A végleges BATSE katalógus adatainak elemzése

A Compton műhold 2000. május 26-án fejezte be működését a technikusok ajánlása ellenére, akik biztosan tudták volna a műholdat még évekig üzemeltetni, de a NASA felső vezetése úgy döntött, hogy a műholdat visszairányítják a Föld felé [Katz, J., 2002]. A műhold 2000. június 4-én belépett a légkörbe, részben megsemmisült, majd elmerült a Csendes-óceánban.

A Compton műhold 1991. április 19. és 2000. május 26. között több ezer ese-ményt rögzített (triggerelt). Ezek közül 2704 került rögzítésre, mint gammakitörés. A megfigyelt adatokat a BATSE Végleges Katalógusban (Final BATSE Catalog) lehet elérni az interneten, amelynek helye:

http://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/cgro/batse/BATSE_Ctlg/index.html

Az időtartam-táblázatban 2041 kitörésre található T₉₀ adat. A további elemzé-sek érdekében ezek közül annak az 1929 kitörésnek az adatát vizsgáltam, amelyekről fluxusinformációk is rendelkezésre álltak.

A T₉₀ kitörésidőtartamok eloszlását a 6.3.1. ábra mutatja. A középső csoport ezen az ábrán nem annyira szembetűnő, mint az a korábbi adatokban volt. Az előző fe-jezetben használt χ² elemzésnél erőteljesebb a maximum likelihood módszer (ML), vagy magyarul a legnagyobb valószínűség elve. Nagy előnye, hogy nem kell rekeszekbe osztani a mért adatokat, minden adat önmagában szerepel az elemzés során.

Az ML módszer alapgondolata, hogy az a paraméter valódi értékét azzal az a’

értékkel becsüljük, mely, ha a paraméter valódi értéke volna, akkor éppen az adott minta bekövetkezése volna a legvalószínűbb az összes lehetséges (n elemű) minták között [Prékopa, A., 1972].

Ha adott az x1, x2, …. xn n-elemű (mérési) minta egy változóra, melynek sűrű-ségfüggvénye

f  f ( x , a )

(6.3.1)

és a mérési eredményekből az a értéket akarjuk becsülni, akkor az

l ( x

₁

, x

₂

,... x

_n

, a )  f ( x

₁

, a ) f ( x

₂

, a )... f ( x

_n

, a )

(6.3.2) függvényt likelihood-függvénynek nevezzük.

A maximum likelihood módszer, hogy az a paraméter becslésére azt az értéket választjuk, ahol a likelihood-függvény értéke maximális. Ez az érték konzisztens és aszimptotikusan normális eloszlású. Az aszimptotikusan normális eloszlású becslések közül a maximum likelihood becslés a legjobb becslés [Bronstein, I. N. and Szemengyajev, K. A., 1980], [Michelberger, P., Szeidl, L. és Várlaki, P., 2003].

A BATSE végleges katalógus fent említett 1929 T₉₀ adatának az eloszlását mutatja a 6.3.1. ábra.

Az egy Gauss-görbe illesztés, hasonlóan az előzőekhez, most sem ad jó egye-zést. Két Gauss-görbét illesztve 5 illesztendő paraméterünk van. Egy Gauss-görbét 3 paraméterrel írhatunk le; az eloszlás maximumhelye, szórása és súlya (w, lásd a 6.3.3 és 6.3.4 egyenleteket). Következésképpen két Gauss-görbe esetén 6 illesztendő

paraméte-A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése

51

rünk van, de van egy feltétel is az amplitúdók összegére. Az amplitúdók összege vagy N (az észlelt objektumok száma), vagy ha a megtalálási valószínűség az illesztett függ-vény, akkor a teljes integrál értéke 1. A 6.3.4 egyenlettel leírt Gauss-eloszlás integrálja 1, tehát az előbb említett feltétel akkor elégíthető ki, ha az illesztés során használt w együtthatók (lásd a 6.3.3 egyenletet) összege 1.

6.3.1. ábra. A végleges BATSE katalógus 1929 időtartamadatának gyakorisága.

L-lel jelölve az l likelihood-függvény logaritmusát, a 6.3.2 egyenlet az alábbi 12326,25. A likelihood maximális értékének javulása várható, hiszen több paraméterrel írjuk le az illesztett elméleti görbét. Jelen esetben 3-mal nőtt a paraméterek száma. Ez esetben az L értékek különbségének a kétszerese egy 3 szabadsági fokú χ²-eloszlást kö-vet [Kendall, M. and Stuart, A., 1976]. Ezen

A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése



_{3 2}



₃²

2 L L 



(6.3.5)

képlet alapján számított valószínűség 0,5%.

Az illesztéssel kapott „legjobb” görbéket két, illetve három Gauss-görbe esetén a 6.3.2. ábra mutatja. A 6.3.1 táblázatban és a 6.3.2 táblázatban az illesztésekből kapott paraméterek találhatók [Horváth, I., 2002]. A szignifikanciát Monte-Carlo módszerrel ellenőriztem.

6.3.1 táblázat. A rövid és hosszú csoportok paraméterei.

csoportok középpont lgT₉₀ szórás súly

rövid -0,11 0,61 0,32

hosszú 1,54 0,43 0,68

6.3.2 táblázat. A három csoport paraméterei.

csoportok középpont lgT₉₀ szórás súly

rövid -0,25 0,53 0,26

közepes 0,63 0,20 0,06

hosszú 1,55 0,42 0,68

6.3.2. ábra. A két- (folytonos vonal) és háromkomponensű (szaggatott vonal) illesztés az időtartameloszlásra.

log T₉₀ N

A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése

53

A 6.3.1 táblázat adataival, mint sűrűségfüggvénnyel, véletlenszerűen választot-tam 1929 számot. Ezen számokra elvégeztem a kétkomponens- és a háromkomponens-illesztést. Természetesen három komponens esetén a likelihood érteke magasabb lett.

Ezt az eljárást elvégeztem még 99-szer (99x1929 véletlen számmal). A száz likelihood különbségeloszlását mutatja a 6.3.3. ábra.

Az eljárás során feltételeztem, hogy egy kétkomponensű mintából választok 1929 pontot. Feltételezve, hogy nincs harmadik komponens, a Monte-Carlo eljárással azt vizsgálom, hogy milyen eséllyel kaphatok a mérésnél tapasztalt likelihood javulást (6,14). Ez száz esetből egyszer történt meg, ami megerősíti a 3 szabadsági fokú χ² -eloszlást használva kapott 0,5% valószínűséget [Horváth, I., 2002].

Hogy a harmadik populáció nem véletlen fluktuáció eredménye, azt az is alá-támasztja, hogy a száz esetből szintén csak egyszer fordult elő, hogy a mérésnél kapott hat százaléknál nagyobb lett a csoport mérete. Az átlagos csoportméret a Monte-Carlo szimuláció során 2,5% volt [Horváth, I., 2002].

6.3.3. ábra. Az MC szimulált likelihood különbségek növekvő sorrendbe rendezett el-oszlása. A szaggatott vonallal jelzett 6,14-es érték az elemzésben kapott likelihood

javu-lás. Az MC szimulációkból ezt az értéket csak egy haladta meg.

A kapott paraméterek jó egyezést mutatnak a 6.2. fejezet adataival. Összeha-sonlítva a 6.2.1 táblázat adatait a 6.3.2 táblázat adataival, láthatjuk, hogy a csoportok középpontjai a közepes és hosszú kitörések esetén alig térnek el egymástól (0,63 – 0,64 valamint 1,55 – 1,52). A rövid kitörések centrumára a 6.2. fejezetben 0,56 másodpercet kaptam, míg a mostani elemzésnél 0,45 másodpercet. A szórások a rövid és hosszú

kitö-A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése

rések esetén kis mértékben változtak (0,53 – 0,50 és 0,42 – 0,37), míg a közepes cso-portra kapott szórás ezen elemzésben 0,2, a 6.2. fejezetben kapott 0,14 értékhez képest.

A csoportok részarányai a mintában a 6.2. fejezet 30 (rövid kitörések), 8 (közepes kitö-rések), 62 (hosszú kitörések) százalékához képest, ezen elemzésben 26, 6 és 68 száza-lék. A harmadik csoport nagyon hasonló paraméterekkel rendelkezik mind a két esetben (középérték, szórás és relatív darabszám). Az adatok szórásával, fluktuációjával kapcso-latban segít tájékozódni a 6.3.4. ábra, melyen a harmadik csoport elméleti és „mért”

eloszlásfüggvényét ábrázoltam.

Az ábrán látható függvény a megfigyelt T90 adatok eloszlásfüggvénye, melyből levontam a rövid és hosszú kitörések három-Gauss illesztéssel kapott eloszlását (folyto-nos vonal). Szaggatott vonallal a három-Gauss illesztéssel kapott közepes csoport elosz-lásfüggvényét rajzoltam. Az ingadozások maximum 10-15 darabszámmal térnek el az

„elméleti” Gauss-görbétől, míg a harmadik komponens amplitúdója 102. Vagyis az in-gadozásoknál 7-8-szor nagyobb „fluktuációnak” kellene létrehoznia a harmadik cso-portnak megfelelő eltérést, ha nem lenne a harmadik csoport léte valós.

6.3.4. ábra. A harmadik csoport elméleti (szaggatott vonal) és mért (folytonos vonal) eloszlásfüggvénye (a részletes magyarázat a szövegben).

A gammakitörések időtartameloszlásának elemzése

55

In document Horváth István (Pldal 50-55)