π − π potenci´alok

Jelenlegi r´acs kvantum kromodinamikai (QCD) sz´amol´asokb´ol az a k¨ovetkeztet´es vonhat´o le,³⁹ hogy az I = 0 izo-skal´ar π − π rendszer relat´ıv s-´allapotban olyan effekt´ıv lok´alis k¨olcs¨onhat´asi potenci´allal ´ırhat´o le, amely n´eh´anyGeV er˝oss´eg˝u ´es hat´ot´avols´aga kisebbegy fermin´el. Ez a potenci´al mind a k¨ot¨ott, mind a sz´or´asi ´allapot´at jellemzi aπ−π rendszernek.

Fix-leset´en t¨ort´ent m´ar kvantum inverz sz´amol´as aπ−πrendszerre n´ezve, s ez a sz´amol´as azt mutatta,⁴⁰ hogy azs-hull´amhoz tartoz´o izoskal´arπ−π potenci´al val´oban vonz´o jelleg˝u, azonban er˝oss´ege n´eh´anysz´azGeV, ´es a hat´ot´avols´aga kisebbf´elfermin´el.

Mivel mindk´et fenti sz´amol´as k¨ozel´ıt´eseket ´es elm´eleti egyszer˝us´ıt´eseket tartalmaz,

-70

18. ´abra. n-α sz´or´ashoz tartoz´o ˜V (fels˝o r´esz), ˆV (k¨oz´eps˝o r´esz) ´es spin-p´alya (als´o r´esz) inverz potenci´alok, amelyeket a 18. t´abl´azatban

megadott input f´azistol´as adatokb´ol kaptam.

´erdemes ezen ’elemi’, n´egy-kvark rendszer k¨olcs¨onhat´as´anak jellemz˝oir˝ol (t´erbeli kiterjed´es

´es er˝oss´eg) tov´abbi inform´aci´ot szerezni f¨uggetlen forr´asb´ol.

Izo-skal´ar (I = 0) π − π sz´or´asi adatokat Protopopescu ´es t´arsai⁴¹ sz´armaztattak le k´ıs´erleti πN →ππN hat´askeresztmetszet adatokb´ol, az ´un. Chew-Low formula

σππ = lim alkalmaz´as´aval. Itt a nagyenergi´as fizik´aban szok´asos jel¨ol´eseket haszn´altam, aholc= ¯h= 1 az egys´egrendszer, ´es pl. az energi´at az ´un. invari´ans t¨omeg (√

s = Mππ) jel¨oli, s ennek ismeret´eben a hull´amsz´am a k = ^qs/4−m²_π k´epletb˝ol sz´amolhat´o. (t a rugalmas sz´or´as eset´en az impulzustranszfer n´egyzete, f_π ≈ 93 MeV a pion boml´asi ´alland´oja, p a bej¨ov˝o pion n´egyesimpulzusa, ˜α pedig 1 vagy 2, a sz´or´od´o pion ´es a nukleon t¨olt´es´allapot´at´ol f¨ugg˝oen.⁴¹)

A sz´amunkra fontos f´azistol´as adatokat a

√σππ ∝ ^X

ℓ=0,2,..

(2ℓ+ 1)Pℓ

hη_ℓ⁰e^2iδ0ℓ −1ⁱ (207) parci´alis hull´am´u sorfejt´esb˝ol kapt´ak Protopopescu´ek, ahol l´atjuk, hogy a rendszer szimmetri´aja miatt most is csak a p´aros parci´alis hull´amok adnak j´arul´ekot (v¨o. 4.2.1 fejezet). Mivel viszonylag alacsony energi´aj´u (kaon k¨usz¨ob k¨orny´eki) adatokkal foglalkozunk, amelyre az l = 4-es parci´alis hull´am m´ar z´erus j´arul´ekot ad, kev´es k´ıs´erleti adat ´all rendelkez´es¨unkre. Ez´ert, hogy az adatok sz´am´at n¨ovelj¨uk, ugyan´ugy j´arunk el, mint a sz´en-sz´en ¨utk¨oz´es eset´en (ld. 4.2.1 fejezet), azaz interpol´alunk k´et p´aros l-hez tartoz´o adat k¨oz¨ott. Az ´ıgy kieg´esz´ıtett f´azistol´as (δ_l^I=0) ´es rugalmass´ag (η^I=0_l ) adatokat a 19. t´abl´azat tartalmazza.

A nagyfok´u adathi´any miatt gondosan kellett elj´arni az inverz sz´amol´as kivitelez´es´en´el.

A sz´amol´asban h´aromf´ele technik´at alkalmaztam, ´es az eredm´enyeket csak akkor fogadtam el, ha legal´abb k´et sz´amol´as ´altal szolg´altatott inverz potenci´al megegyezett. A h´arom technika a k¨ovetkez˝o volt: (a) az eredeti NS m´odszer, amely lehet˝os´eget k´ın´alt egy folytonos param´eter (ld. α/r szingularit´as) megv´alaszt´as´ara; (b) a mNS m´odszer, amelyben lehet˝os´eg volt a k¨uls˝o sug´ar r1 > r0 (´es r2 = r1 + 0.05 fm) megv´alaszt´as´ara; (c) az interpol´alt f´azistol´asokkal kieg´esz´ıtett adatok invert´al´asa (NS, ill. mNS m´odszerrel). Term´eszetesen a stabilit´asi tesztet (α, ill. r1 f¨uggetlens´eg´et) is mindig szem el˝ott tartottam, ill. vizsg´altam.

A k¨usz¨ob alatti ¨ot energia ´ert´ekre kapott ππ potenci´alokat a 19. ´abr´an l´athatjuk. A potenci´alok val´osak, ´es Coulomb-szer˝u vonz´ast mutatnak a pionok k¨oz¨otti kis t´avols´agokra.

A potenci´alok er˝oss´ege (nagys´agrendje) ´es hat´ot´avols´aga teljesen hasonl´o az l = 0 inverz

19. t´abl´azat. Izo-skal´ar ππ sz´or´asra vonatkoz´o k´ıs´erleti⁴⁰ f´azistol´asok [δ_ℓ⁰ (fok)] ´es rugalmass´agi t´enyez˝ok (η_ℓ⁰) n´eh´any invari´ans t¨omeg [Mππ (GeV)]

eset´en azl = 0,2,4,6 parci´alis hull´amokban. N´eh´any nemfizikai (interpol´alt)

´ert´eket is felt¨untettem azl= 1,3,5 hull´amok eset´en.

M^ππ δ0⁰ δ⁰1 δ⁰2 δ3⁰ δ4⁰ η0⁰ η⁰1 η2⁰ η3⁰ η4⁰

0.55 43 0 0 1 1 1

0.625 56 0 0 1 1 1

0.795 81 0 0 1 1 1

0.85 88 1.6 0 1 1 1

0.91 99 4.4 0 1 1 1

0.965 134 8.9 0 1 0.99 1

1.0 194 12 0 0.39 0.94 1

1.075 215 27 0 0.48 0.78 1

1.150 208 60 44 20 0 0.57 0.35 0.94 1 1

sz´amol´as eset´en kapotthoz⁴⁰ (j´ollehet ezek m´as elm´eletb˝ol sz´armaznak, mint tudjuk). Ezen fix-l inverz sz´amol´asokban viszont r¨ovid t´avols´agon (soft-core) tasz´ıt´ast kaptak, ami sem n´alunk, sem a r´acs QCD sz´amol´asok eset´en³⁹ nem jelentkezik.

KK¯ k¨usz¨ob feletti energi´akra vonatkoz´o f´azistol´asok√

s= 0.965 GeV-n´el kezd˝odnek a 19.

t´abl´azatban. Igen ´erdekes megfigyelni, hogy ezen hat´ar energi´ara, amely alig valamivel van a KK¯ k¨usz¨ob felett, a fluxusnak a rugalmas csatorn´ab´ol val´o ki´araml´asa az l = 2 parci´alis hull´amban t¨ort´enik, ´es nem a centr´alis ¨utk¨oz´est jelent˝o s-hull´amban. A ’rugalmatlans´ag’

m´ert´eke is igen csek´ely, mind¨ossze egy sz´azal´akos.

Ennek megfelel˝oen a 20. ´abr´an felt¨untetettKK¯ k¨usz¨ob feletti izo-skal´arπ−πpotenci´alok k¨oz¨ul a √

s = 0.965 GeV-hez tartoz´o m´eg ˝orzi a rugalmas csatornabeli potenci´alok f˝obb jellegzetess´egeit (igen r¨ovid hat´ot´avols´ag, Coulomb-szer˝u orig´obeli viselked´es), de a magasabb energi´ahoz tartoz´o potenci´alok gy¨okeresen elt´ernek ett˝ol. Ezek kis t´avols´agokra

´altal´anos tasz´ıt´o jelleget mutatnak, m´ıg k¨ozepes t´avols´agokon oszcill´alnak. A tasz´ıt´o jelleget az l = 0 mellett elv´egzett fix-l inverz sz´amol´asban is megtal´alt´ak⁴⁰ (ott k¨usz¨ob alatt is megmaradt, n´alunk elt¨unt). Ugyancsak ezt a k¨ovetkeztet´est vont´ak le az adatok fenomenol´ogikus ´ujra-analiz´al´asa⁴² ut´an is.

-300000

19. ´abra. Izo-skal´ar ππpotenci´alok aKK¯ k¨usz¨ob alatti n´eh´any energia

´ert´ekre.

J´ollehet az oszcill´aci´o eredhet az adathi´anyb´ol is, mindenesetre az l´atszik, hogy a k¨usz¨ob feletti energi´akra a pion-pion rendszer sokkal laz´abb, t´agabb, mint a k¨usz¨ob alattiakra. Term´eszetesen, a bemutatott potenci´alok reproduk´alj´ak a t´abl´azatban k¨oz¨olt input adatokat. ´Erdekes, hogy a k¨usz¨ob alatti, kevesebb adattal v´egzett inverz sz´amol´as stabilabbnak mutatkozott, mint a k¨usz¨ob feletti, l´enyegesen t¨obb inform´aci´oval v´egzett sz´amol´as. Mindez az r1 k¨uls˝o sug´ar technikai param´eter sz˝ukebb tartom´anyban t¨ort´en˝o v´alaszt´asi lehet˝os´eg´eben nyilv´anult meg.

Osszefoglal´ask´eppen elmondhat´o, hogy a mNS fix-energi´¨ as kvantum inverz sz´or´as m´odszer alkalmazhat´o izo-skal´arππf´azistol´as adatokra abb´ol a c´elb´ol, hogy pion-pion k¨olcs¨onhat´asok term´eszet´et tanulm´anyozzuk a koordin´ata t´erben. Az izo-skal´arππ potenci´alok er˝os energia f¨ugg´est mutatnak. KK¯ keletkez´esi k¨usz¨obenergia alatt hat´ot´avols´aguk igen r¨ovid, kisebb 0.2 fm-n´el. Ugyanakkor ebben a kis koordin´ata tartom´anyban nagyon er˝os, Coulomb jelleg˝u vonz´ast gyakorolnak egym´asra a pionok, ´es ez a vonz´as n´eh´any sz´az GeV-nyi potenci´al-er˝oss´egben nyilv´anul meg. KK¯ k¨usz¨ob felett a potenci´alok komplexsz´e ´es kiterjedtebb´e v´alnak, kis t´avols´agon tasz´ıt´ast, k¨ozepes t´avols´agon (0.1 < r < 0.3 fm k¨oz¨ott) oszcill´aci´ot produk´alva.

-300000

20. ´abra. Izo-skal´ar ππpotenci´alok n´eh´any, KK¯ keletkez´esi k¨osz¨ob feletti energi´an.