Az egész számok gyűrűjének számelmélete az oszthatóság és a prímszám fogalmán alapul.
6.8.1. definíció.
Legyenek . Azt mondjuk, hogy b osztható a -val, vagy a osztója b -nek (a osztja b -t), ha van olyan , amelyre . Jelölése .
6.8.2. definíció.
A p 0-tól, 1-től és -1-től különböző egész számot prímszámnak nevezzük, ha , esetén vagy .
Oszthatóság szempontjából a negatív számok ugyanúgy viselkednek, mint a pozitívak, a és osztói megegyeznek, valamint ha , akkor is. Ezért ezentúl csak a nemnegatív számokkal foglalkozunk, számon mindig nemnegatív egész (természetes) számot értünk.
6.8.3. definíció.
A p 0-tól és 1-től különböző egész számot fölbonthatatlannak nevezzük, ha ,
esetén vagy .
6.8.4. tétel.
A természetes számok körében a fölbonthatatlanok megegyeznek a prímekkel.
Ezt a tételt nem bizonyítjuk. Nem bonyolult a bizonyítása, de számunkra érdektelen. A tétel maga azért fontos, mert ezen múlik a számelmélet alaptétele:
6.8.5. tétel.
Minden 1-nél nagyobb szám a sorrendtől eltekintve egyértelműen előáll prímszámok szorzataként, azaz tetszőleges esetén
ahol a -k prímszámok és az kitevők egyértelműek.
A fenti fölbontást n kanonikus alakjának nevezzük. Az kikötésre azért van szükség, mert különben tetszőleges n-et nem osztó prímeket hozzávehetnénk a felbontáshoz 0 kitevővel. Ekkor a felbontás nem lenne egyértelmű.
Egy szám kanonikus alakjának segítségével könnyen meghatározhatóak a szám osztói.
6.8.6. állítás.
Legyen , . Ekkor d előáll
alakban, ahol . Minden ilyen alakú szám osztója n-nek.
Megjegyzés: Természetesen a fenti alak nem feltétlenül d kanonikus alakja, hisz a számok 0-k is lehetnek.
A számok kanonikus alakjának segítségével meghatározható két szám legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse. Legyenek . n kanonikus alakját ,,pótoljuk” ki a k-ban szereplő, n-ben nem szereplő prímekkel 0 kitevővel és fordítva. Ekkor mindkét szám fölírásában ugyanazok a prímek szerepelnek.
6.8.7. állítás.
Legyen , . Ekkor n és m legnagyobb közös osztója
legkisebb közös többszöröse
6.8.8. definíció.
Az számokat relatív prímeknek nevezzük, ha legnagyobb közös osztójuk 1.
Az n szám osztóinak számát -nel, osztóinak összegét -nel, a nála kisebb hozzá relatív prím számok számát -nel jelöljük. Azaz
6.8.9. tétel.
Legyen . Ekkor
Bizonyítás:
esetén , ahol . így féle értéket vehet föl, n
osztóinak száma . Az i-edik helyen minden osztóban az
számok valamelyike szerepel tényezőként, ezért
A -re vonatkozó képletet a szita módszerrel fogjuk kiszámolni. Az 1-től n-ig terjedő számok közül ki fogjuk szitálni az n-hez nem relatív prímeket. Azt a tényt fogjuk kihasználni, hogy két szám pontosan akkor nem relatív prím egymáshoz, ha van közös prímosztójuk.
Minden -edik szám nem relatív prím n-hez, hisz közös osztójuk . ilyen szám van
n-ig. Ezt minden prímre végigszámolva az számhoz jutunk.
Kétszer vontuk ki azonban azon számok számát, amelyek két különböző prímmel is oszthatók, stb. Végül az
értékhez jutunk. □
Megjegyzés: Mindhárom függvény rendelkezik az úgynevezett multiplikatív tulajdonsággal. Az f egészeken értelmezett függvény multiplikatív, ha esetén . A d, σ, φ függvények multiplikativitása a rájuk vonatkozó képletből látszik.
8.1. Kongruenciák
Az egész számok körében elvégezhető a maradékos osztás. Ha , ahol , akkor b-t n-nek k-val való osztásakor kapott maradékának, vagy röviden n-n-nek k-val vett maradékának nevezzük.
6.8.10. definíció.
a kongruens b -vel modulo n, ha a és bn-nel vett maradéka ugyanaz. Jelölése
vagy .
6.8.11. állítás.
A kongruencia ekvivalenciareláció.
Bizonyítás:
Az állítás közvetlenül látszik, ha észrevesszük, hogy
pontosan akkor, ha . □
Legyenek most egész számok. Az kongruencia megoldhatóságát fogjuk vizsgálni.
Ez azt jelenti, hogy keressük azon x egész számokat, amelyre . Nyilván ha x kielégíti a feltételt, akkor is tetszőleges k egész számra, így a megoldásokat modulo c fogjuk keresni. A feltétel azzal ekvivalens, hogy van olyan , amelyre , azaz . A kétféle átfogalmazásból közvetlenül igazolható, hogy
6.8.12. állítás.
Az kongruenciában a és b leosztható és megszorozható tetszőleges c-hez relatív prím számmal, pedig leosztható tetszőleges egész számmal, a kongruencia megoldáshalmaza nem változik. A kongruencia pontosan akkor oldható meg, ha .
Bizonyítás:
A fentiek alapján csak a megoldhatóság feltétele szorul igazolásra. Ha a kongruencia megoldható, akkor miatt . Megfordítva: Elég megmutatni, hogy az
kongruencia megoldható ami az egyenlet
megoldhatóságával egyenértékű. Ehhez az euklideszi algoritmust kell elvégeznünk. Osszuk el maradékosan c-t a-val, majd a-t a kapott maradékkal, és így tovább. Az utolsó nem 0 maradék lesz , és ez kifejezhető a és c segítségével a kívánt módon. Ugyanis:
Az utolsó előtti sor alapján . Másrészt az utolsó sortól visszafelé lépegetve , ezért az utolsó előtti sorból , a másodikból , majd az elsőből
adódik. Így , tehát . □
Most már kimondható a kongruenciák megoldhatóságáról szóló:
6.8.13. tétel.
Az kongruencia pontosan akkor oldható meg, ha . A
megoldások száma modulo c.
Bizonyítás:
Csak a megoldások számát kell vizsgálnunk. Ha a kongruencia megoldható, legyen
, , . Leosztva -vel az
kongruenciát kapjuk, ahol . Megmutatjuk, hogy ekkor egy megoldás van modulo . Tegyük fel, hogy és inkongruens megoldások, azaz a
számok kielégítik a kongruenciát. Ekkor , azaz
, de =1 és miatt ez lehetetlen. Ezért egy megoldás van modulo , így számú megoldás van modulo c. □
Tekintsük most a gyűrűt. Ebben a gyűrűben az n-hez relatív prím maradékok csoportot alkotnak a szorzásra nézve, hiszen két n-hez relatív prím szám szorzata relatív prím n-hez, az 1 relatív prím n-hez, és inverze is van az összes relatív prím elemnek, hisz esetén az kongruencia megoldható.
Mivel egy elem rendje osztja a csoport rendjét, adódik az Euler-Fermat tétel:
6.8.14. tétel.
Legyen . Ekkor .
Ennek speciális esete prím esetén a ,,kis” Fermat-tétel:
6.8.15. tétel.
Tetszőleges a egész számra .
Bizonyítás:
Az állítás p-vel osztható számokra nyilván teljesül, a többire pedig az kongruencia a-val való beszorzásával adódik. □