6 , 0
2 8 1
10 4 , 7
A B
B AB B
V
T D M
, (1.1.24)
ahol VA az A oldott anyag folyadék állapotú moláris térfogata (cm3/mol) a normál forrponton. A rögzített mértékegységek: DAB (cm2/s), T (K), B (mPas régebben cP). A B paraméter egy asszociációs faktor, amely vízre 2,6, metanolra 1,9, etanolra 1,5 és 1,0 a nem asszociálódó oldószerekre (pl. szénhidrogének). Folyadékokban a diffúziós együttható általában erősen függ a koncentrációtól, ezért az összefüggés híg (elvileg végtelen híg, a gyakorlati számításoknál kb. 5 mol%
alatti koncentrációjú) oldatokra vonatkozik.
1.1.3. Anyagátadás szállítással (konvektív anyagtranszport)
Az előző fejezetben tárgyalt molekuláris diffúzió lassú, ezért a fluidumok áramlási sebességét olyan mértékig megnöveljük (keveréssel vagy áramoltatással), hogy a fluidum belsejében turbulens áramlás alakuljon ki. A turbulens áramlás esetén kialakuló koncentrációprofilt mutatja az 1.1.3. ábra.
1.1.3. ábra. Az A komponens koncentrációja a határrétegben a fluidum turbulens áramlásánál A fázishatár közvetlen közelében az áramlás lamináris. Itt csak diffúzióval történik anyagátvitel (vezetéses vagy konduktív anyagátadás). A fázis fő tömegében a turbulens örvények mozgása miatt csak szállítással jön létre anyagátvitel. A két réteg közötti átmeneti zónában vezetéses és szállításos komponens átvitel egyszerre történik.
Az összetett folyamatot a Fick-egyenlettel úgy közelíthetjük, hogy a molekuláris diffúzióhoz hozzáadjuk a szállítási áramot formálisan ugyanolyan matematikai alakban
z D c D
JA AB t A
d )d
(
, (1.1.25)
ahol Dt a turbulens diffúziós együttható (m2/s). Általában a turbulens diffúziós együttható több nagyságrenddel nagyobb, mint a molekuláris diffúziós együttható. Mivel Dt nem csak a fluidum tulajdonságaitól függ, hanem az örvények helyi sebességétől is, a fluidumelemek mozgását leíró Navier–Stokes-egyenlet zárt analitikus megoldása nem lehetséges. Az (1.1.25) egyenletet sem tudjuk közvetlenül integrálni. A mérnöki gyakorlatban különböző anyagátadási modelleket használnak, amelyeknél a folyamatokat leegyszerűsítik, és matematikailag könnyen kezelhető összefüggéseket kapnak. Az anyagátadási modellek közül a legegyszerűbbet, a filmelméletet tárgyaljuk részletesen és alkalmazzuk a különböző műveleteknél.
1.1.3.1. A filmelmélet
Az anyagátvitel sebességének leírásához egy vékony határréteget, ún. filmet tételezünk fel, amelynek ellenállása megegyezik a valódi lamináris határréteg, az átmeneti zóna és a turbulens zóna részellenállásainak összegével.
1.1.4. ábra. A koncentráció-profil a határrétegben és a filmelmélet szerinti közelítése
Az 1.1.4. ábrán a valódi koncentrációváltozást és a filmelmélet szerinti koncentráció-lefutást mutatjuk be. A koncentráció a vastagságú filmben lineárisan változik és a főtömegben állandó (cA). Ezt a
koncentrációt akkor mérnénk, ha az egész fluidum-térfogatot összekevernénk. A molekuláris diffúzió (1.1.12) egyenletéhez hasonlóan felírhatjuk az A komponens áramsűrűségét
) felületen, egységnyi koncentrációkülönbség hatására létrejött anyagáramot fejezi ki. Mértékegysége tehát függ attól, hogy milyen koncentráció-mértékegységet használunk.
Megjegyezzük, hogy a anyagátadási tényező a hőtanban már megismert
hőátadási tényezővel analóg jellemző.Mivel az anyagátadással szembeni ellenállás nagyrészt a lamináris határrétegben van, a filmvastagság csak egy kicsivel nagyobb a valódi lamináris határzóna vastagságánál.
Az (1.1.26) egyenlet szerint a diffúziós együtthatóval arányos. A tapasztalat szerint a különböző áramlási és keveredési feltételeknél a DAB hatványkitevője 0,5–1,0 között változhat. A filmelmélet tehát nem írja le teljes pontossággal az anyagátadási folyamatot, ennek ellenére, egyszerűsége miatt, általánosan használják.
1.1.3.2. Egyéb anyagátadási modellek
Az a megfigyelés, hogy az anyagátadási tényező a diffúziós együttható 0,5–1,0 hatványa szerint változhat, új anyagátadási elméletek kidolgozására ösztönözte a kutatókat.
A behatolási (penetrációs) elmélet szerint a turbulens áramlású főtömegből fluidumelemek válnak le, amelyek a határzónán keresztül áramlással eljutnak a fázishatárig, ahol meghatározott ideig tartózkodnak, majd visszaáramlanak a főtömegbe (Higbie, 1935). A fluidumok érintkezési felülete időről időre megújul. A komponensátadás a fázishatáron lévő fluidumelemek között jön létre, mindaddig, amíg a fázishatáron tartózkodnak. A komponens-áramsűrűség a következő összefüggéssel számolható együttható négyzetgyökével arányos, ami megfelel a kísérleteknél tapasztalt alsó határértéknek.
Megjegyzés
A modell gyakorlati alkalmazását nehezíti az érintkezési idő (kontaktidő) számértékének meghatározása. Például folyadékban felszálló gázbuborék esetén az érintkeztetési idő a buborékátmérő és a gáz áramlási sebességének hányadosaként értelmezhető. További nehézséget okoz, hogy egy valódi készülékben a buborékok különböző átmérőjűek és eltérő sebességgel mozognak.
A felület megújulási elmélet szerint a felületen az érintkezési idő véletlenszerűen változik, ezért a tartózkodási-idő eloszlással jellemezhető. Danckwerts (1951) a folyamatos keverős tartály tartózkodási-idő sűrűségfüggvényét használta a fluidumelemek érintkezési-idő eloszlásának jellemzé-sére. A komponens-áramsűrűség ebben az esetben is a diffúziós együttható négyzetgyökével arányos.
) meghatározása ugyanúgy nehezen megoldható, mint a behatolási modellnél az érintkeztetési időé.
Összetett modellek (pl. filmpenetrációs elmélet), kettő vagy több paraméter bevezetésével, alkalmasak az anyagátadási tényező diffúziófüggésének a kísérletekkel egyező leírására. Mivel a paraméterek
meghatározása független mérésekből nehezen megvalósítható, ezért ezeket a modelleket a gyakorlatban ritkán használják.
1.1.3.3. Kétfilm-elmélet
Sok anyagátadási műveletnél egy vagy több komponens átmegy egyik fázisból a másik fázisba. A fázishatár mindkét oldalán kialakul egy diffúziós ellenállás. Ezek az ellenállások együttesen határozzák meg az anyagátvitelt az egyik fázis belsejéből a másik fázis belsejébe. A folyamat jól leírható a kétfilm-modellel (a kétfilm-elméletet Whitman javasolta 1923-ban).
a) b)
1.1.5. ábra. Koncentrációváltozás a fázishatár közelében és a helyettesítő két film a) desztilláció; b) abszorpció
A gáz-folyadék anyagátadás két jellemző példáját mutatja az 1.1.5. ábra. Az 1.1.5.a ábrán a biner elegy desztillációjánál kialakuló koncentrációprofil látható sematikusan. Az ábrán xA és yA az illékonyabb komponens móltörtje a folyadék- és gőzfázisban. A határfelületnél lévő koncentrációk (
yAi, xAi) egymással egyensúlyban lévő koncentrációk
Ai
Ai mx
y , (1.1.29)
ahol m egyensúlyi (vagy megoszlási) hányados, amely az egyensúlyi görbe meredeksége az adott koncentrációnál. Az a megfogalmazás, hogy a határfelületen pillanatszerűen beáll a fázisegyensúly egyenértékű azzal, hogy az adott komponens átvitelével szemben magán a határfelületen nincs az A komponens elnyelődik a folyadékfázisban (1.1.5.b ábra).
Az eredő ellenállást a hőtanban megismert módszerrel fejezhetjük ki a legegyszerűbben. Írjuk fel az anyagáram-sűrűséget mindegyik határrétegre:
Először végezzük el az egyenleten a kijelölt átalakításokat, majd rendezzük az egyenleteket
Ai
Ha az (1.1.32 és 1.1.33) egyenleteket összeadjuk és átrendezzük, megkapjuk az anyagátbocsátás egyenletét
)
( A A
y
A K y y
J , (1.1.34)
ahol Ky anyagátbocsátási tényező (mértékegysége megegyezik a anyagátadási tényező mértékegységével). Könnyen belátható, hogy az anyagátbocsátási tényező az anyagátadási tényezőkkel kifejezhető
y x y
m
K