Csatolt csatorn´as mNS eredm´enyek dipol ´atmentre

A 4.2.6.1 fejezetben bemutatott csatolt csatorn´as inverz elj´ar´as olyan speci´alis Hamilton oper´atorra lett kifejlesztve, amelyben nincs csatol´as a relat´ıv mozg´as ´es a magok bels˝o dinamik´aja k¨oz¨ott, a k¨olcs¨onhat´asi energia W(r, ξ) csup´an a relat´ıv t´avols´ag abszol´ut

27. ´abra. Az inverz potenci´al matrix (hossz´u szaggatott vonal)

¨osszehasonl´ıt´asa az analitikus potenci´al matrixszal (r¨ovid szaggatott vonal) E = 104 MeV teljes sz´or´asi energia eset´en. Bal oldalon a potenci´alok val´os,

jobb oldalon az imagin´arius r´eszei l´athat´ok. Az ´abr´an fel¨ulr˝ol lefel´e, a k¨ovetkez˝o folyamatoknak felelnek meg az egyes potenci´alok: ¹⁶O(α,α)¹⁶O,

16O(α,⁸Be)¹²C, ¹²C(⁸Be,α)¹⁶O ´es¹²C(⁸Be,⁸Be)¹²C.

´ert´ek´et˝ol f¨ugg. ´Altal´anos esetben a k¨olcs¨onhat´asi oper´ator f¨ugg a relat´ıv t´avols´ag ir´any´at´ol is, s ez´ert multipol sorba fejthet˝o

W(r, ξ) = az ˆr=r/rir´anysz¨ogekt˝ol f¨ugg˝o impulzusmomentum saj´atf¨uggv´enyek szerint [v¨o. 2.3 fejezet, (22) egyenlet]. Az itt megjelent Qλν multipolus momentumok ´ırj´ak le a relat´ıv ´es bels˝o magmozg´as k¨oz¨otti csatol´ast.

Mindez azt eredm´enyezi, hogy a V_αβ csatol´o potenci´alok f¨uggni fognak az I megmarad´o teljes impulzusmomentumt´ol, azaz (215) m´asodik tagj´aban V_αβ^I ´ırand´o, ´es a radi´alis hull´amf¨uggv´eny is az I-t˝ol f¨ugg, nem egyszer˝uen a p´alyamomentumt´ol. A V^I potenci´al matrix faktoriz´alhat´o egy impulzusmomentum f¨ugg˝o ´es att´ol f¨uggetlen r´eszre:

V_αβ^I = Itt az ut´obbi kifejez´es, a Q_λ multipolus reduk´alt matrix eleme f¨ugg aλ multipol rendt˝ol, de nem f¨ugg azI, ℓα´es ℓβ impulzusmomentum kvantumsz´amokt´ol.

A potenci´al matrix impulzusmomentumt´ol val´o f¨ugg´ese azt eredm´enyezi, hogy a (225) alatti transzform´aci´os kernel is f¨ugg t˝ole:

K_αβ^{U U0I}(ρ, ρ^′) =

N

X

n,n^′=1

c^I_nn′ψ_αn^I (ρ)ψ^0I_βn′(ρ^′), (240)

´es emiatt az impulzusmomentumra val´o ¨osszegz´es elesik. M´as sz´oval azt kaptuk, hogy a kernelt, amib˝ol pedig a potenci´alt sz´amoljuk (224) alapj´an, igen csak korl´atozott f¨uggv´enyt´eren fejthetj¨uk sorba. Numerikus sz´amol´as is azt bizony´ıtja, hogy a fenti ansatz-cal elv´egzett sz´amol´as nem kell˝ok´eppen (re)produk´alja az inverz potenci´al matrixot, m´eg nagy N csatorna sz´am eset´en sem.

A probl´em´ab´ol a kivezet˝o utat a kernel ρ = ρ^′ diagon´alis r´esz´enek vizsg´alata k´ın´alja, amely szerint K_αβ^{U U0I}(ρ, ρ) (237)-hez hasonl´oan felbomlik egy impulzusmomentumt´ol f¨ugg˝o

´es att´ol nem f¨ugg˝o szorzat ¨osszeg´ere. Ez´ert ansatzk´ent pr´ob´alkozhatunk a K_αβ^{U U0I}(ρ, ρ^′) = kvantumsz´amokt´ol, ´es a Q^Iλ_αβ egy¨utthat´okat a

Q^Iλ_αβ =

C_αβ^Iλ/C_αβ^I→∞λ ha C_αβ^I→∞λ 6= 0

1 k¨ul¨onben (242)

kifejez´es defini´alja. Mivel aC_αβ^Iλ(6= 0) egy¨utthat´ok gyorsan k¨ozel´ıtenekC_αβ^I→∞λ aszimptotikus

´ert´ek¨ukh¨oz, nagyI (kis λ) eset´en aQ^Iλ_αβ egy¨utthat´ok egys´egg´e v´alnak.

M´asr´eszt, mivel az ´uj K^λαβ kernel matrix elemek f¨uggetlenek az I, ℓα, ℓβ

impulzusmomentum kvantumsz´amokt´ol, ezek m´ar nagyobb b´azison fejthet˝ok sorba, mint ami (240)-ben haszn´alatos, ´es ´ıgy a k¨ovetkez˝o ansatz-ot nyerj¨uk:

K^λαβ(ρ, ρ^′) = Ezt behelyettes´ıtve (241)-be, kapjuk a kernel elemekre a v´egs˝o formul´at:

K_αβ^{U U0I}(ρ, ρ^′) = Az I^′ szerinti ¨osszegz´es elvben v´egtelenig megy, de feltessz¨uk, hogy l´etezik egy Imax

maxim´alis impulzusmomentum, amely felett m´ar nincs l´enyeges j´arul´ek az ¨osszeghez.

A fenti formalizmust olyan hipotetikus alfa r´eszecske ´es sz´en atommag Ecm = 80 MeV energi´aj´u ¨utk¨oz´esre alkalmazom, amelyben az ¨utk¨oz´es sor´an a 0 MeV-es J_α = 0 alap´allapot a 3 MeV-es Jα=1-es gerjesztett ´allapotba mehet ´at a dipol (λ= 1) k¨olcs¨onhat´as r´ev´en. Ezt av¹_αβ (WS alak´u) dipol k¨olcs¨onhat´ast kieg´esz´ıtem egy, csak r-t˝ol f¨ugg˝o optikai potenci´allal a diagon´alis csatorn´akban. ´Igy azS-matrixot a

V_αβ^I (r) =δαβ(Vα(r) +iWα(r)) +C_αβ^I1v¹_αβ(r) (245)

szerkezet˝u potenci´alb´ol sz´amolom, ahol az optikai potenci´al val´os r´esz´et t´erfogati, az imagin´arius r´esz´et fel¨uleti WS potenci´al ´ırja le [T3/9].

Az eml´ıtettek ´ertelm´eben n´egy csatorna lehets´eges:

α= 1 ℓα =I Jα = 0 εα = 0MeV, α= 2 ℓα =I Jα = 1 εα = 3MeV, α= 3 ℓα =I+ 1 Jα = 1 εα = 3MeV, α= 4 ℓα =I−1 Jα = 1 εα = 3MeV,

´es azα= 4-es csatorna nyilv´an csak I ≥1 eset´en l´etezik.

Az S-matrixot I = 0,1, ...,30 impulzusmomentumig sz´amolva, (244)-et (222)-ben felhaszn´alva ´es (227)-et figyelembe v´eve, (229)-hez hasonl´o egyenletb˝ol kaphatjuk az A

´es b egy¨utthat´o matrixot, amelyek seg´ıts´eg´evel az el˝oz˝o fejezetben ismertetett m´odon el˝o´all az inverz potenci´al.

A 28. ´abr´an folytonos vonal jel¨oli a kiindul´o potenci´al matrixot, amely az input S-matrixot szolg´altatta. Szaggatott (diagon´alis potenci´alok) ´es pontozott (dipol potenci´alok) vonal jelenti az inverz sz´amol´as eredm´enyek´eppen kapottI = 1-hez tartoz´o inverz potenci´alt, amelyb˝ol az ¨osszes m´as I-j˝u potenci´al matrix megkaphat´o a megfelel˝o C_αβ^I1/C_αβ^{I=1 1} faktorral val´o szorz´assal.

A 28. ´abra bal oldal´an lev˝o n´egy potenci´al rajz a k¨ovetkez˝o potenci´alokat tartalmazza fel¨ulr˝ol lefel´e sorrendben:

V11;V22;V32, V31;V41, V42. A jobb oldali rajzok potenci´aljai pedig, szint´en fentr˝ol lefel´e sorolva:

V14, V13;V23, V24;V33;V44.

Erdekess´egk´eppen megeml´ıthet˝o, hogy´ Imax = 30 ´es n´egy csatorna eset´en 978 csatolt egyenletet kellett szimult´an megoldani az A ´es b egy¨utthat´o matrix kisz´am´ıt´as´ahoz. Ezek ismeret´eben minden egyes intervallum ponthoz 123 csatolt egyenletet kellett megoldani a T_αn^I (r) hull´amf¨uggv´eny meghat´aroz´as´ahoz az α = 1,2,3 csatorn´akban ´es 120-at az α = 4 csatorna eset´en.

A 28. ´abr´at tanulm´anyozva meg´allap´ıthatjuk, hogy a k¨ozel´ıt˝o m´odszer el´eg nagy pontoss´aggal visszaadja az input potenci´alt, eltekintve az orig´o k¨orny´ek´et˝ol. Ez azonban nem ´erz´ekeny r´esze a sz´or´as sz´amol´asnak, mivel az inverz potenci´alokb´ol visszasz´amolt S-matrix nagy pontoss´aggal reproduk´alja az inputS-matrix elemeket [T3/9].

28. ´abra. Az inverz potenci´al matrix (szaggatott ´es pontozott vonal)

¨osszehasonl´ıt´asaI = 1-re az analitikus dipol potenci´al matrixszal (folytonos vonal)E = 80 MeV teljes sz´or´asi energia eset´en. A potenci´alok MeV

egys´egben, azr radi´alis t´avols´ag fm-ben van m´erve.