Az excentricitás momentumainak analitikus számítása

1/N_part szerinti Taylor-sort elég els® rendig kifejteni. Ebb®l a szerz®k azt a helytelen követ-keztetést vonták le, hogy {4} megegyezik az _s standard excentricitással, és így nullához tart centrális ütközésekben, valamint könnyen számítható. Ez azt jelentené, hogy pl. v₂{4} nem lenne érzékeny a résztvev® nukleonok eloszlásának uktuációira. Ez azonban nem helytálló, és az alábbiakban pontosabb analitikus kifejezést adunk erre a negyedrend¶ kumulánsra. Ennek jelent®sége tehát az elliptikus áramlásnak a kezdeti állapot uktuációira való érzékenységének, illetve függésének vizsgálatában, megítélésében van. Az{4}helyett egyszer¶bben kiszámítható _s alkalmazása a v₂ skálázás vizsgálatában pedig helytelen, félrevezet® és zavaró eredményekre vezetne, különösen kisebb atommagok esetén, ahogy azt részben már láttuk, és az alábbiakban látni fogjuk.

Megmutatjuk majd, hogy _part{4} sorfejtésében néhány O 1/N_part³

rend¶ tag nem elha-nyagolható, és meg kell tartani ®ket. A 79. ábra mutatja az part{4}-ra vonatkozó eredmé-nyünket, ahol a Glauber modell két numerikus változatát (egy normál és egy eseménykevert verzióban, ahol a nukleonok függetlenek), a félanalitikus eredményünket az 5.4 alfejezetb®l, a hasonló számolás eredményét [313]-ból, valamint a standard excentricitást (_s) hasonlítjuk össze. Számolásunk mindkét atommag esetén egyezik az eseménykevert Glauber modell nume-rikus eredményével, hiszen a számolásban nem vettünk gyelembe korrelációkat a nukleonok között. Ellentétben [313]-tel, a Cu+Cu ütközésekre_part{4}nem egyezik meg_s-nal, különösen nagyon periférikus és közel centrális eseményekre.

Az elliptikus áramlás interpretációja tehát a kezdeti állapot anizotrópiájának pontos is-meretét igényli, amelyet az atommagok átfedési zónájának excentricitásával szokás jellemezni, amelyet természetes, értelmes, robusztus és célszer¶ a nukleon-nukleon kölcsönhatási pontok térbeli eloszlásából számítani, véges számú nukleont alapul véve. Azt találtuk, hogy az ezzel a résztvev®-excentricitással normált, eseménysík-módszerrel kiértékelt elliptikus áramlás paramé-ter lineárisan függ a részecskes¶r¶ségt®l, az atommagmérett®l és ütközési energiától függetlenül, ahogy a [332,333] jóslatok ígérték.

A következ®, 5.4. alfejezetben röviden áttekintjük az excentricitás kumulánsaihoz lényegesen hozzájáruló nemtriviális tagok kiszámítását O 1/N_part³

rendig, helyesbítve ezzel a korábban az irodalomban található eredményeket [313].

5.4. Az excentricitás momentumainak analitikus számítása

A [313] publikációban Bhalerao & Ollitrault (B&O) analitikusan levezette a résztvev®-excent-ricitás momentumait azzal a két helytelen feltételezéssel, hogy a résztvev® nukleonok helye egymástól független, és hogy az 1/N_part változó szerinti Taylor-sorban azO(1/N_part)-nál ma-gasabb rend¶ tagok elhagyhatók. Az alábbiakban kiterjesztjük B&O eredményét, kényszer¶en megtartva ugyan az els® feltételezést, de megtartva a Taylor-sor összes fontos tagját.

Álta-Number of participants

79. ábra. Az_part{4}kumuláns N_part függvényében Au+Au (bal oldal) és Cu+Cu (jobb oldal) üt-közésekben√

s_{N N} =200 GeV energián az alapértelmezett numerikus Glauber modellb®l (fels® görbék);

az eseménykevert Glauber modellb®l (alsó görbék); a félanalitikus számításainkból (5.4. alfejezet); és a [313] publikációban szerepl®, pontatlan közelítésb®l. A standard excentricitást (_s) is ábrázoltuk. A kis ábrák a különböz® görbék értékeit a Glauber modell eredményeivel elosztva mutatják.

lánosítjuk a [313] publikáció (11)(14) egyenletét, és megvizsgáljuk a (8) formulát. (A [313]

publikáció egyenleteire d®lt bet¶vel hivatkozunk.)

Bármely f mennyiség átlagát sok eseményre az hfi szimbólummal, a résztvev® nukleonok számát N ≡N_part-tal jelöljük. A uktuációk vizsgálatához egy eseményen belül a nukleonokra vett átlagot is bevezetjük: {f} ≡ _N¹ PN

i=1fi. Egy konkrét eseményenre az f mennyiség uktu-ációját δ_f ≡ {f} − hfiadja meg. Kényelmes az fˆ≡f− hfi mennyiséget is bevezetni, amelyre

Az összegek mind végesek, a sorrendjük felcserélhet®. Ha a résztvev® nukleonokat véletlen sorrendben számozzuk, akkor hf_ii = hfi. Pl. az x² sok eseményre vett átlaga minden olyan nukleonra, amely mondjuk a 7-es sorszámot kapta, egyszer¶en hx²i lesz. Tehát hfˆ_ii=hfˆi= 0. Azhfˆ_igˆ_iimennyiségre: hfˆ_iˆg_ii=h( ˆfg)ˆ _ii=hfˆgiˆ ;i6=j esetén pedig: hfˆ_igˆ_ji=hfˆ_iihˆg_ji=hfˆihˆgi= 0, mivel az i-edik és j-edik (i 6= j) résztvev® nukleon pozíciója minden eseményben független egymástól. A korrelációkat elhanyagolva tehát ezt kapjuk:

hδ_fδ_gi= 1

amely megegyezik a [313]-ben szerepl® (11) formulával.

5.4 Az excentricitás momentumainak analitikus számítása 131 Ezt a számolást általánosíthatjuk magasabb rendben is, δ³-ra ekkor:

hδ_fδ_gδ_hi= hatodrend¶ tagok is hasonlóan számolhatók. Minden olyan tag, amely els®rend¶ mennyiség átlagával arányos (pl. hfˆi), elt¶nik. A nem elt¶n® tagok: Általánosságban az 1/N szerinti sorfejtésben a domináns tagok azok, amelyek bilineárisok szorzatai, pl. D

fˆˆgE

ha a δkitev®je páros, illetve amelyek bilineárisok és trilineárisok szorzatai, ha a δ kitev®je páratlan. Tehát O(δ²ⁿ⁻¹) = O(1/Nⁿ) ha n > 1 és O(δ²ⁿ) = O(1/Nⁿ) ha n ≥ 1. Ez azt jelenti, hogy minden tagot gyelembe kell vennünk O(δ⁴) rendig, ha minden O(1/N²)rend¶ tagot meg akarunk tartani, illetveO(δ⁶)rendig, ha a vezet® rendet meg akarjuk tartani az s →0esetben (ld. alább).

A [313]-ben található (8) egyenlethez vezet® Taylor-sor nem alkalmazható általánosan, mert implicit módon feltételezi, hogy1/(N ²_s)1. Mivel_s →0centrális ütközésekre, ez a mennyi-ség nem feltétlenül kicsi, és a sorfejtés centrális ütközésekre formálisan divergál. Szerencsére a (8) egyenlet nem is szükséges a (12)(14) egyenletek levezetéséhez.

Ahhoz, hogy kiszámítsuk az _part{2}² =

és felhasználva, hogy hxi=hyi=hxyi=hxyⁿi=hxⁿyi= 0. Ez a következ® egzakt magasabb rend¶ tagra O(⁰_s/N²) és elhagyható, hiszen legalább egy 1/N szorzóval kisebbek, mindenféle kompenzáló 1/s szorzók nélkül. Tehát ezt kapjuk:

²_part = ²_s +2_sδ_y²_−x² Ez ugyanaz az eredmény, mint [313]-ben a (12) egyenlet, de azt is megmutattuk, hogy minden további tag szubdomináns: Hasonlóan, a (14) egyenlet [313]-ben jól viselkedik és helyesen tartalmaz minden vezet® tagot.

Nem ez a helyzet a (8) egyenlet sorfejtésével, amely nem konvergál az _s →0határesetben.

Az _part{4}⁴ kiszámításánál [313]-b®l tudjuk, hogy az O(²_s/N) rend¶ tagok kiesnek, és az ⁴_s tagot hagyják látszólag domináns szerepben. Fontos azonban ellen®riznünk, hogy minden névlegesen magasabb rend¶ tag tényleg kicsi-e. A számításunk szervezése érdekében írjuk a (9) egyenlet sorfejtését a következ® alakba:

²_part =²_s +A+B+C+D+. . . (12) ahol A tartalmazza az összes O(δ) rend¶, B az összes O(δ²) rend¶ tagot, és így tovább.

Ezenkívül, deniáljuk a következ® határértékeket: B₀ = lim_s→0B és C₀ = lim_s→0C stb, így

lims→0²_part =B0 +C0+D0. (13)

Kiírva, a következ® egyenletekre lesz szükségünk:

A ≡ 2_sδ_y²_−x²

5.4 Az excentricitás momentumainak analitikus számítása 133

Most már kiszámíthatjuk _part{4}⁴-t:

part{4}⁴ ≡ 2 ahol minden tagot megtartottunk O(1/N) rendig, és az _s-ben vezet® tagokat O(1/N²) és O(1/N³)rendben. Az (20) egyenlet tagjait egyenként számítjuk ki, elhagyva azokat a tagokat, amelyek part{4}⁴-hez O(⁴_s/N²) vagy O(ⁿ_s/N³) rendben járulnának hozzá, minden n > 0-ra.

Megjegyezzük, hogy hr^mcos 2nφi=O(ⁿ_s). Ez a következ® kifejezésekhez vezet:

hBi = 1

hD₀i = 1

A tagokat összerendezve megkapjuk a végeredményt:

_part{4}⁴ = ⁴_s + 1

ahol most már minden vezet® tag szerepel. Azok a tagok, amelyeket elhagytunk, legalább egy 1/N faktorral kisebbek a vezet® tagoknál, kompenzáló1/sszorzók nélkül. A [313] publikációból hiányzik az O(1/N²) rend¶ tag, és ami még fontosabb, az O(1/N³) rend¶ tag is. Cu+Cu ütközésekben azO(1/N³)rend¶ tag összehasonlítható nagyságú a "vezet®"⁴_s taggal. Centrális ütközésekben, ahol_selt¶nik, azO(1/N³)tag válik dominánssá, és semmiképpen nem hagyható el. Sikerült tehát lényegesen pontosítanunk és kijavítanunk a szakirodalomban hibásan szerepl®

számítást.

135