A matematika számos területén gyakran előfordul, hogy egy bizonyos halmaz elemeiből vett párokkal foglalkozunk. Szokásos, hogy a halmaz elemeit pontokkal jelöljük a síkon, és a tekintett pároknak megfelelő pontokat egy vonallal összekötjük. Nem érdekes sem a pontok elhelyezkedése a síkon, sem a vonalak formája, de a vonalak nem mehetnek keresztül egy harmadik ponton. Ilyen rajzok láthatók a 2.1. ábrán.
2.1. ábra
-Ezeket fogjuk gráfoknak nevezni. Most definiáljuk formálisan a gráfot, és néhány további alapfogalmat.
2.1.1. definíció.
Egy gráf egy rendezett pár, , ahol V egy nem-üres halmaz, E pedig ebből a halmazból képezhető párok egy halmaza. V elemeit pontoknak vagy csúcsoknak, E elemeit éleknek nevezzük. Ha egy G gráfról beszélünk, akkor -vel illetve -vel jelöljük a gráf pontjainak illetve éleinek halmazát, míg a pontok illetve élek számát -vel ill.
-vel jelöljük.
Ha az él a párnak felel meg, akkor ez a két pont evégpontja. Ha , akkor ehurokél. Ha két különböző nem hurokélnek a végpontjai azonosak, a két élet párhuzamos vagy többszörös élnek nevezzük. Azokat a gráfokat, amelyekben nincsenek hurokélek és többszörös élek, egyszerű gráfnak nevezzük.
Ha végpontjai ill. , és , akkor
szomszédos élek. Hasonlóan, és szomszédos pontok, ha . illeszkedike-re, ha annak egyik végpontja.
Egy pont izolált pont, ha nincsen vele szomszédos másik pont, vagyis nem illeszkedik egyetlen élre sem. Egy pontra illeszkedő élek száma a pont fokszáma. Egy esetleges hurokél kettővel növeli a fokszámot. A v pont fokszámát -vel jelöljük. A maximális fokszámot Δ-val, a minimálist δ-val fogjuk jelölni.
k -reguláris egy gráf, ha minden pontjának foka k.
Ha egy n pontú egyszerű gráf tetszőleges két pontja szomszédos, akkor n-pontú teljes gráfnak nevezzük, és -nel jelöljük.
2.1.2. állítás.
Minden gráfra igaz, hogy a fokszámok összege az élszám kétszerese:
Ebből következően a fokszámok összege páros szám.
Bizonyítás:
Amikor a fokszámokat összegezzük, minden pontra megszámoljuk a hozzá illeszkedő élek számát és ezeket összegezzük. Mivel minden élnek két végpontja van, így minden élet pontosan kétszer számolunk meg, egyszer-egyszer mindkét végénél. □
Nézzük meg, mit jelentenek ezek a fogalmak a 2.1. ábrán látható gráfokon. Az első gráf , ahol és . A pont izolált pont. és párhuzamos élek, hurokél. Így az első gráf nem egyszerű, míg a második az. A második gráfon szomszédos például az és , de nem szomszédos és . fokszáma 3, -é 2. Az első gráfon fokszáma 3, -é pedig 0.
Említettük már, hogy egy gráfot több különböző módon le lehet rajzolni. A következő definíció épp azt fejezi ki, hogy ezek a rajzok ugyanazt a gráfot jelölik.
2.1.3. definíció.
A és a gráfok izomorfak, ha van olyan egy–egy értelmű megfeleltetés – bijekció – V és között, hogy G-ben pontosan akkor szomszédos két pont, ha -ben a nekik megfelelő pontok szomszédosak, és szomszédos pontpárok esetén ugyanannyi él fut közöttük.
A 2.2. ábrán látható három gráf közül az első kettő izomorf, a harmadik viszont nem izomorf velük.
2.2. ábra
-Könnyű ellenőrizni, hogy két gráf izomorf-e, ha adva van egy megfelelő bijekció. Azonban találni egy megfelelő bijekciót, vagy bebizonyítani, hogy nincs ilyen, nagyon nehéz. Előfordulhat, hogy esetet kell végignézni. Ez pedig már -nél is eltart kb. 35641 évig egy másodpercenként műveletet végző számítógéppel.
2.1.4. definíció.
A gráf a gráf részgráfja, ha , valamint
egy pont és egy él pontosan akkor illeszkedik egymásra -ben, ha G-ben is illeszkedők.
Ez utóbbi azért szükséges, mert különben előfordulhatna, hogy egy él végpontja nem tartozik a gráfhoz.
Részgráfot kapunk, ha elhagyunk néhány pontot a hozzá illeszkedő élekkel együtt, valamint esetleg még néhány élet is.
2.1.5. definíció.
Egy gráf a gráf feszítő részgráfja, ha részgráfja G-nek és , azaz ha a részgráf G összes pontját tartalmazza.
2.1.6. definíció.
Ha pontosan azokból az E-beli élekből áll, amelyeknek mindkét végpontja -ben van, és az összes ilyen élet tartalmazza, akkor a G gráf által feszített részgráfja.
A 2.3. ábra bal oldalán a vastag vonalak egy részgráfot alkotnak, amely se nem feszítő, se nem feszített részgráf. A középső ábrán viszont feszítő részgráfot láthatunk, míg a jobb oldalon egy feszített részgráfot.
2.3. ábra
-2.1.7. definíció.
A részgráf komplementere az a gráf, melyre és
. Egy G gráf komplementerén azt a gráfot értjük, amelyet akkor kapunk, ha G-t a teljes gráf részgráfjának tekintjük. Vagyis -ben azok a pontpárok vannak összekötve, amelyek G-ben nincsenek.
2.1.8. definíció.
Egy sorozatot élsorozatnak nevezünk, ha a
-t és -t összekötő él. Ha , akkor az élsorozat zárt. Ha a csúcsok mind különbözőek, akkor egy utat definiáltunk. Ha és különben a csúcsok mind különbözőek, akkor ez egy kör a gráfban. Az út vagy kör hosszán az őt alkotó élek számát értjük. Egyszerű gráfban -val írjuk le az utat.
2.1.9. tétel.
Definiáljuk a relációt úgy, hogy akkor és csak akkor, ha és vezet út p és q között, vagy . Ez egy ekvivalencia reláció.
Bizonyítás:
A reflexivitás és a szimmetria triviális. Csak a tranzitivitást kell belátnunk. Legyen a p-t és q-t összekötő, a q-t és r-et összekötő út. Legyen a legkisebb indexű p, amely előfordul a q-k között. Mondjuk
. Ekkor a egy p-t és r-et összekötő út.
□
2.1.10. definíció.
A fenti reláció ekvivalencia osztályokat határoz meg G pontjain. Az egy osztályba eső pontok által feszített részgráfokat a G gráf összefüggő komponenseinek hívjuk, számukat -vel jelöljük. Ha a komponensek száma 1, vagyis ha G bármely két pontja között vezet út, akkor a G gráf összefüggő.
A későbbiekben szükség lesz a következő fogalmakra is.
2.1.11. definíció.
Egy élhalmazt elvágó élhalmaznak nevezünk, ha az X-beli élek elhagyásával nő a gráf komponenseinek száma, azaz a gráf több komponensre esik, mint ahányból eredetileg állt. Xvágás, ha elvágó, de semelyik valódi részhalmaza nem az. Az egyelemű vágásokat elvágó éleknek nevezzük.
Néha szükségünk lesz arra, hogy irányított gráfokkal foglalkozzunk, vagyis olyanokkal, amelyeknek élei nem alakú rendezetlen párok, hanem alakú rendezett párok. Egy ilyen élnek a kezdőpontja, a végpontja. Rajzban az élet egy -ből -be mutató nyíllal ábrázoljuk. Forrásnak hívunk egy pontot, ha egyetlen élnek sem végpontja, nyelőnek, ha egyetlen élnek sem kezdőpontja.
Irányított gráfban egy utat akkor hívunk irányított útnak,
ha . Az irányított kör definíciója
hasonló. Egy irányított gráf erősen összefüggő, ha bármely pontjából bármely más pontjába vezet irányított út.