Bevezetés a számításelméletbe II. gyakorlat
mérnök informatikus szak, I. évf., 15. és 25. csoport
9. alkalom - 2011. április 4.
113. Számítsuk ki aϕ(9),ϕ(133),ϕ(540),ϕ(7!) értékeket!
114. Hány olyann pozitív egész szám van, amelyreϕ(n) = 2011? 115. Számítsuk ki108182, valamint 517 maradékát 19-cel osztva!
116. Bizonyítsuk be, hogy a) 3914−1 osztható5-tel,
b) 333444+ 444333 osztható7-tel, c) 490+ 1osztható 17-tel!
117. Oldjuk meg a4949≡x (mod 15) és a380·x≡23 (mod 100)kongruenciákat!
118. Határozzuk meg
a) 403402 utolsó három számjegyét, b) 7654
32
utolsó számjegyét!
119. Mi az utolsó két számjegye a következ® számoknak?
a) 20012005 b) 997755 c) 99! + 1 d) 51151
e) 171717−1717+ 17
120. Legyen p > 2 prímszám és X egy p-elem¶ halmaz. Bizonyítsuk be, hogy X összes valódi részhal- mazainak száma oszthatóp-vel! (Az üres halmaz ésX nem valódi részhalmazok.)
121. Csoportot alkotnak-e a megadott halmazon deniált m¶veletek? Ha igen, akkor vizsgáljuk meg, hogy a csoport kommutatív-e!
a) {egész számok, összeadás}, b) {páratlan számok, összeadás}, c) {páros számok, összeadás},
d) {2×2-es mátrixok, mátrixszorzás}, e) {n-edik komplex egységgyökök, szorzás},
f) {a síkvektorok halmaza, a síkvektorok összeadása},
g) {egy tetsz®legesX halmaz összes részhalmazainak halmaza, a halmazok uniója},
h) {egy tetsz®legesX halmaz összes részhalmazainak halmaza, a halmazok szimmetrikus dierenciája}
122. Írjuk fel az alábbi csoportok Cayley-táblázatát! Melyek izomorfak egymással?
a) {mod 4 maradékosztályok, összeadás}, b) {mod 8 redukált maradékosztályok, szorzás}, c) a téglalap szimmetriacsoportja
123. Csoportot, illetve félcsoportot alkot-e az alábbiH halmaz a ∗m¶velettel?
a) H az egész számok halmaza, és aza,b∈H számokraa∗b=a+b+ 1.
b) Legyenmegy rögzített szám és H={1,2, . . . , m−1}, továbbá a∗b=ab (modm).
c) Hazonf függvények halmaza, amelyekf(x) =cx+dalakúak, aholc6= 0. A∗m¶velet pedig a függvények egymás után való alkalmazása (kompozíció, jelölése az analízisbenf ◦g).
d) H a valós számok halmaza ésa∗b=a+b+ab.
e) H a 2010 pozitív osztóinak halmaza, és aza, b∈H számokraa∗b= (a, b).
124. Zárt-e az irracionális számok halmaza az összeadásra nézve? Zárt-e a pozitív racionális számok halmaza az osztás m¶veletére? Van-e a pozitív racionális számok körében minden számnak inverze a szorzásra nézve?
125. Bizonyítsuk be, hogy ha aGcsoport minden elemének négyzete az egységelem, akkor Gkommutatív!
