a , a s z e r v e z é s i és pénzügyi k é r d é s e k -r e . ( 0 )
7. A b i z o t t s á g e l k é s z í t e t t és e l f o g a d o t t egy anyagot, amely a propaganda munka i r á n y á t , e s z k ö z e i t és módszereit t a r t a l m a z z a . ( 9 ) A propaganda mun-k á t az i n d o mun-k o l j a , hogy a mun-k o r s z e r ű s í t é s egészen ú j s z e m l é l e t e t mun-k í v á n meg mind a pedagógustól, mind a s z ü l ő k t ő l . E munkában a pedagógusképző i n t é z ményeken k í v ü l f o n t o s szerep j u t a könyvkiadóknak, t á r s a d a l m i és k u l t u r á l i s szervezeteknek, r á d i ó n a k , t e l e v í z i ó n a k s t b . A b i z o t t s á g a t a n k ö n y v -k i a d ó s e g í t s é g é t -k é r t e o l y a n s z a -k -k ö r i f ü z e t e -k , tan-könyve-k, segéd-könyve-k
s t b . m e g j e l e n t e t é s é b e n , amelyek s z a k m a i l a g , pedagúgi ni l a g , d i d a k t.i ka i I ag k o r s z e r ű e k , és e l ő m o z d í t j á k a m a t e m a t i k a o k t a t á s e l ő r e h a l a d á s á t .
0. A b i z o t t s á g az 0P1, az E g r i Tanárképző f ő i s k o l a és a Szegedi l a n á r k é p -ző F ő i s k o l a matematika t a n s z é k e i v e l ö s s z e á l l í t t a t o t t egy-egy k í s é r l e t i
t a n t e r v e t az á l t a l á n o s i s k o l á k V . - - V I 1 I . o s z t á l y a i számára, l.nnek megvi-t a megvi-t á s a umegvi-tán egy a l b i z o megvi-t megvi-t s á g közreműködésével az UPI Mamegvi-temamegvi-tika lanszékén e l k é s z ü l t egy t a n t e r v i j a v a s l a t az á l t a l á n o s i s k o l á k T . — V I I I . o s z t á l y a i számára ( 1 0 ) .
A b i z o t t s á g 1970. j ú n i u s 26án elemezte a d d i g i tevékenységét, és j a -v a s l a t o k a t t e t t a t o -v á b b i f e l a d a t o k r a . Ezek a kö-vetkezők -v o l t a k ( 1 1 ) :
" 1 . A b i z o t t s á g á l t a l ö s s z e á l l í t o t t j e l e n t ő s e b b dukumuutumnkat n y i l v á n o s -ságra k e l l I x ) z n i , hogy azok nyomán s z é l e s v i t a i n d u l j o n meg.
2. A b i z o t t s á g e d d i g i munkájára támaszkodva e l ő k e l l k é s z í t e n i egy ú j á l -t a l á n o s i s k o l a i ma-tema-tikai -t a n -t e r v l é p c s ő z e -t e s b e v e z e -t é s é -t .
3. K í s é r l e t e k e t k e l l i n d í t a n i , i l l e t v e a meglévőket fokozatosan k i t e r -j e s z t e n i a f e l s ő t a g o z a t o n i s , liogy m i n é l több r é s z l c l e r o d m é n y r ö l legyen t a p a s z t a l a t u n k egy ú j t a n t e r v bevezetése e l ő l i .
4. Bár az á l t a l á n o s i s k o l a egységet a l k o t a matematikaoktatás s z e m p o n t j á b ó l , mégis nagyon fontosnak t a r t j u k , hogy a k ö z é p i s k o l á k m a t e m a t i k a o k t a tásának k o r s z e r ű s í t é s é t i s magunk e l ő t t lássuk az á l t a l á n o s i s k o l a i k o r -s z e r ű -s í t e t t t a n t e r v e l ő k é -s z í t é -s e e l ő t t .
5. A pedagógusok t o v á b b k é p z é s é t , s különösen a t a n í t ó k ( s óvónők) i l y e n i r á n y ú s z e r v e z e t t továbbképzését sürgősen meg k e l l i n d í t a n i .
6. A m a t e m a t i k a t a n í t á s k o r s z e r ű s í t é s é t e l ő s e g í t ő tanszeküzöknek és szem-l é szem-l t e t ő eszközöknek a k é s z í t é s é t r e á szem-l i s á r o n b i z t o s í t a n i k e szem-l szem-l .
7. Kívánatos o l y a n k ö n y v t á r k i j e l ö l é s e , a m e l y i k a m a t e m a t i k a o k t a t á s k é r
1IJL
-eleseivel f o g l a l k o z ó , egyre terebélyesedő nemzetközi i r o d a l m a t g y ű j t i , s az érdeklődőkhöz e l j u t t a t j a .
0. Szoros együttműködés k i é p í t é s é t k e l l kezdeményezni a s z o c i a l i s t a o r -szágok k ö z ö t t a m a t e m e t i k a t a n í t á s k o r s z e r ű s í t é s é b e n .
9. A matematikaoktatás k o r s z e r ű s í t é s é t c é l z ó , s mindinkább k i t e r e b é l y e s e -dő munka s z e m p o n t j a i t , fő f e l a d a t a i t a b i z o t t s á g további a i*-, folyamatosan e l e m z i , tanulmányozza és k i d o l g o z z a . A t e r v e k n u g v a l ó s ít á s ál , figyelemmel k í s é r é s é t , e l l e n ő r z é s é t és az e z z e l k a p c s o l a t o s szerteágazó f e l a d a t o k a t e l l á t n i azonban s z e r v e z e t t e n — a k ü l f ö l d i példákhoz hasonlóan - - o l y a n i n t é z e t tudná, amely megfelelő számú munkatárssal r e n d e l k e z i k , és amely-nek ez k i z á r ó l a g o s f e l a d a t a . I l y e n intézmény, i l l e t v e meglévő intézményben i l y e n r é s z l e g létrehozása ( p l . az ÜCIbati, a Ml A Matematika K u t a t ó i n -tézetében) nálunk i s szükséges."
A k o r s z e r ű s í t é s i b i z o t t s á g r ö v i d működése a l a t t igen i n t e n z í v e n d o l -g o z o t t és j e l e n t ő s e t a l k o t o t t . Az á l t a l a j a v a s o l t -gondolatok na-gyrésze a Művelődési M i n i s z t é r i u m i r á n y í t á s á v a l m e g v a l ó s u l t . A b i z o t t s á g működését 1973ban s z ü n t e t t e meg az fM a z z a l az i n d o k o l á s s a l , hogy a f e l a d a t á t e l -végezte.
Ievékenységéről b á t r a n e l m o n d h a t j u k , hogy n o l l i i h : lassabban h a l a d t volna az ú j t a n t e r v kidolgozása és bevezetése, la Ián ha tovább " é l " , megv a l ó s u l a t a n í t ó k és tanárok tomegvábbképzésének s z e r megv e z e t t r e n d j e és t a n a -nyaga i s , amelyen az ú j t a n t e r v e k eredményességének s i k e r e m ú l i k . B i z t o s , hogy az ú j tantervekhez í r a n d ó tankönyvek és segédkönyvek megírásához i s komoly s e g í t s é g e t t u d o t t volna adni az a l k o t ó c s o p o r t ö s s z e á l l í t á s á v a l , a
témakörök m e g v i t a t á s á v a l s t b .
A b i z o t t s á g j a v a s l a t a i k ö z ö t t s z e r e p e l t o l y a n k í s é r l e t e l v é g z é s e , amely az eddig v é g z e t t k í s é r l e t e k t a p a s z t a l a t a i a l a p j á n o l y a n t a n í t á s i anyag és nndszer ö s s z e á l l í t á s á t p r ó b á l j a k i , amely országosan bevezethe-t ő . I l y e n i r á n y ú k í s é r l e bevezethe-t v o l bevezethe-t Seres Béla "eszbevezethe-tergomi k í s é r l e bevezethe-t e " , majd pedig a k í s é r l e t k é p p e n b e v e z e t e t t i d e i g l e n e s t a n t e r v .
Jegyze t
1. Emlékeztető a matematikaoktatás t o v á b b f e j l e s z t é s é r e a l a k u l t b i z o t t s á g é r t e k e z l e t é r ő l . I 9 6 0 , j ú n i u s 21. A l t a l á n o s I s k o l a i O s z t á l y
2. Or. P e l l e Béla D r . Ratlos M i h á l y : A ma t e m a t i k a t a n í t á s á n a k k o r s z e -r ű s í t é s é -r e i -r á n y u l ó nemzetközi t ö -r e k v é s e k -r ő l . ( K é z i -r a t )
3. Emlékeztető a matematikaoktatás t o v á b b f e j l e s z t é s é r e a l a k u l t b i z o t t s á g é r t e k e z l e t é r ő l . 1969. május 14.
4. Merő László — Dr. P e l l e b é l a : Tervezet a m a t e m a t i k a t a n í t á s k o r s z e r ű s í t é s e érdekében f o l y ó k í s é r l e t e k s z é l e s í t é s é r e , t e l j e s e n ú j k í s é r l e t e k bevezetésére és a már f o l y ó k í s é r l e t e k e t k i e g é s z í t ő r é s z k í s é r l e -t e k r e . ( K é z i r a -t )
5. Cser Andor: J a v a s l a t átmeneti m a t e m a t i k a t a n í t á s t k í s é r l e t r e és a pe-dagógusok továbbkézésére. ( K é z i r a t )
6. Reményi Gusztávné — U r . Surányi János — Varga Tamás: l e r v e z e t a ha-z a i m a t e m a t i k a o k t a t á s k o r s ha-z e r ű s í t é s é b e n é r v é n y e s f t e n d ő a l a p e l v o k i e . ( K é z i r a t )
7. Surányi János: A m a t e m a t i k a t a n í t á s k o r s z e r ű s í t é s é n e k néhány a l a p e l v e . ( Ú j utak a matematika t a n í t á s á b a n . 1. Néhány hazai és k ü l f ö l d i k í s é r -l e t . Tankönyvkiadó, 1972.)
0. D r . Göndöcs L á s z l ó : Tervezet a t a n í t ó k matematika továbbképzésére.
( K é z i r a t )
9. P á l f y Sándor — Pálmay L ó r á n t : A propaganda munka terve a ma tenia t i l s a -o k t a t á s k -o r s z e r ű s í t é s é v e l k a p c s -o l a t b a n . ( K é z i r a t )
1UJ>
-10. T a n t e r v i j a v a s l a t az á l t a l á n o s i s k o l á k számára. K é s z ü l t az UP1 Mate-matika Tanszékén, a m a t e m a t i k a t a n í t á s k n r s z e r ű s í l é s é v e l n»M)bíznt t d r . Szendrei János v e z e t é s é v e l működő b i z o t t s á g 1V713. j ú n i u s á b a n b e t e r -j e s z t e t t -j a v a s l a t a a l a p -j á n (Dudapest, 1972. -j ú l i u s . )
11. Beszámoló a matematikaoktatás t o v á b b f e j l e s z t é s é r e a l a k u l t b i z o t t s á g m u n k á j á r ó l . 1970. j ú n i u s 26. Á l t a l á n o s I s k o l a i O s z t á l y .
-SZÉPESSY DALINT
MEGJEGYZÉSEK A VALÓS Elit ÍG Vi-NYÉK ITEIMl ASAI1UZ V-CA VÉGES RENDŰ CIKLUSOKRÓL)
k
ABSTRACT: {Remarks on iteration of real functionn l'. J .-1 real valued fun el ion ft x > , defined on t he t.'loseil interval L a, b J , is called Herat ional basic function if
Ci) fCx) is a coni i nttous ftiuct ion tit ever\r inside points of the interval f.a,l>J; furthermore fCx) is continuous on the rißht and on the
left at point a and b respectively:
C i i) fCx) ma(>s the interval la.b.l *>nt o itself;
Ciii) there is no subinterval of the interval I a,b]
yhere f C x ) is a constant function;
For 1=0,1,2,... the function f\(x), defined b\
f (x)*x nnd f'. (x) = l'll' Cx)] for i>t); is called l1'"
O v ^ 1 - 1 I '
iterated /unction of fCx). Ji't> say a real number c is a fix point of fCx) of order one if fCc)~c, furthermore c is a fix point of or tier r if f CcO=c but f^Cci^c for n=l,2,..4,r-1. If c is a fix point of fCx) of order r, then the numbers f'Cci'—c , f ^C 1J= = C 2>- • • ^c r- j J ~c a r e also fix points of order r and the fix points cj (c2 t: fiive a cycle of order r.
In some earlier papers we $ave conditions for f'(x>
if it has no fix point of order greater than ttoo or
four, furthermore we have studied iterational basic functions for tjhich t hp or tiers of ihn cycles are unbounded (see SZEPESSY f V 1 , 11 O ] , 111 1 , and 1121J>.
In this paper we investigate iterational It tin i e functions for which we have cycles of finitel i
^ order.
1. Bevezetés
Legyen f Cx) az ta,bl (a<b) zárt intervallumban értelmezett olyan egyértékü valós l'üggvény, amely eleget tesz a következő feltételeknek
1. f(x) az adott szakasz minden belső pontjában folytonos a kezdő és a végpontban jobbról, illetve balról folytonos:
2. f ( x ) az t a f b 1 intervallumot, önmagára képezi 1<M
3. nincs olyan részintervalluma az adott szakasznak, amelyben f'(x} = constans teljesül.
Az fCx) függvényt iterációs alapfüggvénynek nevezzük az adott intervallumon.
Az f (x) = xi f < x)"fC.v.» . f fx)"i(K.v)), ...
U * t ' 7. ' * f p (x)=l' ^f r _ t ( x> J . . . függvényeket az fCx) függvény nulladik, első, második, . . . , n-edik (n-edrendü),. . . iterált függvényeinek (iteráltjainak) nevezzük. Az fr( x ) (n-2,3,...) függvények is mind rendelkeznek az 1., 2., 3.
tulajdonságokkal. (Ezt az összetett függvény folytonosságára vonatkozó tételekből teljes indukcióval könnyen bizonyithatjuk.)
Teljesülnek az f (x>=f [f (x)]=f |f (\) azonosságok n m n ^ m J m ^ n ) is. Ha lc,dl (c<d) az La,bl szakasz egy részszakasza, akkor
pontjainak első i tor a 11 j a i Í H BRJ ' pzakaß'-iL alkotnak} jrln t c, d 3 . A lc,d3 Kzak-ipz n-edik itt? rá.ttján a le, dl = lc,d3 intervallumot értjük.
»> l • • ' - U ,