A Kettős ÉS HÁRMAS INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI

egyenlőségekkel . Itt , így

.

5. A

KettősÉSHÁRMASINTEGRÁL ALKALMAZÁSAI

A (x, y) - síkon lévő T tartomány területe

. (1)

Legyen f a T tartományon nemnegatív függvény. Jelölje V azt a hengerszerű testet, amelyet alulról a z = 0 sík, felülről a z = f(x, y) felület, oldalról a T határára emelt, a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelület zár közre (3.148. ábra).

3.148. ábra

Ennek a hengerszerű testnek a térfogata

. (2)

A 3.148. ábrán látható F felületdarab felszíne:

. (3)

Ha a felület egyenlete vektorosan van megadva módon, akkor

. (4)

A sűrűségű T lemez tömege:

. (5)

Ha a lemez homogén, akkor .

Ugyanennek a lemeznek az x, ill. y tengelyre vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatéka:

, ill. (6)

súlypontjának koordinátái pedig:

, . (7)

Ugyanennek a lemeznek az x és y tengelyekre, ill. origóra vonatkozó másodrendű (tehetetlenségi, inercia) nyomatéka:

, , ill. . (8)

A 3.148 ábrán vázolt hengerszerű test térfogata:

. (9)

Ugyanennek a testnek az x, y, z tengelyekre, ill. origóra vonatkozó másodrendű (tehetetlenségi, inercia) nyomatéka:

, ,

, ill. . (13)

6. M

^INTAPÉLDÁK

Megoldások: láthatók nem láthatók Számítsuk ki az alábbi görbékkel határolt tartományok (síkidomok) területét:

1. , y = x;

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

A tartomány a 3.149. ábrán látható.

3.149. ábra

A két görbe metszéspontja az (1; 1) pont. A terület az (1) alapján

.

2. , ;

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

A tartományt két parabola zárja közre (3.150. ábra).

3.150. ábra

A területet az (1) alapján, a szimmetriát kihasználva, számítjuk ki. Célszerű előbb x szerint

integrálni.

.

3. y = ln x, x = 1, y = ;

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

Az (1) képletet alkalmazva, célszerű először x szerint integrálni, amint az a 3.151. ábrán látható.

3.151. ábra

.

4. r = 2, , r és poláris koordináták;

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

A 3.152. ábrán látható, hogy a tartomány szimmetrikus a tengelyre.

Ezt a szimmetriát célszerű kihasználni. A két görbe (kör és kardioid) metszéspontjainak meghatározására megoldjuk a

egyenletet. A szóbajöhető gyökök: és . Az (1) kettős integrált polárkoordináták bevezetésével számítjuk ki. A r koordináta a körtől (2 -től) a kardioidig változik.

.

5. ;

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

Írjuk fel a görbe polárkoordinátás egyenletét:

.

Ez lemniszkáta (3.63. ábra). A szimmetria miatt elegendő a tartomány első síknegyedben lévő részét kiszámítani, majd ezt néggyel szorozni.

.

6. xy = 1, xy = 8, , ;

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

A tartomány a 3.152.a. ábrán látható.

Vezessünk be új változókat az xy = u,

egyenlőségekkel. Innen

, , .

.

7. ;

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

Vezessünk be polárkoordinátákat. A görbe (kör) egyenlete . Területe:

.

8. .

Megoldás. Alkalmazzuk az (1) képletet.

Ellipszis területéről van szó (3.153. ábra).

Vezessünk be új változókat (elliptikus koordinátákat) az ,

egyenlőségekkel. Ekkor , és az ellipszis új egyenlete:

.

Területe:

.

Számítsuk ki az alábbi felületekkel határolt testek (hengerszerű testek) térfogatát:

9. z = 1 + x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0;

Megoldás . Alkalmazzuk a (2) képletet.

3.154. ábra

A test a 3.154. ábrán vázolt tartomány fölött, a z = 0 sík és a z = f(x, y) = 1 + x + y sík között van. Térfogata a (2) szerint

.

10. , z = 0, , y = 1;

Megoldás . Alkalmazzuk a (2) képletet.

A test a 3.155. ábrán látható tartomány fölött, és a paraboloid alatt helyezkedik el.

3.155. ábra

Térfogata (a szimmetriát kihasználva):

.

11. x + y + z = 2a, z = 0, ;

Megoldás . Alkalmazzuk a (2) képletet.

A testet a z = 0, a z = f(x, y) = 2a síkok és az henger zárják közre.

Alaptartomány az körlap (3.156. ábra).

Itt kihasználtuk azt, hogy .

12. ;

Megoldás . Alkalmazzuk a (2) képletet.

A a sugarú gömb térfogatát kell kiszámítani. A szimmetriát kihasználva, a

felső félgömb felület alatti (és a z = 0 sík fölötti) test térfogatát számítjuk és azt szorozzuk 2 -vel.

Az alaptartomány az körlap (3.156. ábra). Polárkoordinátákat használva, a térfogat:

.

13. , z = 0, .

Megoldás . Alkalmazzuk a (2) képletet.

A forgásparaboloid és a z = 0 sík közötti térrész térfogatát kell kiszámítani,

alaptartomány az körlap (3.156. ábra). Polárkoordinátákat vezetve be, a térfogat:

Megoldás . Alkalmazzuk a (3) képletet.

Ha , akkor , és így a (3) képlet szerint, polárkoordinátákat vezetve be,

.

16. , , , h állandó;

Megoldás . Alkalmazzuk a (3) képletet.

A felület vektorosan van megadva, ezért a (4) képletet fogjuk használni.

, ,

.

A felszín:

.

Számítsuk ki az alábbi görbékkel határolt homogén síkidomok súlypontjának koordinátáit.

17. , x + y = 2;

Megoldás Először kiszámítjuk a síkidom (lemez) (3.157. ábra) tömegét.

Mivel a lemez homogén, ezért . Az (5) képlet szerint a tömeg (jelen esetben terület):

A statikai nyomatékokat a (6) képletekkel számítjuk:

,

A súlypont koordináti a (7) képletekkel:.

, .

18. , x = 0, y = 0, , ;

Megoldás Itt egy negyedkörlap (lemez) súlypontját kell meghatározni (3.158. ábra).

A szimmetria miatt . A lemez tömege, azaz területe .

A görbe egyenlete (felső félkörív!), . A (6) képlet szerint

.

A súlypont koordinátái a (7) szerint .

19. , , y = 0, .

Megoldás A síkidom a 3.159. ábrán látható lemez, amelyet felülről egy ciklois ív határol.

A szimmetria miatt a súlypont abszcisszája . A lemez tömege, azaz a síkidom területe az (5) szerint :

.

Itt alkalmaztuk az helyettesítést.

Az x tengelyre vonatkozó statikai nyomaték a (6) szerint

.

A súlypont koordinátái: .

20. Számítsuk ki az és y = 1 görbék által közrezárt síkidom (lemez) súlypontjának a koordinátáit, ha a) ; b) .

Megoldás. A síkidom a 3.155. ábrán látható. A szimmetria miatt a súlypont abszcisszája mindkét

esetben: .

a) A lemez tömege :

.

Az x tengelyre vonatkozó statikai nyomaték:

.

A súlypont ordinátája: .

b) A lemez tömege

.

Az x tengelyre vonatkozó statikai nyomaték:

.

A súlypont ordinátája: .

21. Számítsuk ki az , homogén félkörlemez koordinátatengelyekre és az origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát.

Megoldás. Alkalmazzuk a (8) képleteket, mellett. Célszerű poláris koordinátákat bevezetni.

,

,

.

Számítsuk ki hármas integrállal az alábbi felületekkel határolt testek térfogatát:

22. , z = 0, x = 0, x = 3, y = 0, y = 2;

Megoldás. Alkalmazzuk a (9) képletet.

A test a , téglalap "fölött" helyezkedik el.

.

23. , z = x + y + 2, y = 0, y = 1, x = 0, x = 2;

Megoldás. Alkalmazzuk a (9) képletet.

A testet (hasábot) alulról ill. felülről a ill. síkok határolják. Az (x, z) –sikon lévő oldallapja a 3.160. ábrán látható.

3.160. ábra

Alaptartomány a , téglalap. A térfogat:

.

24. z = xy + 10, z = 0, ;

Megoldás. Alkalmazzuk a (9) képletet.

A test a z = 0 sík és a z = xy + 10 nyeregfelület között helyezkedik el. Alaptartomány az körlap. Vezessünk be hengerkoordinátákat. Ekkor

, , z = z, J = r.

A felület egyenlete: . A térfogat:

.

25. , z = 0;

Megoldás. Alkalmazzuk a (9) képletet.

A testet a z = 0 sík és a paraboloid határolja. A (z, x) - síkkal való metszete a 3.161. ábrán látható.

3.161. ábra

Hengerkoordinátákat alkalmazva, a térfogat:

.

26. , z = 1;

Az a sugarú gömb térfogatáról van szó. A "felső" félgömb térfogatát számítjuk, majd ezt szorozzuk 2 -vel.

a) Hengerkoordinátákat használva, a gömbfelület egyenlete: .

Alaptartomány az origó közepű, a sugarú körlap. A térfogat:

.

b) Gömbi koordinátákat használva,

, , , .

A térfogat:

.

Megoldás. Mivel forgástestről van szó (forgástengely a z tengely), ezért a súlypont rajta van a z tengelyen. Így . A harmadik koordináta ( ) kiszámításához használjuk a (12) képletek közül a harmadikat. Hengerkoordinátákat használva, a test tömege a (10) szerint :

.

Az (x, y) - síkra vonatkozó statika nyomaték a (11) szerint:

.

A súlypont koordinátája: .

30. Számítsuk ki az , , , homogén nyolcadgömbtest koordinátatengelyekre és az origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát.

Megoldás. A koordinátatengelyekre vonatkozó nyomatékok egyenlők, tehát elegendő az egyiket kiszámítani. Számítsuk ki a z tengelyre vonatkozót. Gömbi koordinátákat használva, a (13) szerint

.

Az origóra vonatkozó nyomaték:

.

7. F

^ELADATOK

Számítsa ki kettős integrállal az alábbi görbékkel határolt tartományok (síkidomok) területét:

1. , ;

Számítsa ki kettős integrállal az alábbi felületek által határolt testek térfogatát:

12. , , ;

13. , , , , , ;

14. , , , , ;

15. , , , , ;

16. , ;

17. , , ( );

Számítsa ki az alábbi görbékkel határolt homogén lemezek (síkidomok) súlypontjának koordinátáit:

27. , , ;

28. , , .

Számítsa ki az alábbi görbékkel határolt homogén lemezeknek (síkidomoknak) a koordináta tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát:

29. , , ;

30. ;

31. , , x = 2y, 2x = y (x > 0, y > 0) .

Számítsa ki hármas integrállal az alábbi felületek által határolt testek térfogatát:

32. , , , , , ;

39. , , , .

Számítsa ki az alábbi felületekkel határolt homogén testek súlypontjának koordinátáit:

40. , , ;

41. x + y + z = a, , , ;

42. , , .

43. Számítsa ki a , , egységkocka tömegét, ha a P(x, y, z) pontban a sűrűség:

.

Számítsa ki az alábbi felületekkel határolt homogén testeknek a koordinátatengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát:

44. , , , , , ;

45. , , .

46. Számítsa ki az homogén gömbtest origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát.

Megoldások

In document M ATEMATIKA II. (Pldal 35-53)