A végtelenül kicsinyek (infinitezimálisok)

Fermat, aki szintén foglalkozott Apollóniosz és Papposz feladataival, 1636-ban hasonló eredményekre jutott, s így Descartes-hoz hasonló joggal tarthatnánk őt is a koordinátageometria felfedezőjének, bár ő csak egyszerűbb problémák megoldására szorítkozott. Egyesek szerint ő Oresme ábrázolástechnikájából indult ki, míg más matematikatörténészek (pl. Boyer) szerint egyszerűen a reneszánsz algebrát alkalmazta az antik problémákra.

Abban mindenesetre egyetértenek a történészek, hogy a Viéte-féle jelölésekkel a kúpszeletek elméletét dolgozta ki új módon. Nos, Fermat foglalkozott szélsőérték-problémákkal is. Descarteshez írott egyik levelében például Papposz egyik feladatát vizsgálta: adott egy téglalap két oldalának összege. Mekkorák legyenek az oldalak, hogy a maximális területet kapjuk? Papposznál a kérdés metszési probléma: az oldalak összege:a, a két oldal:aés a–x.

Fermat a következő okoskodással oldja meg a problémát: a terület:x (a–x) = ax–x².Most menjünk egy kicsit odébb a szakaszon. Ekkor a terület:

Nagyon kicsi elmozdulásnál a két terület végtelenül kicsiny mértékben tér el egymástól, így azaE– 2Ex– E²= 0 egyenlethez jutunk, eztE-vel osztvaa– 2x–E= 0, és mivelEvégtelenül kicsi,a= 2x. A megoldás tehát a négyzet.

Kicsit furcsának tűnhet az okoskodás, hogy valami azonos is meg nem is valami mással. Mégis, módszere lényegében a lim (f(x+E) –f(x))/Ehatárérték meghatározásán alapul: azokat a helyeket kereste, ahol ez nullával egyenlő.

Így Fermat, ha úgy tetszik, nemcsak az analitikus geometria, de a differenciálszámítás felfedezőjének is tekinthető.

Nem használta természetesen még a mi precíz fogalmainkat (ezek kidolgozásához majd kétszáz évre volt még szükség), ám a lényeg már megjelent munkáiban: a változó kicsiny módosításával a függvényérték változásának figyelése.

Van egy harmadik terület is, amelyen Fermat, ha nem is úttörő, de jelentős szerepet játszott. Már 20 évvel Cavalieri oszthatatlanjainak megjelenése előtt nemcsak az y= xⁿalakú görbék érintőit tudta megadni, de a görbe alatti területet is.

Fermat-val egy időben másoknál is megjelennek a végtelenül kicsiny mennyiségek. A reneszánsz ugyanis a mozgás vizsgálatában is új gondolatokat hozott. A Merton College eredményei után Tartaglia (De substilitate, 1551,Opus novum, 1570) az ágyúlövedékek pályáját, Benedetti pedig a szabadesést vizsgálva jutott új, az arisztotelészi fizikával ellentétes eredményekre. Az ő eredményeikre támaszkodva Kepler a bolygók mozgását vizsgálva egy olyan technikát alkalmazott, amit korábban a boroshordók térfogatának meghatározására dolgozott ki (Stereometria doliorum vinorum, 1615). A hordó térfogatát az alapkör sugara mentén olyan szeletekre bontotta, melyekkel azonos térfogatúak együtt egy hengerszeletet adtak, így az össztérfogatot már könnyűszerrel meg tudta határozni. Kepler szeretett volna olyan számítási eljárást találni, mellyel leegyszerűsíthette volna a rengeteg számolást, amit az apró területek összegzése jelentett. Ez a módszer – az integrálszámítás – hamarosan meg is született.

Kialakulásában fontos szerepet játszott Galilei egyik tanítványa, Bonaventura Cavalieri(Geometria indivisibilius continuorum nova quadam ratione,azazAz új módon kifejtett oszthatatlan folytonos mennyiségek geometriája, 1635), aki hasonló szeletek sokaságának tekintve az alakzatokat, a terület- és térfogatszámítás egy új elméletét dolgozta ki. Emlékszünk még Arkhimédésznek arra az ötletére, hogy a parabolaszelet területét párhozamos húrjaira bontva vizsgálja? Cavalieri ezeket oszthatatlanoknak tekintette (hogy utaljunk ismét a Bradwardine-nél már említett kontinuumvitára), ugyanakkor úgy vélte, ezek a végtelenül kicsiny szeletek a teljes alakzatnál eggyel alacsonyabb dimenziójúak. A vonalak alkotják a síkidomot és síkidomok a testeket.

Cavalieri elgondolása.

Így nyilvánvaló, hogy a területek (vagy térfogatok) aránya azonos lesz e szeletek összegzett hosszának (ill.

területének) arányával: az ábránT_ABCD:T_ABEF= Σy₁:Σy₂.

Mielőtt továbblépnénk az integrál- és differenciálszámítás fejlődésének taglalására, említsük meg kiemelkedő szerepét a század negyedik nagy újítása, a valószínűségszámítás kidolgozásában. Pascallal folytatott levelezésében a szerencsejátékok olyan régóta ismert problémáira keresték a választ, mint pl. hogyan kell felosztani a nyereségalapot a játékosok között, ha a játék menet közben megszakad. Fermat és Pascal több olyan megoldási eljárást is kidolgoztak, melyek későbbi általánosításukkal a valószínűségszámítás alapjaiul szolgáltak.

Pascalnál maradva, a szélsőérték vizsgálata izgalmas kérdés akkor is, amikor egy görbéhez húzott érintő meredekségét próbáljuk meghatározni. Az érintő a mozgás vizsgálatában azért érdekes, mert a mozgás pillanatnyi irányát mutatja. Ha az érintőhöz szelők segítségével közelítünk, az érintő ezek határhelyzetét jelenti, az „elpattanó egyenest”, amelynek már éppen csak egy közös pontja van a görbével (természetesen nem minden ilyen helyzetű egyenes lesz érintő). A görbület változásának pontjaiban (inflexiós pontok) az ilyen egyenes metszi a görbét. A görbület vizsgálatával azonban ezek az esetek szétválaszthatók.

Az érintő keresése.

Az érintő keresésekor tehát a szelők határhelyzete a

határérték meghatározását jelenti. Ez a differenciálhányados az (x,f(x)) pontban (ld. az ábrát).

A differenciálhányados keresésének inverz művelete: adott a differenciálhányados, és keressük azt a görbét, melynek az adott pontban épp ez az érintője. Nem triviális. Erre vonatkozik a Newton–Leibniz-tételként ismert összefüggés, melyet az analízis alaptételének tartanak. E tétel inkább csak a nagy mesterekre való tekintettel viseli e két kiváló tudós nevét. Az összefüggés már ismert volt Newton tanára, Isaac Barrow előtt is, aki 1699-ben megjelentLectiones geometricaec. munkájában közölte azt:

“Legyen ZGE tetszőleges görbe VD tengellyel, és legyenek e tengelyre merőleges ordináták a VZ ordinátától kezdve folyamatosan növekvőek; legyen továbbá VIF egy olyan görbe, hogy ha a VD-re állított merőleges EDF egyenes E és F pontban metszik a görbéket, VD-t pedig D-ben, a DF és egy adott R által alkotott téglalap egyenlő a közrezárt VDEZ területtel, valamint legyen DE:DF = R:DT, és vegyük TF egyenest. Ekkor TF érinti a VIF görbét.”⁵⁸

Barrow ábrája.

Hát, azt hiszem, aki ismeri az analízis alaptételét, nem erre számított. Bizony gondolkodni kell azon, valóban ekvivalensek-e. (A kedves olvasó akár le is ellenőrizheti, tud-e olyan értelmezést adni a fentieknek, melyből kijön a kérdéses tétel. Az világos, hogy van egy területet jellemző függvény, amelynek az érintőjéről mond valamit. De mit is?)

Még ha nem is tökéletesen a mai formájában, de már a kezünkben van az integrál- és differenciálszámítás összefüggése, csak éppen még egyik sem számítás. Ehhez az kell, hogy ne legyen szükség egyedi ötletekre, ha szembekerülünk egy konkrét feladattal. Legyen egy általános eljárás, mellyel bizonyos típusú feladatok megoldhatók, és el lehessen dönteni, hogy egy feladat az adott típusba tartozik-e. Ezt az általános megközelítésmódot találta meg Newton és Leibniz egymástól függetlenül. Newton már 1665-ben használta, ám csupán heurisztikus eljárásként, mivel logikai megalapozása még nem volt tiszta. Leibniz viszont publikálta saját technikáját 1684-ben (nem mintha ez sokkal világosabb lett volna). Mindketten infinitezimális (végtelenül kicsiny) mennyiségekkel számoltak, és ezek alkalmazása, ahogy azt George Berkeley aThe Analystc. munkájában megvilágította, nem volt éppen mentes a logikai hézagoktól.

A XVIII. század matematikusai igyekeztek alkalmazni e technikákat, ügyesen bűvészkedtek, osztottak, szoroztak az infinitezimálisokkal. (Ami itt problémát jelent, az az, hogy mikor lehet számolni velük mint 0-nál nagyobbal, és mikor lehet elhagyni őket, illetve ennek speciális eseteként az osztás: ha valamit az egyik lépésben nullának tekintünk, hogyan tudunk vele osztani?) E téren a Bernoulli fivérek és L`Hospital márki eredményei mellett fontos megemlíteni Leonhard Euler munkásságát. Három könyvet írt az analízisről: egy bevezetőt (1748), egyet a differenciál- (1755) és egy négykötetest az integrálszámításról (1767–1770). Ez utóbbi tartalmazza a differenciálegyenletekre vonatkozó, s a természettudományok fejlődésére oly nagy hatású ismereteket is. Könyvei összefoglalták mindazt, amit akkoriban e tárgykörben tudni lehetett. Ő adta meg az n-edrendű differnciálegyenletek elméletének általános fogalmi kereteit is. Johann Bernoulli, Euler és Lagrange új analitikus módszereket dolgoztak

58D. J. Struik:A Source Book in Mathematics (Cambridge, 1969)

ki fizikai problémák megoldására, így nemcsak a tiszta, de az alkalmazott matematika szempontjából is különösen jelentősek munkáik. A differenciál- és integrálkalkulus szigorú megalapozása azonban a határérték, a folytonosság és a valós szám fogalmának definiálásával, konvergenciakritériumok megadásával Augustin Louis Cauchy munkái (Courese d’analys, 1821) és Carl Weierstrass berlini előadásai révén majd a XIX. század vívmánya lesz.