A HOSVD alapú redukció hibaszámítása hierarchikus rendszerben

Hierarchikus, csoportosított felépítésű rendszerben lehetőség van arra, hogy csak bizonyos, a valós idejű kiértékelésben részt vevő csoportok esetén alkalmazzuk a HOSVD alapú redukciót. Ekkor a módszer alkalmazása alrendszerenként történik külön redukálva a hozzájuk tartozó szabálybázist a hierarchia több szintjén, az offline kiértékelhető alrendszerek esetén pedig továbbra is az eredeti, teljes szabálybázist használhatjuk. A redukció célja, hogy kritikus helyzetben gyorsabb döntéshozást tegyen lehetővé. A HOSVD redukció hibájának meghatározására számos levezetés található a szakirodalomban [64],[65],[66], de ebben az esetben a hierarchia különböző szintjein különálló alrendszerekre kell azt alkalmazni, ezáltal fontos a hiba továbbterjedésének vizsgálata. Többszintű rendszerben az előző szinten keletkezett hiba megjelenik a következő szint bemenetén, ezért a hibaszámításkor azt is figyelembe kell venni.

HOSVD redukció esetén a redukált szabálybázis meghatározása a kimeneti tagsági függvények jellemzői (súlyközéppontja és területe) alapján történik, ezért a bemeneten keletkező hiba a szabálybázis-redukció hibáját nem befolyásolja. A hiba továbbterjedésének hatása a bemeneti tagsági függvényeknél jelenik meg, így az új bemeneti tagsági függvények meghatározásakor kell figyelembe venni, azon keresztül gyakorol hatást a kimeneti értékre.

Először egyszintű rendszer, egyszerű HOSVD redukció kimenetének hibáját ismertetem [57] alapján.

Az eredeti rendszer kimenete felírható:

 

si az eredeti szabálybázis kimeneteihez tartozó konzekvens halmazok területe,

n 1,...,i

di a súlyközépontja, n a bemenetek száma, μj,i

 

xj

j a j-edik bemenet ij-edik antecedens halmazához tartozó tagsági függvény.

A redukált szabálybázist használó rendszer kimenete:

 

s'i a redukált szabálybázis kimeneteihez tartozó konzekvens halamzok területe,

n 1,...,i

d'i a súlyközépontja, n a bemenetek száma, μ'j,i

 

xj

j a j-edik bemenet ij -edik antecedens halmazához tartozó új tagsági függvény.

A számláló és a nevező hibája külön becsülhető, először a számláló hibájának kiszámítása kerül bemutatásra, a nevező hibaszámítása ez alapján elvégezhető.

Az eredeti rendszer kimenetéhez tartozó számláló:

 

_n

 

_{2 n} közelítése a redukció első lépésében:

   

vagyis felírható, hogy

 

_RSVD,1 behelyettesítve a (4.18) összefüggést, a számláló hibája a redukció első lépésére, ismét felhasználva, hogy az antecedens halmazok Ruspini-partícióban vannak, a következőképpen adódik:

ahol d az elhagyott szinguláris értékek száma.

Abban az esetben, ha a redukció minden lépésében elvégezzük az összegnormálást az új tagsági függvények számításakor, biztosítjuk, hogy ezek is Ruspini-partícióban

legyenek, így a redukció további lépéseiben, amikor már ezekkel az új tagsági függvényekkel számolunk, a hibaszámítás hasonló módon folytatható. Így a rendszer számlálójára a redukció hibája az alábbi képlettel definiálható:



 

ahol k a lépések száma, dk a k-adik lépésben elhagyott szinguláris értékek száma [58]. A nevezőre ugyanilyen módon becsülhető a hibakorlát, majd elvégezhető a teljes rendszer kimenetére a hibabecslés. A teljes rendszer kimenetének hibája:

   

Denom összefüggéseket felhasználva



lépésben elhagyott szinguláris értékek száma, k,j pedig a k-adik lépésben elhagyott j-edik szinguláris érték.

Ez alapján a kimenet hibája felírható:

 

Mivel min(y) nullához közeli érték, az (1-min(y)) kifejezés értéke közel 1 lesz, így elhanyagolható. Denom pedig (4.16)-hoz hasonlóan felírható

 

_n

 

_{2 n} helyettesítjük, vagyis

   

felhasználásával felülről becsülhető a következő kifejezéssel

  _

tartalmazó része. Ez a képlet a hierarchia első szintjén felső hibakorlátként használható.

Abban az esetben, amikor többszintű hierarchiában az egyes szinteken szereplő alrendszerekre külön-külön kell elvégezni a HOSVD redukciót, a későbbi szinteken már figyelembe kell venni az előző szint kimenetében jelentkező, így az aktuális szint bemenetén megjelenő hibát is.

Jelölje x a bemeneti érték hibáját, ami megegyezik az adott bemenethez tartozó, a hierarchia előző szintjén keletkező kimeneti hibával. Ekkor a hierarchia i-edik (i>1) szintjén a bemenet értéke x+x. Felhasználva a trapéz alakú tagsági függvények leíró képletét:

 

módon határozhatók meg (hiba=(x)-(x+x)).

5. táblázat HIBASZÁMÍTÁS A J-EDIK TAGSÁGI FÜGGVÉNY KÜLÖNBÖZŐ SZAKASZAIRA

x (x) (x+x) Hiba

Felhasználva, hogy az antecedens halmazok Ruspini-partíciót alkotnak, tudjuk, hogy a (j+1)-dik tagsági függvény első két paramétere megegyezik a j-edik tagsági függvény harmadik és negyedik paraméterével, vagyis cj=aj+1 és dj=bj+1. Továbbá ebben az esetben megállapítható az is, hogy ha a j-edik tagsági függvény hibája 0, akkor a (j+1)-dik tagsági függvény hibája szintén 0, a többi esetben pedig a hiba mértéke megegyezik a j-edik és a (j+1)-edik tagsági függvényre vonatkozóan, ahogy alább látható:

 

függvény hibája a következőképpen írható fel:



j 1



_error MF

 

j _error

MF   (4.29)

A redukált szabálybázishoz tartozó k-adik (1knr) új tagsági függvény meghatározása a következőképpen történik:

A hierarchia első szintjén, ahol nincs még bemeneti hiba:

 

^{k MF}

 

^1*A

 

^{1,k ... MF}

   

^{n *A n ,k} szakaszonként lineáris függvény esetén analóg módon alkalmazhatók.

A hierarchia többi szintjén az előző szint hibája megjelenik minden új bemeneti tagsági függvényben, mivel azok kiszámítása során az A₁ oszlopait kell rendre beszorozni az eredeti tagsági függvényekkel. Ennek megfelelően a k-adik új tagsági függvény a hierarchia i-edik szintjén (i>1) a következőképpen írható fel:

               

A k-adik új tagsági függvény hibája:

 

k MF'

 

k MF

 

j *



A



j 1,k



A

 

j,k



MF

E_MF,k  _new  _new  _{error 1}   ₁ (4.32)

Ekkor a redukció első lépéséhez megadott számlálóban mely (4.16) segítségével definiálható, a fent bemutatott, a hierarchia első szintjén alkalmazott hibaszámításhoz hasonlóan a halmazok nem játszanak szerepet. Ennek következményeként (4.17) által megadott, a redukció első lépésének hibáját meghatározó képlet a hierarchia i>1 szintjén a következőképpen módosul

       

Felhasználva, hogy

 módosításával felírható, hogy

 

mivel az antecedens halmazok Ruspini-partícióban vannak

RSVD,1

A (4.16)-ban megadott számláló képletébe behelyettesítve a módosított képletet (4.35), a számláló hibája a hierarchia i>1 szintjén a redukció első lépésben, felhasználva, hogy az antecedens halmazok Ruspini-partíciót alkotnak:

   

RSVD,1

A redukció következő lépéseinek hibája hasonlóképpen számítható, de figyelembe kell venni, hogy az előző lépésekben kiszámított új tagsági függvények is szerepelnek már a képletben, a hozzájuk tartozó hibával együtt. Ha a redukció során a normalizálást elvégezzük, biztosítható, hogy az új tagsági függvények is Ruspini-partíciót alkossanak, ez a továbbiakban is felhasználható a bizonyítás során. A következőkben a j-edik lépés hibabecslését mutatom be. A (4.16)-ban leírt, az eredeti rendszerhez tartozó számláló a j-edik lépésben a következőképpen módosul, figyelembe véve a (j-1)-dik lépésig az antecedens halmazok hibáit.

           

bi _{ } hasonlóképpen közelíthető, mint (4.35),(4.36)-ban, így a számláló hibája: Felhasználva, hogy mind az eredeti, mind az új tagsági függvények Ruspini-partícióban vannak, a számláló hibája a j-edik lépésben a következőképpen adódik:

 

Ez alapján a teljes rendszer kimenete abban az esetben, ha feltételezzük, hogy minden bemeneten megjelenik az előző szintről továbbterjedő hiba a következőképpen adható meg.

Ha csak bizonyos bemeneteken van bejövő hiba, a képlet módosul, hiszen a hibát nem tartalmazó bemenetekre továbbra is csak a mátrixredukció hibáját kell figyelembe

venni (4.19) alapján. Az ennek megfelelően módosított általános képlet a rendszer becslésére. A nevező hibája hasonlóan becsülhető, az alrendszer teljes kimenetére felső hibakorlátként (4.25) alapján a következő képlet adódik a hierarchia i>1 szintjén, figyelembe véve az előző szintről továbbterjedő bemeneti hiba hatását:

 

felhasználásával a redukció első lépésében a számlálóra kapott hiba:

 

_k

RSVD,1 maxE

E  (4.45)

Ek a k-adik lépéshez tartozó hibamátrix, melynek kiszámítása:





ahol p az adott lépésben elhagyott szinguláris értékek sorszáma, a_1,k az adott lépéshez tartozó A₁ mátrix k-adik oszlopa, a^T_2,k az A^T₂ k-adik sora.

A redukciós hiba számítási módja mellett a rendszerben alkalmazott tagsági függvény alakja is tetszőleges lehet, a (4.44)-es képletben a bementen keletkező hiba hatására a bemeneti tagsági függvény értékében megjelenő hiba (EMF,L) megfelelő módosításával.

A mátrixredukció pontos hibája is meghatározható egy kumulált hibamátrix segítségével, ami az egyes dimenziókhoz tartozó hibamátrixok elemeit a megfelelő átalakítások után összegzi, figyelembe véve a több dimenziónál is érintett területeket a

hibamátrixban. A teljes rendszerre vonatkozó hibamátrix kiszámítása a redukálhatóság vizsgálatával párhuzamosan történhet.

Az ennek megfelelően módosított HOSVD algoritmus:

A kiinduló mátrix F₁=F , a hibamátrix kezdetben H₁ O, majd minden későbbi F_i és H_i az i-1-dik lépésben megadott módon generálható. Az algoritmus i-edik lépése (i>1) a következőkben kerül bemutatásra:

1. Az n-dimenziós F_i és H_i mátrixok méreten₁...n_n. Ezekből a mátrixból képezzük rendre a 2-dimenziós S_i és

hi mátrixokat, melynek mérete



_{1 i 1 i 1 n}



i n ... n n ... n

n    _  _   lesz.

2. S_i szinguláris érték felbontása olyan módon történik, hogy _{i i}^T

i A BA'

S  , ahol

Ai mérete n_in_i, B mérete ni



n1...ni_1ni_1...nn



, A'_i^T mérete pedig



n1...ni_1ni_1...nn

 

 n1...ni_1ni_1...nn



. 3. Az aktuális lépés hibamátrixának kiszámítása az







 ^{S VD}

r

n

1 n p

T k 2, k 1,

k λpa a

E képlettel.

4. A kumulált hibamátrix kiszámítása a h_i1 h_iE_k képlettel.

5. S_i és

1

hi_ n-dimenziós mátrixszokká alakítása, melynek eredménye rendre

1

Fi_ és H_i1, méretük n₁...n_n. Az algoritmus végrehajtása az 1. lépéstől folytatódik F_i1-re és

1

Hi_ -re.

In document Óbudai Egyetem (Pldal 66-75)