Kvantumelektrodinamika és Kvantumoptika

(1)

„Ágazati felkészítés a hazai ELI projekttel összefüggő képzési és K+F feladatokra ”

TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt

Kvantumelektrodinamika és Kvantumoptika

3. ELADÁS

A sokmódusú mez® és a töltésrendszer dinamikájának együttes kvantálása

Benedict Mihály

SZTE TTIK Elméleti Fizikai Tanszék, Szeged, 2015

(2)

Tartalom

1

Tartalom

2

Klasszikus elektrodinamika reciprok térben

3

Longitudinális és transzverzális vektormez®k

4

A töltések és a mez® energiája, impulzusa

5

A mez® mozgásegyenletei, normálkoordináták

6

A mez® kvantálása és a fotonkép

7

Általános egyfotonos állapotok

8

Ellen®rz® kérdések

Benedict Mihály 3: Sokmódusú mez® kvantálása 2 / 28

(3)

Klasszikus elektrodinamika reciprok térben

Bevezetés

A mez® kvantumos tulajdonságainak matematikai megfogalmazása többféle módon is történhet. Itt a hagyományos utat követjük: a mez® térbeli változását fölbontjuk normál módusokra, és az egyes módusokat mint harmonikus oszcillátorokat kvantáljuk a

kvantummechanikából megismert módon. Lehetséges másfajta eljárás is, erre nézve lásd [1]

C. Cohen-Tannoudji, J. DuPont-Roc, G. Grynberg, Photons and Atoms Vol 1. Wiley N.Y. 1989.

Tekintsük el®ször azt az esetet, amikor az elektromágneses mez®t jellemz®Eelektromos és Bmágneses térer®sségekre olyan határföltételt írunk el®, hogy ezek a végtelenben elegend®en gyorsan elt¶njenek. Ebben az esetben a MaxwellLorentz egyenletekben szerepl® valamennyi mennyiségnek, a térer®sségeknek és a töltéseknek illetve áramoknak továbbá az elektrodinamikában nagyon fontos szerepet játszó potenciáloknak létezik a térbeli Fourier- transzformáltja.

(4)

Fourier- transzformáció

A megfelel® reciprok tér változóját a szokásos módonk-val jelöljük, míg ezek függvényeit a írott bet¶kkel, a Fourier- transzformációs hozzárendelést pedig egy kétvég¶ nyíllal fogjuk jelölni:

E(k, t) = 1 (2π)³²

Z

d³r E(r, t)e^−ikr,

E(r, t) = 1 (2π)³²

Z ∞

−∞

d³kE(k, t)e^ikr.

E ↔ E A ↔ A,

B ↔ B U ↔ U,

% ↔ ρ J ↔ j.

Az elektrodinamikában el®forduló mennyiségek valós függvények, ezért E(r, t) =E^∗(r, t),

stb., amib®l következik, hogy

E(k, t) =E^∗(−k, t). (3.1)

(5)

Konvolúciós tétel

MásképpenE^∗(k, t) =E(−k, t), ugyanis:

E=E^∗= Z d³k

(2π)³²

E^∗(k, t)e^−ik·r= Z d³k

(2π)³²

E^∗(−k, t)e^ik·r.

A továbbiakban gyakran használjuk a Fourier- transzformáltakra vonatkozóPlancherel Parseval tételt, mely szerint:

Z

d³rF^∗(r)G(r) = Z

d³kF^∗(k)G(k). (3.2)

Érvényes továbbá az úgynevezett konvolúciós tétel:

f(r) = 1 (2π)³²

Z

d³r⁰F(r⁰)G(r−r⁰) ↔ F(k)G(k), (3.3)

azaz 1

(2π)³² Z

f(r)e^−ik·r=F(k)G(k).

(6)

Maxwell egyenletek reciprok térben

Egyszer¶ integrálással vagy táblázatok segítségével meggy®z®dhetünk arról, hogy 1

4πr ↔ 1

(2π)³² 1 k²,

r

4πr³ ↔ 1

(2π)³²

−ik k² ,

δ(r−rα) ↔ 1 (2π)³²

e^−ik·r^α.

A föntiek alapján a MaxwellLorentz egyenleteket reciprok térben a következ® alakba írhatjuk:

ik·E= ρ ε0

, ik·B= 0, (3.4)

ik×E=−B,˙ k×B= 1 c²

E˙+ 1

ε0c²j. (3.5)

(7)

Maxwell egyenletek reciprok térben

A kontinuitási egyenlet:

ik·j+ ˙ρ= 0.

A potenciálok és a térer®sségek kapcsolata pedig:

B=ik×A, E=−A˙ −ikU.

aholAésUa vektor- illetve a skalárpotenciál Fourier-transzformáltját jelenti.

A reciprok térben fölírt összefüggések azrtérben tekintett egyenletekkel szemben közönséges, csak id®deriváltakat tartalmazó dierenciálegyenletek, más szóval az elektrodinamika aktérben lokális.

(8)

Longitudinális és transzverzális vektormez®k

Longitudinális és transzverzális komponensek reciprok térben

EgyVk(r)vektormez®t longitudinálisnak nevezünk, ha

∇ ×Vk(r) = 0,

azaz reciprok térben

ik×V_k(k) = 0.

EgyV⊥(r)vektormez® pedig transzverzális, ha

∇ ·V⊥(r) = 0,

azaz

ik·V_⊥(k) = 0.

A feltételeknek mindenrilletvekhelyen érvényesnek kell lennie. Így a reciprok térben bármelyV(k)vektormez® természetes és egyszer¶ módon fölbontható longitudinális és transzverzális komponensekre.

(9)

Longitudinális és transzverzális komponensek reciprok térben

A reciprok térben bármelyV(k)vektormez® természetes és egyszer¶ módon fölbontható longitudinális és transzverzális komponensre. Bevezetve a

κ:= k k

egységvektort,

V(k) =V_k(k) +V_⊥(k), ahol V_k(k) =κ(κ·V) V⊥(k) =V(k)−κ(κ·V) =−κ×(κ×V).

Vk(r)ésV⊥(r)ezekb®l Fourier- transzformációval kaphatók meg.

A (3.4) divergenciás Maxwell egyenletek szerint B=B_⊥, B_k≡0,

ik(Ek+E⊥) =ik·Ek= 1 ε0

ρ,

amib®l E_k=−i ε0

ρ(k) k

k². (3.6)

(10)

A longitudinális térer®sség

Mivel az itt szerepl® Fourier- transzformáltakra fennáll, hogy

−i ε0

k

k² ↔ 2π³² 4πε0

r

r³, ρ(k) ↔ %(r),

ezért a (3.3) konvolúciós tétel szerint:

E_k(r, t) = 1 4πε0

Z

d³r⁰%(r⁰, t) r−r⁰

|r−r⁰|³. (3.7)

Pontszer¶ töltéseket föltételezve a töltéss¶r¶ség és az árams¶r¶ség kifejezése:

%(r⁰, t) =X

α

qαδ(r⁰−rα(t)), J(r⁰, t) =X

α

qαvαδ(r⁰−rα(t)),

ahol azαa pontszer¶nek feltételezett töltéseket indexeli. Így (3.7) alakja Ek(r, t) = 1

4πε0

X

α

qα

r−rα(t)

|r−rα(t)|³. (3.8)

A longitudinális elektromos mez® egytid®pillanatban olyan, mintha a%(r, t)töltéseloszlás sztatikus lenne, mert azEkennek instantán értékét®l függ, azaz nincs késleltetve. Ez azonban nem jelenti azt, hogy létezik a fénysebességnél gyorsabb jel, mert zikai jelentése csak azE=Ek+E⊥teljes térer®sségnek van, amelyr®l viszont kimutatható hogy retardált.

(11)

A transzverzális térer®sség

Levezetésünkb®l látható, hogyEk(r, t)fenti kifejezése független a mértékt®l (bár néhány könyvben a Coulomb-mérték segítségével vezetik be), hiszen a potenciálokat nem is használtuk.

AzEés a potenciálok kapcsolatára érvényes:

E⊥=−A˙⊥, Ek=−A˙k− ∇U,

mivel∇ × ∇U= 0. Látható, hogy Coulomb mértékben, (ahol∇ ·A= 0, azazAk= 0) E_k=−∇U, amib®l következik, hogy

U(r, t) = 1 4πε0

Z d³r⁰%(r⁰, t)

|r−r⁰| .

Ezért is nevezik a∇ ·A= 0föltételt Coulomb-mértéknek, mert ekkor a skaláris potenciál id®ben változó töltések esetén is a Coulomb törvénynek megfelel® alakú.

A föntiekb®l egyébként az is egyszer¶en látható, hogyA⊥mértékinvariáns, a mértéktranszformáció csakAk-t változtatja.

(12)

A töltések és a mez® energiája, impulzusa

A mez® energiája

Az elektrodinamikából ismeretes, hogy a töltések és a mez® teljes energiája:

H=X

α

1

2mαv²_α(t) +ε0

2 Z

d³r(E²+c²B²). (3.9) A Maxwell egyenletekb®l és a töltések mozgásegyenletével kimutatható, hogyHállandó, ha egy végtelenbe kiterjesztett felületen azS:=ε0c²(E×B)Poynting-vektor integrálja nulla.

A (3.9) energiából a (3.2) Plancherel-tétel segítségével leválasztható azEk-hoz tartozó rész:

ε0

2 Z

E²d³r=ε0

2 Z

|E_k(k)|²d³k+ε0

2 Z

|E_⊥(k)|²d³k,

mertE_k·E⊥≡0.

Legyen

H_long:=ε0

2 Z

d³k|E_k(k)|²=ε0

2 Z

E_k²d³r és H_trans:= ε0

2 Z

(E²_⊥+c²B²)d³r.

A mez® teljes energiája a longitudinális és transzverzális rész összege:

H=H_long+H_trans.

(13)

Transzverzális és Coulomb energia

Mivel az (3.6) Gauss törvény szerintE_k(k) =−ⁱ

ε₀ ρ(k)k

k² , a longitudinális energia H_long=ε0

2 Z

d³k|E_k(k)|²= 1 2ε0

Z

d³kρ^∗(k)ρ(k)

k² = 1

8πε0

Z

d³rd³r⁰%(r)%(r⁰)

|r−r⁰| ígyH_longa töltések Coulomb-féle elektrosztatikus energiája, melyet a továbbiakban V_Coul-bal jelölünk.

A teljes energia tehát

H=H_trans+V_Coul+X

α

1

2mαv²_α=

=ε0

2 Z

(E²_⊥+c²B²)d³r+ 1 8πε0

Z

d³rd³r⁰%(r)%(r⁰)

|r−r⁰| +X

α

1 2mαv²_α.

(14)

A mez® impulzusa

Az elektrodinamika szerint a töltések és a mez® együttes impulzusa:

P=X

α

mαvα+ε0

Z

E×Bd³r,

amelyr®l kimutatható, hogy állandó, ha a Maxwell féle feszültségi tenzor felületi integrálja egy elegend®en nagy felületen elt¶nik. A mez® impulzusa a következ® két tag összegére bontható:

P_trans=ε0

Z

E⊥×Bd³r=ε0

Z

E^∗_⊥(k)×B(k)d³k,

P_long=ε0

Z

Ek×Bd³r=ε0

Z

E^∗_k(k)×B(k)d³k.

E_k=−^iρ(k)k

k² ésB=ik×Akihasználásával:

P_long=ε0

Z

d³kiρ^∗ ε0

k

k² ×(ik×A) = Z

d³kρ^∗(k)(A−κ(κ·A)) = Z

d³kρ^∗(k)A⊥(k).

ÍgyP_long=R

d³r%A⊥=P

αqαA⊥(rα).

P_longmértékfüggetlen, mertA⊥is mértékfüggetlen.

(15)

A mez® impulzusa és a Hamilton függvény

A teljes impulzus tehát:

P=X

α

(mαr˙α+qαA⊥(rα)) +P_trans.

Az egyes részecskékre

pα=mαr˙α+qαA⊥(rα), azaz P=X

α

pα+P_trans.

A teljes energia így a

H=X

α

1 2mα

(pα−qαA⊥(rα))²+V_Coul+H_trans

alakba is írható. Err®l aH-ról kimutatható, hogy az a mez® és a részecskék együttes rendszerénekHamilton függvénye Coulomb mértékben(amikorA=A⊥), azaz a bel®le származó kanonikus egyenletek éppen a mez® és a töltések mozgásegyenleteit adják.

(16)

A mez® mozgásegyenletei, normálkoordináták

A töltések és a mez® állapothatározói

A korábbiak szerint a rotációs" Maxwell egyenletek alakja aktérben

B˙ =−ik×E=−ik×E_⊥, (3.10)

E˙_⊥=ic²k×B− 1 ε0

j⊥. (3.11)

Az (3.10) összefüggéstk-val való vektori szorzással úgy is írhatjuk, hogy

k×B˙ =ik²E⊥. (3.12)

Ezen els®rend¶ dierenciálegyenletek megoldását az egyes mennyiségekt= 0-ban vett értékei teljesen meghatározzák, ezért a a mez® és a töltések állapotátt0-ban az

{E_⊥(k, t0),B(k, t₀), rα(t0), ˙rα(t0)}

mennyiségek adják meg. Vegyük észre, hogy a mez®nek csaka transzverzális része állapothatározó, a longitudinális részt(csakE-nek van) ugyanisa töltések helye az Ek(r, t) = _4πε¹

0

P

αqα r−r_α(t)

|r−r_α(t)|³ összefüggésselmár egyértelm¶en meghatározza.

(17)

Normálkoordináták

A fönti (3.11) és (3.12) egyenleteket átírhatjuk a következ® módon:

κ×B˙ =ikE⊥, E˙_⊥=ic²kκ×B− 1

ε0

j⊥.

Az els® egyenletetc-vel szorozva az egyenletek különbsége és összege:

∂

∂t(E⊥∓cκ×B) =∓iω(E⊥∓cκ×B)− 1 ε0

j⊥, itt ω:=c|k|

ak-val jellemzett móduskörfrekvenciája, csak|k|-tól függ, ígyωnem adja a módus egyértelm¶ jellemzését.

−i

2(E⊥−cκ×B) =:N(k)α(k) (3.13) denícióval bevezetjük a mez®α(k)normákoordinátáit, melyek az id® függvényei. N(k) egyel®re szabadon választott állandó, melyet kés®bb alkalmas módon határozunk meg. A térer®sségek valós voltából (3.1) egyszer¶en következik, hogy

α^∗(k) = i

2N(k)(E^∗_⊥(k)−cκ×B^∗(k) = i

2N(k)(E_⊥(−k) +c(−κ)×B(−k)), azaz N(k)α^∗(−k) = i

2(E_⊥(k) +cκ×B(k)).

(18)

A normálkoordináták dierenciálegyenlete

Így el®bbi (3.13) denícióink alakja:

− i

2N(k)(E_⊥−cκ×B) =α(k, t), − i

2N(k)(E_⊥+cκ×B) =−α^∗(k, t).

AzE_⊥ésBid®deriváltjaira vonatkozó (3.11, 3.10) egyenletekb®l:

˙

α+iωα= i

2ε0Nj⊥(k), ahol α(k)·k= 0, tehátαis transzverzális.

3.1. ábra:

Aktérben ak-ra mer®legesen derékszög¶ bá- zis:és⁰ :

·k=⁰k=·⁰= 0

Ábra: Ak=kκ-ra mer®leges vektorok föl- bontása polarizációs komponensekre.

(19)

Polarizáció és normálás

α(k, t) =α+⁰α0=X

α(k, t), ahol α=·α

Eszerint

˙

α+iωα= i

2ε0N(k)·j⊥= i 2ε0N(k)·j.

Azα(k)deníciójából kifejezhetjükE⊥-et ésB-t E_⊥=iN(k)(α−α^∗−), B=iN(k)

c (κ×α+κ×α^∗−), aholα−=α(−k, t). Válasszuk a normálási tényez®t a következ®képpen:

N(k) = s

~kc 2ε0

= s

~ω 2ε0

, (3.14)

mert ez lesz összhangban a következ®ben tárgyalandó kvantumos formalizmussal.

Ekkor az energia:

H_trans=ε0

Z

d³kN²(α^∗α+α−α^∗₋) = Z

d³k~ω

2 (α^∗α+α−α^∗₋).

(20)

Térer®sség és energia normálkoordinátákkal

A második tagban egyk→ −khelyettesítéssel a

H_trans= Z

d³k~ω

2 (α^∗α+α α^∗)

alakba is írható. A két tagot így össze is lehetne vonni, azonban ezt itt, alább tárgyalandó okok miatt, még nem tesszük meg.

Az elektromos térer®sség alakja ezzel a normálással:

E⊥(r) =i Z

d³kX

Eω(αe^ikr−α^∗e^−ikr), ahol Eω= s

~ω 2ε0(2π)³.

(21)

Áttérés diszkrét módusokra

Mind elméleti, mind kísérleti szempontból fontos a mez® normál módusokra való fölbontásának az a változata, amikor az elektromágneses teret egy üregben vizsgáljuk. Az egyszer¶ség kedvéért az üreget egyLoldalhosszúságú kockának tekintjük. Ebben az esetben a térer®sséget Fourier integrál helyett Fourier sorba fejthetjük, vagyis akvektorra

vonatkozó integrálok helyett a

kx,y,z=2π Lnx,y,z

diszkrét indexekre való sorokat használunk. Azα(k, t)változókat ekkor azαk(t)diszkrét mennyiségek helyettesítik, amelyeket még tömörebbenαi-vel jelölhetünk, ahol aziindex a (kii)indexek helyett áll. A kétfajta el®állítás között a kapcsolat a következ®:

Z

d³kX

f(k, )←→X

i

2π L

3

f(ki, i).

(22)

A térer®sségek, az energia és az impulzus diszkrét módusok esetén

Az egyes zikai mennyiségek alakja a diszkrét változat esetén a következ®:

H_trans=X

i

~ωi

2 (α^∗_iαi+αiα^∗_i),

P_trans=X

i

~ki

2 (α^∗_iαi+αiα^∗_i),

A⊥=X

i

Aω_ii(αie^ikⁱ^r+α^∗_ie^−ikⁱ^r),

E⊥=iX

i

Eω_ii(αie^ikⁱ^r−α^∗_ie^−ikⁱ^r), (3.15)

B=iX

i

Bω_i(αiκi×ie^ikⁱ^r−α^∗_iκi×ie^−ikⁱ^r), (3.16) ahol

Eω_i= ~ωi

2ε0L³ ¹

2, Bω_i= E_ω_i

c , Aω_i=E_ω_i ωi

.

(23)

A normálás jelentése

AzN(k)normálási tényez® (3.14) szerinti választása így annak felel meg, hogy azi-edik módusban az elektromágneses energias¶r¶ség egy periódusra vett átlaga:

1

2ε0(E_ω²_i+c²B_ω²_i)|αi|²= 1 L³

~ωi

2 |αi|²,

vagyis azL³ térfogatban|αi|²= 1amplitúdó esetén éppen^~ω₂ⁱ energia van.

Azαi-re vonatkozó dierenciálegyenlet:

˙

αi+iωiαi= i

√2ε0~ωi

Z 1

√

L³i·J(r)e^−ikrⁱd³r.

Megjegyezzük még, hogy azαidiszkrét változók dimenziótlanok, tehát dimenziójuk más, mint azα(k)folytonos változóké:

αi= 2π

L 3/2

α_i(ki).

(24)

A mez® kvantálása és a fotonkép

Kvantálás

A töltések és a mez® együttesét úgy tekintjük mint pontszer¶ részecskékb®l és harmonikus oszcillátorokból álló kölcsönható rendszert. A kvantálás legegyszer¶bb módja, hogy a részecskékrαi hely- illetvepαiimpulzuskomponenseit a szokásos módonoperátoroknak tekintjük, és ugyanezt tesszük az oszcillátorokαiésα^∗_i normál változói helyett bevezetett

αi→ai, α^∗_i →a^†_i (3.17)

mennyiségekkel is, az alábbi fölcserélési relációkat írva el® rájuk:

[rαi, rβj] = 0, [pαi, pβj] = 0, [rαi, pβj] =i~δαβδij, (3.18) [ai, aj] = 0, [a^†_i, a^†_j] = 0, [ai, a^†_j] =δij. (3.19) Az eljárás megalapozható a mez® és a töltések rendszerére alkalmazott egzakt kanonikus formalizmussal is, ahol a teljes Hamilton-függvény Coulomb-mérték esetén azonosnak adódik a föntebb márH-val jelölt teljes energiával. Az eljárást lerövidítve ezt most egyszer¶en posztuláljuk: el®írjuk, hogy a Hamilton függvény éppen a teljes energiára kapott kifejezés, a változóit a fönti kommutátoroknak eleget tev® operátoroknak tekintjük, ígyH maga is operátor lesz:

H:=X

α

1 2mα

(pα−qαA⊥(rα))²+V_Coul+H_trans, ahol

H_trans=X

i

~ωi

2 (a^†_iai+aia^†_i), V_Coul= 1 8πε0

X

α6=β

qαqβ

|rα−rβ|.

(25)

A szabad tér stacionárius állapotai

Eljárásunkat az indokolja, hogy ha aH operátorral fölírjuk azrα,pαmennyiségekre vonatkozó kvantumdinamikai mozgásegyenleteket (Heisenberg képben), akkor a töltések mozgásegyenleteinek kvantumos változatát nyerjük, ha pedig azaiilletvea^†_i operátorok id®deriváltját számítjuk ki, akkor a mez® dinamikáját leíró Mawell egyenletek kvantumos megfelel®it kapjuk a (3.15) és (3.16) egyenletekben megadott elektromos és mágneses téroperátrokra.

H_transfönti kifejezése a tradicionális alak, amelyet az[ai, a^†_j] =δijfölcserélési reláció alapján átírhatunk:

H_trans=X

i

~ωi(a^†_iai+ 1/2).

Ezen pont kiemelése miatt nem vontuk össze korábban a klasszikusan megegyez®α^∗_iαiés αiα^∗_i tagokat.

Most már vizsgálhatjuk a teljes mez®, azaz az összes módus együttes állapotterét. A mez®

állapottere az egyes módusokhoz tartozó állapotterek tenzorszorzata:

H_mez®=H1⊗ H2⊗. . .

Egy lehetséges ortonormált bázis mindenH_i-ben a számállapotok rendszere, amelyet az el®z® fejezetben alkalmazott eljárással minden módusra bevezethetünk. ÍgyH_mez®egy lehetséges bázisa a fotonszám bázis:

{|n1i|n2i. . .|nii. . .}=:|n1, n2, . . . ni, . . .i.

(26)

A számállapotok bázist alkotnak

A mez® vákuumállapota deníció szerint az a|0i-val jelölt állapot, amelyben minden módusrani= 0, ekkor azt mondhatjuk, hogy a mez®ben nincs foton. A fotonszám bázisvektorok a vákuumból aza^†_i operátorok ismételt alkalmazásával nyerhet®k:

|n1, n2, . . . ni. . .i= (a1†)ⁿ¹

√n1! . . .(ai†)ⁿⁱ

√ni! . . .|0i.

Az|n₁, . . . ni. . .iállapot, amely a teljes fotonszám operátorN=P

inˆi=P

iai†ai

sajátállapotaP

inisajátértékkel, olyan állapot ahol az i-edik módusbannifoton van.

A mez® tetsz®leges állapota ezen bázisvektorok lineáris kombinációja.

Ebben az állapotban a mez® energiája pontosanP

i~ωi(ni+ 1/2), impulzusa P

i~ki(ni+ 1/2).

A mez® egy általános állapota, ahol a fotonszám nincs föltétlenül meghatározva:

|Ψi=

∞

X

n₁=0

∞

X

n₂=0

· · ·

∞

X

n_i=0

. . . cn1,n2,...ni,...|n₁, n2, . . . ni, . . .i.

(27)

Általános egyfotonos állapotok

Ha egyetlen módusban pl. az`-edikben van egy foton, akkor annak alakja

|0,0, . . .0, n`= 1,0, . . .i.Azonban világos, hogy tekinthetjük ilyen állapotok tetsz®leges szuperpozícióját, amelynek alakja

|1i=X

`

c`|0,0, . . .0, n`= 1,0, . . .i=X

`

c`|1_`i,

aholP

`

|c`|²= 1.Ezek az állapotok 1 sajátértékkel sajátállapotai az N=X

`

a⁺_`a_`=X

`

ˆ n_`

operátornak, ezért ezeket általános egyfotonos állapotoknak nevezzük. Ezek nem sajátállapotai az egyesˆn`operátoroknak, mivelˆn`|1i=c`|0,0, . . .0, n`= 1,0, . . .iazaz nem kapjuk vissza az eredetiP

`

c`|1`iállapot számszorosát, csak annak vetületét a`-edik módusra. Különböz® módusuk általában különböz® frekvenciájúak, s így az összegben minden tag a sajátω`körfrekvenciájával változik id®ben, így ezek összege nem stacionárius.

Egy sokmódusú mez® általános egyfotonos állapotának id®függése tehát:

|1(t)i=X

`

c`e^−iω^`^t|0,0, . . .0, n`= 1,0, . . .i.

(28)

Ellen®rz® kérdések

1 Milyen matematikai eljárással vezetjük be a reciprok tér fogalmát?

2 Mit mond ki a Parseval-Plancherel tétel?

3 Két Fourier-transzformált szorzatának mi az inverz transzformáltja?

4 Mi a Coulomb-törvény alakja a reciprok térben?

5 Mi a Faraday-féle indukciós törvény alakja a reciprok térben?

6 Hogyan bontunk föl egy vektormez®t transzverzális és longitudinális részre?

7 Milyen tagokból tev®dik össze a mez® és a töltések együttes energiája?

8 Milyen adatok határozzák meg a mez® és a töltések együttes állapotát?

9 Mik a mez® normálkoordinátái és milyen mozgásegyenletnek tesznek eleget?

10 Hogyan térünk át diszkrét változókra?

11 A kvantálás után hogyan adhatók meg a szabad mez® stacionárius állapotai?

12 Hogyan deniáljuk az általános egyfotonos állapotokat?

Kvantumelektrodinamika és Kvantumoptika