20 Elsısorban annak köszönhetıen, hogy a statisztikai programcsomagok beépített opcióként kínálják.
A normális eloszlást másik grafikus eszközzel is szemléletesen lehet megmutatni. Ez a maradékok hisztogramja. Normális eloszlásnál a hisztogram haranggörbe alakú.
Amennyiben a vizuális élményt szeretnénk számokkal is alátámasztani, akkor a legegyszerőbb megoldás egy illeszkedésvizsgálat elvégzése, ahol a H hipotézisünk 0 szerint a vizsgált minta normális eloszlást követ, míg az ellenhipotézis szerint nem.
4.1.1.7 Mozgóátlagolás
A trendet a megfigyelt idısor értékeinek átlagolásával kell elıállítani abban az esetben, ha feltételezzük a tartós irányzat létét, de nincs kellı ismeretünk a vizsgált folyamatról vagy nem tudunk analitikusan leírható függvényt meghatározni a közép- vagy hosszú távú ciklusok zavaró hatása miatt.
A módszer lényege, hogy az idısor t -dik eleméhez úgy tudunk trendértéket rendelni, hogy annak bizonyos környezetében lévı elemeket átlagoljuk. Legegyszerőbb esetben 3 tagú mozgóátlagot tudunk képezni. Ekkor a t -dik elemet megelızı és az azt követı elemek segítségével készíthetı el a trendérték. Azonban az idısor elsı és utolsó eleméhez nem lehet értéket megadni, hiszen akkor nincs megelızı/követı elem.
A gyakorlatban általában nem 3 tagú trendet számítunk, hanem m tagút. Attól függıen, hogy az m páros, vagy páratlan, szintén két eset lehetséges:
1. m páratlan
Ekkor m felírható ilyen alakban: m=2k+1 A trend általános képlete:
1 2
...
ˆ 1 ...
+
+ + + +
= − + − + +
k
y y
y
yt yt k t k t t k (4.19.)
ahol yˆ a t-dik elem trendértéke t y a t-dik elem t
≥
− + ≤
Tulajdonképpen ennek egyik speciális esete a 3 tagú trend, ami tehát a képletet követve így
Ebben a két esetben egy dolog ugyanaz, méghozzá, hogy az elsı és az utolsó k elemre nem lehet mozgó trendet meghatározni.
A mozgóátlagolás tagszámát annak függvényében kell megadni, hogy a szezonalitás van-e a vizsgált idısorban. Ha ugyanis feltételezhetı, hogy van, akkor célszerő m-et úgy megadni, hogy a periódus egész számú többszöröse legyen. Ekkor a mozgóátlagolás kisimítja a periódust. Ellenkezı esetben pedig vagy nem megfelelıen simítana, vagy éppen újabb periódust generálna.
4.1.2 Konjunktúra hatás kisz ő rése
A szabálytalan közép- vagy hosszú távú ciklus meghatározásának is két módja van, mint ahogyan a trendet is két úton lehetett kiszámítani. Mivel a ciklust az analitikus- és a mozgóátlagolású trend összevetésével lehet meghatározni, így a két módszer abban különbözik, hogy melyiket végzem el elıször.
Abban az esetben, ha a megfigyelt idısor trendjét mozgóátlagolással határozzuk meg, akkor a kapott trendértékekbıl kiindulva analitikus trendet kell számítani. Ebben az esetben a ciklus a két trend különbsége lesz.
A másik eset, amikor az analitikus trend számításával indítjuk az idısor elemzését.
Ilyenkor az illesztett trendet levonva az idısor elemeibıl megkapjuk a ciklus, a
szezonalitás és a véletlen együttes értékét. Ebbıl mozgóátlagolás segítségével határozható aztán meg a keresett tényezı, azaz a ciklus.
A két módszer bár nem egyforma, de egymáshoz igen közelálló eredményeket ad. Éppen ezért bármelyik használható.
4.1.3 Szezonalitás kisz ő rése
A trend és ciklus értékének meghatározása még nem elég egy megbízható elırejelzés készítéséhez. Feltétlenül ellenırizni kell, hogy nem maradt-e az idısorban még olyan elem, ami nem csak a véletlennel magyarázható, azaz nem maradt-e szezon hatás.
Ahhoz, hogy a szezonalitást meg tudjam határozni, ki kellett szőrni a többi komponens végül az, ami megmutatja, hogy a szezonális hatás miatt az adott idıszakban mennyivel tér el az idısor adata az alapirányzatnak megfelelı értéktıl.
A szezonális eltérést nemcsak hónapokra készítetjük el, hanem negyedévekre is, hiszen a tızsdék életében egy-egy gazdasági negyedév lezárása jelentıs változásokat hozhat.
Egy sokkal elegánsabb megoldás alkalmazható a szezonális eltérés meghatározására.
Ebben a módszerben egy többváltozós regressziós függvénnyel egyszerre lehet a lineáris alapirányzatot és a szezonalitást megkapni.
A trendet és szezonalitást meghatározó regressziófüggvény:
3 3 2 2 1 1 1
ˆ 0 t Z Z Z
yt =β +β ⋅ +α +α +α (4.21.)
ahol α1 azt mutatja, hogy a második negyedévben mennyivel volt nagyobb/kisebb a szezonhatás, mint az elsıben
α2 azt mutatja, hogy a harmadik negyedévben mennyivel volt nagyobb/kisebb a szezonhatás, mint az elsıben
α3 azt mutatja, hogy a negyedik negyedévben mennyivel volt nagyobb/kisebb a szezonhatás, mint az elsıben
Z1 értéke az egyes negyedévekben: 0 1 0 0 Z2 értéke az egyes negyedévekben: 0 0 1 0 Z értéke az egyes negyedévekben: 0 0 0 1 3
A képletbıl a negyedévek szezonalitásának értéke egyszerően határozható meg:
I. negyedév szezonális eltérése: s1
II. negyedév szezonális eltérése: s2 =s1+α1 III. negyedév szezonális eltérése: s3 =s1+α2 IV. negyedév szezonális eltérése: s4 =s1+α3
Ebbıl tehát az I. negyedév könnyen megadható, ha a regressziós függvényt már meghatároztuk, hiszen
4
3 2 1 1
α α α − −
= −
s .
4.1.4 Spline
A trendszámítás alapproblémája, hogy ismert értékekhez, illetve (azokat ábrázolva) pontokhoz keresünk egy olyan görbét, amely azokat megfelelıen jól közelíti. A matematikán belül ennek a problémának egy lehetséges megoldására az approximációt alkalmazzák.
A klasszikus interpolációs elmélet Lagrange nevéhez főzıdik. A probléma tehát, amelyre három megoldási módot is adtak azóta, a következı: keresem azt az n-ed fokú polinomot, amely minden megfigyelt értéken éppen keresztül megy, azaz illeszkedik.
Abban az esetben, ha a megfigyelés csupán két értékbıl áll, akkor a keresett polinom egy egyenes, vagyis egy elsı-fokú polinom.
A polinomom általános formája:
b x m
y= ⋅ + (4.22.)
ahol két ismeretlen van: m, amely az egyenes meredekségét adja meg,
b , amely pedig azt mutatja meg, hogy az egyenes milyen magasságban metszi az y tengelyt.
A két ismeretlen miatt ezt az egyenest 2 egyenlet megoldásával meghatározható.