STATISZTIKAI ALAPOK

(1)

I. STATISZTIKAI ALAPOK 1

STATISZTIKAI ALAPOK

x

rel. gyak

0.0 0.2 0.4

9.4 9.8 10.2 10.6

f(x)

a b x

(

^< ^≤

)

⁼

∫ ( )

b

a

dx x f b x a P sőrőségfüggvény

Folytonos valószín ő ségi változó

(2)

Folytonos valószín ő ségi változó

x

kum.rel.gyak

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6

F(x)

x_i x

F(x)

F(x_i)

( ) ( ) ∫ ( )

∞

−

=

≤

= ⁱ

x i

i P x x f xdx

x F

eloszlásfüggvény

Paraméter és statisztika

• várható érték: • számtani átlag:

• variancia • szórásnégyzet (korrigált)

( )

x =

µ

E

∑

=

= ^N

i

xi

x N

1

( )

x x²

Var =σ

∑ ( )

=

− −

= ^N

i

i x

N x s

1 2 2

1 1

sokaság minta

(3)

A legfontosabb folytonos eloszlás:

normális eloszlás

( )











 



 



 −

−

=

2

2 exp 1 2

1

σµ σ

π x x

f

Két paramétere van:

µ

^és

σ

²

x

µ

^különböz^ı

x

f(x)

σ

^különböz^ı

(4)

Várható értéke és varianciája:

( )

^x ⁼

^µ

E ^Var

( )

^x ⁼

^σ

²

Rövid jelölése:

( ^µ

^,

^σ

²

)

N pl. ^N

( )

⁰^,¹

Célszerőtranszformációt keresnünk ,

Normalizált (standardizált) normális eloszlás

u x µ σ

= −

( )

⁰

E u = ^{Var u}

( )

⁼¹

( )

¹ ^exp ²

2 2 f u u

π

 

= − 

 

(5)

1. példa

Határozzuk meg annak valószínőségét, hogy az x normális eloszlású valószínőségi változó a (

µ

^-σ^,

µ

^+σ) intervallumba esı értéket vesz fel!

( ^µ

⁻

^σ

^< ^x^≤

^µ

⁺

^σ )

⁼ ^F

( ^µ

⁺

^σ ) (

⁻^F

^µ

⁻

^σ )

P

(Pl. azt kérdezzük, hogy milyen valószínőséggel esik a 10±0.5 intervallumba, ha

µ

^=10,

σ

^=0.5)

µ

x

-1 0 1

µ

+

σ µ

−

σ

P(x ≤

µ − σ

)

P(x≤

µ

+

σ

⁾

u

(6)

intervallum

szélessége

± σ ± 2 σ ± 3 σ

P

fölsı 1

u µ σ µ

σ

= + − =

alsó 1

u µ σ µ

σ

= − − = − x

u

µ

σ

= −

2. Példa

Határozzuk meg, hogy egy N(µ,σ²) normális eloszlású valószínőségi változó értékei milyen szimmetrikus

intervallumban vannak 95 %-os, ill. 99 %-os valószínőséggel!

(Pl. µ=10, σ=0.5)

α ^0.05 ^0.01

1-α ^0.95 ^0.99

1-α^/2 ^0.975 ^0.995 u

α ^0.05 ^0.01

xalsó

xfölsı

u x

µ σ ⁻

=

x

=

u

σ µ +

(7)

x_alsó µ x_fölsõ

0

u

u_α/2 -u_α/2

α

^/2

α

^/2

x

_fölsı

x

_alsó u ^x

µ

σ

= −

A számtani középérték

(

⁺ ⁺ ⁺

)

⁼

∑

= _n x_i

x n ...

x n x

x 1 1

2 1

( )

=

[

nE

( )

x

]

=E

( )

x =µ x n

E 1

( ) ( )

n n

x x Var

Var ^x

x

2

σ

= = =

(8)

Centrális határeloszlási tétel

Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani középértéke közelítıleg normális eloszlást követ az eredeti eloszlás várható értéke körül, varianciájuk pedig

σ

²/n; tehát N(

µ

^,

σ

²/n) eloszlású.

3. példa

Ha egy µ=10 várható értékőés σ²=0.25 varianciájú sokaságból n = 5 elemőmintát veszünk, milyen intervallumban lesz a mintaelemek átlaga 95% valószínőséggel?

(

^{/ 2} ^{/ 2}

)

¹

P

µ

−u_α

σ

n < ≤ +x

µ

u_α

σ

n = −

α

(9)

u_α/ 2 =

σ

n =

u / 2 α

σ

n

µ

+ =

u / 2 α

σ

n

µ

− =

x

f(x)

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

8 9 10 11 12

egyedi ( x)

x_alsó x_fölsõ

x

f(x)

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

8 9 10 11 12

átlag

átlag_alsó átlag_fölsõ

(

)

0.95

P < ≤x =

(

)

0.95

P < ≤x =

(10)

x

f( x )

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0

átlag

egyedi

x

_alsó

x

_fölsõ

átlag_alsó átlag_fölsõ

2 2 1

a a

P -u x u

n

µ α

σ

 < − ≤ = −

 

 

u x

n

µ σ

= − u x µ

σ

= −

(az átlag is normális eloszlású valószínőségi változó)

(11)

χ

²

- (khi-négyzet-) eloszlás

2 2

1 n

i i

χ u

=

∑

( ) ^χ

² ⁼

^ν

E

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0 5 10 15 20 25

χ² f(χ²) ν=4

ν=7

ν=10

f(χ²)

χ² α

χ²α

(12)

A normális eloszlású sokaságból vett minta tapasztalati szórásnégyzetének eloszlása

( )

∑

=

− −

= ⁿ

i

i x

n x s

1 2 2

1 1

(

^xⁱ ^x

)

ⁿ

i n

− = = −

=

∑

²

1

2 2

χ σ ^, ν 1

s²

2 2

=

χ σ

ν χ ν

2

σ

2

= s 2

4. példa

Egy σ²= 0.08 varianciájú normális eloszlású sokaságból 8 elemő mintát veszünk.

a) Határozzuk meg azt a szimmetrikus valószínőségő intervallumot, amelyben az eredmények s²korrigált tapasztalati szórásnégyzete

95%-os valószínőséggel megtalálható!

(

^alsó² ² ²^fölsı

)

^0.95

P s < s ≤ s =

( )

2 2

2 2 2 2

2 ^fölsı2 0.95

alsó

alsó fölsı

s s

P

ν χ ν

P

χ χ χ

σ σ

 

< ≤ = < ≤ =

 

 

(13)

A χ

²

-eloszlás kritikus értékei

χ² f(χ²⁾

χ²_alsó χ²_fölsõ

0.025

2 fölsı

χ

2

χ

alsó

2

χ

alsó

=

2 fölsı

χ =

ν = 7

(

^alsó² ² ²^fölsı

)

^alsó² ² ² ²^fölsı ²

P χ χ χ P χ σ s χ σ

ν ν

 

< ≤ =  < ≤ =

 

b) Határozzuk meg azt az értéket, amelyet s² 95%-os valószínőséggel nem halad meg!

(

² ²^fölsı

)

^0.95

P s ≤s =

(14)

f⁽χ²⁾

χ² α

χ²α

A χ

²

eloszlás föls ı kritikus értéke: ^χ

²^fölsı ⁼^14.1

(

² ⁰^.¹⁶¹

)

⁰^.⁹⁵

2 2

2 = ≤ =









s ≤ P s

P ^fölsı

ν σ χ

t-eloszlás (Student-eloszlás)

t

f(t)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

-3 -2 -1 0 1 2 3

ν =4

ν =20

ν =1

t u E

( )

= = −s

χν

ξ ξ

2 ξ

( )

E t =0

n s t=x−µ pl.

n z= x

σ µ

−

(15)

5. példa

10 mérés eredménye:

24.46; 23.93; 25.79; 25.17; 23.82; 25.39; 26.54; 23.85; 24.19; 25.50.

Kérdés: a valódi érték 95%-os valószínőséggel milyen intervallumban van? (Adjunk 95%-os konfidencia-intervallumot a várható értékre!)

24, 9

x = s² =0, 894 s=

ν= tα 2 =

α/2 α/2

-t_α/2 0 t_α/2

f(t)

α

=

ν

= − =n 1 9

t_α2 = konfidencia-intervallum:

(

² ²

)

¹

P x−t_α s n < ≤ +µ x t_α s n = −α

(16)

F-eloszlás

Legyen és két, egymástól független,

χ

²^-eloszlású valószínőségi változó

ν

₁^{, ill.}

ν

₂szabadsági fokkal. A következıkifejezés F-eloszlású, a számláló szabadsági fokainak száma

ν

₁^{, a nevez}^ı^é

ν

₂^:

χ

1

2

χ

2

F = χ

ν χ

1 ν

2

1 2

2

2 F s

= s¹² ¹²

2 2

/ /

σ

, σ ,

σ1 σ

2 2

= 2

ha

F =s1 s

2 2 2

Az F-eloszlás kritikus értékei

f(F)

F_α F

α

( )

1

(

2 1

)

2

1 ,

, 1

ν ν ν

ν

α α

−

= F F

(17)

6. példa

Azonos analitikai módszerrel két méréssorozatot kaptunk, amelyek 4 ill. 7 mérésbıl állnak. Milyen intervallumban lehet 90 % valószínőséggel a két minta szórásnégyzetének aránya?

Minthogy azonos módszerrıl van szó, a variancia változatlan:

2 2 2

1 σ

σ =

fölsı

F =

alsó = F

(

^alsó ¹²^/ ²² ^fölsı

)

^=0.90

P F <s s ≤F

STATISZTIKAI ALAPOK