A szakirodalomban megtalálható és a tudomány jelenlegi álláspontja szerint leghasználha-tóbb szilárdsági kritériumok kivétel nélkül az alábbi általános alakú polinomba foglalhatók össze:
ijkl ij kl ijklmn ij kl mn
ij
ij a a
a aijklmnopijklmnop ...c, 2
4-1
ahol:
σij – a ható feszültségi állapot tenzora, ill. annak komponensei,
aij, aijkl, aijklmnop , … a szilárdságra jellemző 2, 4, 6, 8, … dimenziós tenzorok,
c – tetszőleges skalár.
2 A (4-1) kifejezésben és a további hasonlókban az Einstein-féle összegzési szabályt alkal-mazzuk, amely szerint az azonos alsó és felső futóindexű mennyiségeket összegezni kell.
Ha a test vizsgált pontjában a ténylegesen ható feszültségi állapot összetevői (4-1)- össze-függést azonosan kielégítik, a pont éppen a tönkremeneteli határállapotban van. Geometriai szempontból a szilárdsági határállapotot a feszültségek 9-, ill. a dualitás tétel értelmében, 6-dimenziós térben definiált hiperfelület adja meg. A c skalár értéke a felület jellegét nem, csak annak nagyságát befolyásolja, ezért célszerű egységnyire választani.
A (4-1) szerint az anyag valamely pontjában a szilárdságot annyi különböző dimen-ziójú tenzor jellemzi, ahány tagot veszünk fel, ill. hagyunk meg benne. Ez azonban matema-tikai és fizikai szempontból egyaránt kényelmetlen. A modern szilárdsági kritériumok ép-pen abban különböznek egymástól, hogy (4-1) bal oldalán hány és milyen típusú tagot tar-tanak meg, ill. hogyan definiálják a tenzorkomponensek fizikai értelmét. A (4-1)- ből leve-zetett elméleteknél, egyenlőség fennállása esetén a vizsgált pont éppen a tönkremenetel határállapotában van. Ha a baloldal kisebb, mint a jobb, az anyag épen marad, ugyanakkor a reláció megfordulása tönkremenetelt jelent.
Ki kell még hangsúlyoznunk, hogy (4-1) csak akkor működik helyesen, ha benne mind a ható feszültség-állapot tenzorát, mind a szilárdsági tenzorokat ugyanabban a koordi-náta-rendszerben adjuk meg. Akkor van a legegyszerűbb dolgunk, ha koordináta-rendszernek a faanyag anatómiai főtengelyeit választjuk. A technikai szilárdságokat szinte kivétel nélkül úgyis mindig ebben a rendszerben adjuk meg. A ténylegesen ható feszültsé-gek állapotát pedig ebbe a legegyszerűbb átszámolni (ha eredetileg más koordinátarend-szerben adottak), mert a feszültségi tenzor csak kétdimenziós, így transzformálása sokkal egyszerűbb, mint a magasabb dimenziójú szilárdsági tenzoroké.
4.2.1 Az Ashkenazi-féle szilárdsági kritérium
Ashkenazi (1967) a szilárdság jellemzésére az általános szilárdsági kritérium második és negyedik tagját tartotta meg annyi változtatással, hogy a jobb oldalon az egység helyett egy tetszőleges állandót választott.
c a
aijklijkl ijklmnopijklmnop i,j,k,l,m,n,o,p= L,R,T ,
4-2
ahol: aijkl – négydimenziós tenzor,
aijklmnop – nyolcdimenziós tenzor,
c – tetszőleges skalár.
Ez a szilárdsági kritérium a feszültségek negyedik hatványát tartalmazza, a polinom tehát negyedfokú. Joggal várhatjuk el tehát, hogy az Ashkenazi-féle szilárdsági kritérium a valóságnak jobban megfelelve tudja leírni az anizotrop anyagok tényleges szilárdsági visel-kedését. Azonban a négydimenziós tenzor 34 = 81 és a nyolcdimenziós tenzor 38= 6561
komponensét még nem ismerjük, és az eddig alkalmazott eljárás, vagyis hogy egyszerű terheléseknek megfelelő feszültségi állapotok feszültségi komponenseit helyettesítjük a szilárdsági kritériumba és onnan fejezzük ki a keresett szilárdsági tenzor-komponenseket, itt nem alkalmazható a komponensek roppant nagy száma miatt.
Ashkenázinak azonban sikerült a (4-2) kifejezést oly módon átalakítania, hogy ben-ne a szilárdsági tenzor kompoben-nensei a faanyag ún. technikai szilárdságaival fejezhetők ki. A (4-2)-vel egyenértékű kifejezés a következő alakot ölti:
Egyszerű átalakítás után (Szalai 1994) a következő kifejezés keletkezik:
1
Természetes faanyagra az Ashkenazi szilárdsági kritérium – az ortotrópia miatt – a követ-kező alakot ölti:
aijkl – az Ashkenazi-féle szilárdsági tenzor,
δij – Kronecker- delta.
Meg kell azonban jegyezni, hogy célszerűbb a feszültségi invariánsokat tartalmazó képlet alkalmazása, mivel így nem kell felhasználnunk a Kronecker-deltát, ezáltal egyszerűsödnek a matematikai számítások.
4.2.2 A szilárdsági kritériumok tenzorkomponenseinek meghatározása
Az egyes tönkremeneteli elméleteknek megfelelő tenzorok eltérő rendűek és szerkezetűek.
A tenzorkomponensek meghatározási szabályai az egyes tönkremeneteli elméletek és a ható feszültségállapotok függvényei. A tenzorkomponensek meghatározásához szükséges az adott fafaj technikai szilárdságainak ismerete. Technikai szilárdságnak nevezzük az egy-tengelyű húzó-, nyomó-, valamint nyírófeszültség alkalmazása során meghatározott szilárd-sági értékeket. Tiszta nyíró igénybevétel előállítása nehéz, ezért a nyírószilárdságot közve-tett módon is meg lehet határozni (Szalai 1992a). A Nyugat- magyarországi Egyetem Faipa-ri Mérnöki Karának Műszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézetében több hazai lom-bos, valamint fenyő fafaj technikai szilárdságát határozták meg kísérleti mérések során (Szalai 1996, 1997, 1998, 1999, 2005; Garab és Karácsonyi 2010).
A tönkremeneteli elméletek alkalmazásához a következő technikai szilárdságokra van szükség, melyek kísérleti adatokból származnak:
tij ─ az i normálisú síkon ható, j tengellyel párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültséghez tartozó szilárdság (i,j = L, R, T)
4.2.2.1 Az Ashkenazi-féle szilárdsági tenzor komponenseinek meghatározása Az Ashkenazi tenzor komponenseinek a meghatározása:
valamint,
4.2.3 Az Ashkenazi-féle szilárdsági kritérium grafikus ábrázolása
Az Ashkenazi-féle szilárdsági kritérium polinomjának egy negyedfokú felület felel meg. Ez azért fontos, mert a felület nemcsak domború, hanem homorú részeket is tartalmazhat (26.
ábra), ezáltal kedvezőbben írja le a faanyag tönkremenetelét a többi elmélethez képest.
Ashkenazi elmélete tehát lényegesen változatosabb felületalakot eredményez.
Síkbeli feszültségi állapot esetén (4-2) egyszerűsödik:
Elemi matematikai műveletek sorozata után megkapjuk (4-2)-ből a nyírófeszültség komponenst (Szalai 1994):
Ezután ábrázolhatjuk a tönkremeneteli felületet. Az 26 ábrán egyértelműen kirajzolódik, hogy a tönkremenetel pillanatában milyen feszültségi állapot uralkodik a faanyagban.
26. ábra Lucfenyő szilárdsági felülete az LR síkban az Ashkenazi elmélet szerint.
Mivel a tönkremenetelt grafikusan is tudjuk ábrázolni, ezért az ábráról eldönthető, hogy a modellezett tönkremenetelhez a ténylegesen ható feszültségi állapot hogyan viszo-nyul. Ha a vizsgált feszültségi képpont a szilárdsági felületen kívül helyezkedik el, az az anyag tönkremenetelét jelenti. Abban az esetben, ha a képpont a szilárdsági felület alá esik, akkor még nincs tönkremenetel. Ha a feszültségi képpont éppen a szilárdsági felületre esik, akkor a képpontnak megfelelő feszültség-állapot az anyagot éppen a tönkremenetel határára hozza. A faanyag erőtani méretezését tehát egy számpár, ill. egy geometriai ábra segítségé-vel „egyszerűen” elvégezhető. Az egyszerű szó idézőjele arra utal, hogy a számpár megha-tározása, vagy a felület megrajzolása nem annyira könnyű feladat. Ugyanakkor még nem beszéltünk arról, hogy a faanyag, sőt a terhelések jellemzői nem determinisztikus, hanem sztochasztikus mennyiségek, így az erőtani méretezésben, azaz a tönkremenetelre jellemző számpárok és határfelület meghatározásába a valószínűség számítás és a matematikai sta-tisztika eredményeit is be kell vonni.
A Nyugat- magyarországi Egyetem, Mechanika Intézetének kutatásai szerint az Ashkenazi-féle tönkremeneteli elmélet az egyetlen, amely elméletileg és gyakorlatilag he-lyesen írja le a faanyag valóságos szilárdsági viselkedését (Szalai, 1999).