6. A GAMMAKITÖRÉSEK IDŐTARTAMELOSZLÁSÁNAK ELEMZÉSE
6.2. A 3B katalógus időtartamainak elemzése
A 6.1.5. ábrán az eloszlás több csúcsot is mutat. Jól elkülöníthető a hosszú és a rövid kitörések csoportja, de közöttük is látható egy „újabb” csoport. E csoport létét vagy nemlétét − ti. hogy esetleg csak véletlen fluktuációról van e szó − 1998-ban vizs-gáltam meg [Horváth, I., 1998]. A vizsgálatok során a 2 próbát alkalmaztam. A mód-szer leírását részletesebben lásd például Press és társai könyvében [Press, W. H., Flannery, B. P. Teukolsky, S. A. and Wetterling, W. T., 1992].
A 2 próba hisztogramok elemzése esetén alkalmazható. Jelen esetben beütés-számokról van szó, tehát Poisson-eloszlást feltételezve a hiba a beütésszám szá-ma). Ha a hiba eloszlása korrelálatlan Gauss-eloszlás, akkor 2 eloszlása ismert, és így a várható értéktől való eltérés valószínűsége megadható (lásd pl. [Jánossy, L., 1965]).
Amennyiben a változó eloszlása több nagyságrendet ölel át, a logaritmikus el-oszlást célszerű illeszteni. A kitörések időtartamának logaritmikus eloszlását Gauss-görbékkel illesztettem. Bár az előzőekből már kitűnt, hogy létezik az irodalomban elfo-gadott hosszú és rövid kitörések csoportja, a teljesség kedvéért mégis egy Gauss-görbével kezdtem a vizsgálatokat. Ezen kétparaméteres fit valószínűsége 0,1% a 22 értéke alapján [Horváth, I., 1998]. Figyelembe véve, hogy a nullhipotézis jelen esetben:
az eloszlás egy Gauss-görbével leírható adathalmaz megfigyelt adataiból kapható, az állításom a következő: annak a valószínűsége, hogy a nullhipotézis igaz: 0,001. Tehát nagy szignifikanciával mondhatjuk, hogy a mérési adatok nem írhatóak le egy lognormális eloszlással.
Második nullhipotézisem:
A logaritmikus eloszlás két Gauss-görbével írható le.
Az illesztést χ2 módszerrel végeztem, a legjobb χ2 46,8 volt, ami 40% valószí-nűségnek felel meg. Tehát ezt a nullhipotézist nem vethetjük el. Lehetséges, hogy az alaphalmaz, amiből az adatok származnak, két Gauss-görbével leírható.
Ez az illesztés látható a 6.2.1. ábrán. A két normális eloszlás összege feltűnően jól egyezik mind a két „szárnyon”, de jól látható, hogy ahol az „elméleti” görbe mini-mális, a megfigyelt görbe nem minimini-mális, sőt jelentős eltérés tapasztalható.
A 6.2.2. ábrán a két Gauss-görbét külön-külön ábrázoltam. Itt is jól látható a szárnyakon való egyezés. A 3-8 másodperces tartományban jól megfigyelhető viszont 3-4 egymás melletti bin, melyekben jelentős többlet található.
Ismert jelenség ez a csillagászati spektroszkópiában. A spektrum jól illeszthető egy elméleti spektrummal, viszont lehetnek lokális eltérések az elméleti és a megfigyelt görbék között. Ott ezek tipikusan spektrumvonalakat jeleznek. Jelen esetben is az elosz-lásoknak egy kis tartományon levő eltéréséről van szó. Vizsgáljuk meg, hogy ez esetben vannak-e erre mutató jelek a gammakitörések időtartameloszlásában.
A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése
6.2.1. ábra. Kétkomponensű illesztés az időtartameloszlásra.
6.2.2. ábra. Az időtartameloszlás és az illesztett két Gauss-görbe.
A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése
45
A következő ábrán (6.2.3. ábra) a megfigyelt és a legjobb két-Gauss fit különb-ségét ábrázoltam. Önmagában ez az ábra nem sokat mond, hiszen a nullától való eltérést nincs mihez viszonyítani, azaz a függőleges tengelyen feltüntetett értékeket ismerjük ugyan, de ezek jelentését csak akkor tudjuk, ha ismerjük a hozzájuk tartozó hibát.
6.2.3. ábra. A megfigyelt és a legjobb két-Gauss fit különbsége.
Az egy binben található pontok számának a hibáját jó közelítéssel a megfigyelt beütésszám négyzetgyöke adja. Szokás ezt egy szigmának vagy egyszeres szórásnak nevezni. Ez persze csak akkor igaz, ha Poisson-folyamatról van szó. A 6.2.4. ábrán fel-tüntettem a plusz és mínusz egyszeres hibákat, valamint a plusz kétszeres és háromszo-ros hibákat is.
Feltűnő, hogy a 13 egyszeres hibánál nagyobb értékből 6 egymás mellett talál-ható. Kétszeres hiba felett 4 érték van, és ezekből 3 egymás mellett. Háromszoros hiba felett 2 érték található, amelyek egymás melletti binekben vannak. Szükséges megvizs-gálni, hogy ezek véletlen ingadozások-e, vagy lehet-e magyarázni ezen eltéréseket egy harmadik komponenssel.
A 6.2.5. ábra mutatja, hogy az eltérések egy egyszerű Gauss-görbével jól il-leszthetőek. A következőkben megvizsgálom, hogy mennyire nevezhető szignifikáns-nak e feltételezés.
A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése
6.2.4. ábra. A megfigyelt és a legjobb két-Gauss fit különbsége, valamint az egy-szeres (folytonos), kétegy-szeres (pontozott) és háromszoros (szaggatott vonal) szórás
szintvonalai.
6.2.5. ábra. Az eltérés egy egy-Gauss illesztéssel.
A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése
47
Annak megállapításához, hogy szükség van-e egy újabb komponensre, a kö-vetkezőket alkalmaztam. Illesztettem egy három Gauss-görbe összegeként előálló elmé-leti görbét a teljes eloszlásra (6.2.6. ábra). Ebben az esetben az illesztésre kapott χ2 érték 24,0. Ezt az érteket kell a két Gauss-görbe összegénél kapott legjobb χ2 értékkel (46,8) összehasonlítani. A két illesztésnél kapott χ2 érték különbsége 46,8-24,0=22,8 meg-mondja valószínűségét. Mivel a második elméleti görbe három új paramétert is használ, a valószínűség egy három szabadsági fokú χ2-eloszlást követ. A 22,8-nak nagyon ala-csony, 10-4 valószínűség felel meg egy három szabadsági fokú χ2-eloszlás esetén. Tehát ilyen kicsiny annak a valószínűsége, hogy véletlenül álljon elő egy, a mérésnél kapott eloszlás. A legjobb három-Gauss illesztést a 6.2.6. ábra mutatja.
6.2.6. ábra. A háromkomponensű illesztés az időtartameloszlásra.
6.2.1 táblázat. A három csoport paraméterei.
Középérték (lg T90)
a lgT90 szórása
tagok szá-ma
részarány
%-ban
tipikus időtartam T90-ben
rövid -0,35 0,50 236 30 < 5 mp
hosszú 1,52 0,37 497 62 > 4 mp
közepes 0,64 0,14 61 8 ~ 2,3-8 mp
A 6.2.1 táblázat tartalmazza a legjobb illesztés paramétereit. Ez alapján az úgynevezett hosszú gammakitörések átlagos T90 időtartama körülbelül 33 másodperc.
Az illesztés alapján a hosszú kitörések a megfigyelt gammakitörések 62 százalékát te-szik ki. A rövid kitörések átlagos T90 időtartama körülbelül fél másodperc, és a BATSE
A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése
által megfigyelt gammakitörések kb. harmada lehetett rövid gammakitörés. A kitörésidőtartamok eloszlására történt illesztések alapján a 3-6 másodperc közötti gam-makitörések nagyobb része tartozhat a harmadik típusba. Mivel ezek 1-2 másodpercnél hosszabbak, de 10-50 másodpercnél rövidebbek, ezért a közepes típusú gammakitörés elnevezés látszik helyénvalónak.
A fenti eredményeimet közlő Astrophysical Journal kötetben (508) jelent meg egy másik cikk [Mukherjee, S., et al., 1998], amely ugyancsak a gammakitörések cso-portjaival foglalkozott. Többváltozós statisztikai analízist alkalmazva hatdimenziós tér-ben (tehát 6 mért paramétert használva) vizsgálták meg a kitörések csoportosíthatóságát, és a fentiekhez hasonlóan, három csoport létét látták statisztikusan igazolva. A Mukherjee-féle csoportok időtartamának eloszlását mutatja a 6.2.7. ábra. Jól látható a két elemzés eredményeinek nagyfokú hasonlósága (v.ö. a 6.2.6. és 6.2.8. ábrákkal), to-vábbá, hogy Mukherjee-ék gammakitörés csoportjai is kitörésidőtartamok szerinti el-rendeződést mutatnak.
6.2.7. ábra. Mukherjee et al. (1998) csoportjainak időtartameloszlása.
Az illesztett és a mért adatok közötti különbséget mutatja a 6.2.9. ábra, ame-lyen tendencia nem látható, és „zajnak” tűnik. Ezt ellenőrizendő, hasonlóan a 6.2.4. áb-rához, az egyszeres és a kétszeres hibákat is ábrázoltam. Egyszer találunk a kétszeres hibánál nagyobb eltérést és nyolc esetben egyszeres hibánál nagyobb eltérést. Ezek az értékek megfelelnek a statisztikus szórásból vártaknak. Mivel a kétszeres szórás a 95%-os, az egyszeres szórás pedig a 68%-os szignifikanciaszintnek felel meg, ezért a har-mincöt esetből 1,7 kétszeres hibát túllépő, és 11,2 egyszeres hibát túllépő eseményt vár-hatunk.
A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése
49
6.2.8. ábra. A három csoport lognormális eloszlással illesztett sűrűségfüggvényei.
6.2.9. ábra. A megfigyelt és a legjobb három-Gauss fit különbsége, valamint az egysze-res (folytonos) és kétszeegysze-res (szaggatott vonal) szórás szintvonalai.
A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése