3.2 Sajátfeszültségek
3.2.1 A gyártási feszültségek analitikus meghatározása
A rétegelt-ragasztott íves fatartók gyártása során keletkező sajátfeszültségek meghatározása Szalai József nevéhez fűződik. Az ő általa már levezetett és leírt számolást mutatjuk be (Szalai (1985), (1984-85), (1994), (2001)).
Szalai (2001) szerint a rétegelt-ragasztott íves fatartók gyártása során mind a fa-anyagban, mind a ragasztórétegben ébredhetnek olyan feszültségek, amelyek a még terhe-letlen tartó tönkremeneteléhez vezethetnek. Megfelelő tervezés és gyártástechnológia esetén ezek a gyártási sajátfeszültségek önmagukban ugyan nem okoznak tönkremenetelt, de be-építés után szuperponálódnak a külső terhelésből származó feszültségekkel, és együttes hatásuk már veszélyessé válhat. Arra is szükség lehet, hogy a préselő sablonból való kivétel után mekkora lesz a visszarugózás nagysága, mi lesz a tartó új alakja, hiszen a tervekben előírt alak pontos betartása ─ különösen statikailag határozatlan szerkezetek esetén ─ igen fontos.
A gyártási sajátfeszültségek meghatározásához vizsgáljuk meg a 19. ábra által vá-zolt, n számú rétegből (lamellából) álló szerkezetet, amelynél az eredetileg egyenes i-edik lamellát úgy préseltük bele a sablonba, hogy rugalmas szálának egyenlete (i = 1,2, ... , n) legyen. Ha elfogadjuk, hogy a görbületi sugár sehol sem olyan kicsi, hogy a Hooke-törvény ne maradna érvényben, a lamellák hajlításához szükséges nyomaték és a változó nyomaték miatt szükséges nyíróerő elvileg számítható:
3-20
3-21
ahol:
– az i-edik lamella másodrendű nyomatéka saját súlyponti x tengelyére,
b – a lamellák szélessége,
– az i-edik lamella vastagsága,
– az i -edik lamella rosttal párhuzamos rugalmassági modulusa, ) – az i -edik lamella görbületi sugara a sablonbeli z helyen.
19. ábra n számú rétegből álló „szerkezet” a sablonba préselés előtt és a sablonban
A ragasztóanyag megszilárdulása után a tartót a sablonból kivéve kismértékű alak-változást tapasztalunk, aminek legszembetűnőbb formája az, hogy a görbület kisebb lesz, azaz az egyes lamellák görbületi sugara a sablonéhoz képest megnő (20. ábra).
A kivétel pillanatában a lamellákban belső erők ébrednek, amelyeknek ─ a külső terhelés hiánya miatt ─ egyensúlyi erőrendszert kell alkotniuk. Tehát bármely keresztmet-szetben ki kell elégíteniük a következő egyenleteket:
3-22
ahol: – az i-edik lamella normál igénybevétele a z helyen, – az i-edik lamella nyíró igénybevétele a z helyen, – az i-edik lamella hajlító igénybevétele a z helyen,
– az i-edik lamella súlypontjának távolsága az első lamella súlypontjától a z helyen.
20. ábra A rétegelt-ragasztott íves tartó alakváltozása a sablonból kivéve
Ezek a belső erők az i-edik és az i + l-edik lamella szélső szálaiban a következő hosszválto-zásokat hozzák létre:
3-23
ahol: – az i-edik lamella módosított másodrendű nyomatéka, – tetszőlegesen választott, fiktív rugalmassági modulus,
– az i-edik lamella módosított keresztmetszet területe.
Két alakváltozási feltételt fogalmazhatunk meg. Az első azt fejezi ki, hogy a ragasz-tóréteg mentén érintkező lamellák fajlagos hosszváltozásának meg kell egyezniük (azaz a ragasztás megakadályozza a lamellák szélső szálainak egymáson való megcsúszását):
3-24
a második azt a Bernoulli-Navier feltételezést fogalmazza meg, hogy az összkeresztmetszet a sablonból való kivétel után is sík marad:
3-25
Helyettesítsük be a feltételekbe az (3-23) alakváltozásokat:
3-26
i=1,2,…,n-1
Egy 2n egyenletből álló egyenletrendszert kaptunk, amelyből az és ismeretlen belső erők az ún. rekurzív visszahelyettesítés alkalmazásával meghatározhatók:
3-27
valamint:
i=1,2,…,n,
3-28
ahol: , , , , .
A belső erők ismeretében az egyes rétegekben a z normálisú felületen ébredő normálfeszült-ségek:
3-29
Az i-edik lamella görbületi sugara (a sablonból való kivétel után):
3-30
A keresztmetszet szögelfordulása:
3-31
Innen
3-32
21. ábra Körív alakú lamella alakváltozási jellemzői a sablonból való kivételkor
A tartó rugalmas szálának egyenlete a sablonból kivett helyzetben:
3-33
amelyben a és integrálási állandókat a kerületi feltételekből számíthatjuk. A lamellák súlypontjának eltolódását (21. ábra) az alábbi összefüggéssel számíthatjuk:
és
3-34
Amennyiben a tartóalak a körív, és a kerü-leti feltétel felhasználásával:
3-35
A (3-27) kifejezések azt mutatják, hogy belső erők és a belőlük származó sajátfeszültségek a tartó tetszőleges keresztmetszetében arányosak a sablonbeli hajlító nyomatékkal, ill. nyíró
igénybevétellel. A normálfeszültségek a tartó végén is egyensúlyi erőrendszert alkotnak, de nem teljesül az a feltétel, hogy a terheletlen végkeresztmetszeten feszültségek nem ébred-hetnek. Guyon (1951) homogén izotrop rudakon végzett vizsgálatai alapján, melyek Henrici (1977) szerint a rétegelt-ragasztott faszerkezetek lamelláira is érvényesek, a végkeresztmet-szetek közelében fellépő "feszültségtorzulás" elméleti úton is számítható. Az elmélet szerint a feszültségek eloszlásában – a Saint Venant-elvnek megfelelően - csak a lamella végek távolságú környezetében támad zavar.Szalai (1984) kísérletei azonban azt mu-tatták, hogy ez a távolság kisebb, kb. a h hosszúság felével egyezik meg. Mivel a feszültségeknek a h/2 helyen a (3-29) képlettel számított értékről a tartó végéig nullára kell csökkenniük, ezen a zavart szakaszon az egyensúly fenntartása érdekében újabb feszültség-komponenseknek is ébredniük kell. A feszültségkomponensek meghatározásánál a tartó végétől számított h/2 hosszúságú darabot egyenesnek tekintjük, ami a rétegelt-ragasztott íves tartók méreteit figyelembe véve, gyakorlatilag elfogadható. Guyon által definiált függ-vények (22. ábra):
3-36 és
A függvények értelmezési tartománya: . Az állandók értéke Henrici szerint:
A végkeresztmetszetek közelében az i-edik réteg nyírófeszültség eloszlása értelemszerűen az függvénnyel arányos:
,
3-37
ahol: – az i-edik ragasztórétegben, a helyen ébredő nyírófeszültség maximum.
számításához határozzuk meg a ragasztóréteggel párhuzamosan ébredő eltoló erőt (22. ábra). Ezt - a nyírófeszültségek hatására fellépő – eltoló erőt (3-37) z szerint ( integrálásával nyerjük a szakaszon:
22. ábra A belső erők és a sajátfeszültségek eloszlása a tartóvég közelében a ragasztórétegben és a lamel-lákban: a– az Y. Guyon által definiált függvények; b– a lamella végek közelében ébredő belső erők és
feszültségek; c– a hosszúságú i-edik lamellára ható belső erők és feszültségek.
Mivel = 1-nél a nyírófeszültségek gyakorlatilag eltűnnek, az i-edik ragasztóréteg feszült-ségmaximuma a
vízszintes vetületi egyensúlyi egyenletből meghatározható:
3-38
Ezzel a nyírófeszültség eloszlása az i-edik ragasztórétegben:
3-39
Írjunk fel a hosszúságú i-edik lamella elemre egy vízszintes vetületi egyensú-lyi egyenletet (22. ábra):
Behelyettesítve (3-39)-et, integrálva és rendezve:
3-40
A nyomatéki függvény (3-40)-hez hasonlóan alakul:
3-41
A lamella elemre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
ahonnan
3-42
A ragasztóréteg síkjára merőleges normálfeszültségek meghatározásához írjunk fel egy ve-tületi egyensúlyi egyenletet y irányban a dz hosszúságú tartódarab első i elemére (22. ábra):
innen
3-43
Ezen feszültségek szélső értékeinek helye: , és .
A (3-37) - (3-43) képletekben szereplő mennyiségek az i-edik lamellában ébredő nyomatéki és normális igénybevétel tartóvégtől számított h/2 helyen vett értékét jelentik.
Az (3-42) összefüggés levezetésénél feltettük, hogy a h/2 helyen
Mivel nemcsak a ragasztási rétegekben, hanem a faanyagban is szükség lehet a nyí-ró- és normálfeszültségek ismeretére, meghatározzuk ezeket a tartó felső szélétől mért távolság függvényében (23. ábra). A módszer ugyanaz, mint előbb, csak az távolság által kijelölt lamella igénybevételeit a valóságnak megfelelően megoszló erőrendszerként kell figyelembe venni. Tegyük fel, hogy , tehát az i+ 1-edik lamellára esik. Ennek a lamellának a saját koordinátarendszerében az -val kijelölt helyet az
kifejezéssel adhatjuk meg.
23. ábra A belső erők és a sajátfeszültségek eloszlása a tartóvég közelében a lamellákban
A 23. ábra alapján az eltoló erőre felírható függvényből kifejezhetjük az , illetve y koordi-nátájú szál nyírófeszültség-maximumát:
3-44
A nyírófeszültség menti változása pedig:
3-45
A rostokra merőleges normálfeszültség meghatározásához írjunk fel az elemi tartórészre egy vetületi egyensúlyi egyenletet y irányban (23. ábra):
Integrálva és rendezve:
3-46
Ezzel meghatároztuk a rétegelt-ragasztott íves tartók gyártás során keletkező belső erőit, sajátfeszültségeit és a sablonból való kivétel utáni alakváltozását. Felhívjuk a figyel-met arra, hogy levezetéseink során az ideális Hooke-törvényt alkalmaztuk. A gyártási
fo-lyamatban, megfelelő hőmérsékleten a viszkózus tulajdonságok már jelentős szerepet ját-szanak. Tehát amíg a tartó a préselő sablonban tartózkodik (ez általában 12-48 óra) már fellép a relaxáció jelensége. Úgy is fogalmazhatnánk, hogy a sablonba való hajlítás kezde-tekor a tartóban felhalmozott rugalmas energia a ragasztóanyag megszilárdulása – folyamán csökken. Kivételkor tehát a visszarugózás mértéke, s ezzel együtt a belső erők a rugalmasan számítotthoz képest kisebbek lesznek. A relaxációt formálisan úgy vehetjük figyelembe, hogy az rugalmassági modulusokat tartalmazó képletekben nem a kezdeti, hanem a pré-selési időnek megfelelő, csökkentett értékeket helyettesítünk be. Természetesen a relaxáció a sablonból való kivétel után tovább folytatódik és a számított belső erők és a nekik megfe-lelő sajátfeszültségek folyamatosan tovább csökkennek, jóllehet a tartó alakja gyakorlatilag nem változik. A feszültségcsökkenés sebessége a relaxációs folyamatoknak megfelelően kezdetben nagyobb, majd egyre lassúbb. A gyártási sajátfeszültségek végtelen idő után elvi-leg eltűnnek.
Még megemlítjük, hogy a fent bemutatott számító eljárás a ragasztóréteg szerepének figyelembevételére is alkalmas. Nem kell mást tennünk, mint a farétegek mellé felvesszük a ragasztási rétegeket is. Így egy n lamellából álló tartónak 2n - 1 rétege lesz. A számítás me-nete nem változik, csupán a számolás mennyisége.