Kvantumelektrodinamika és Kvantumoptika 1. ELŽADÁS Bevezetés Benedict Mihály

„Ágazati felkészítés a hazai ELI projekttel összefüggő képzési és K+F feladatokra ”

TÁMOP-4.1.1.C-12/1/KONV-2012-0005 projekt

Kvantumelektrodinamika és Kvantumoptika

1. ELŽADÁS Bevezetés Benedict Mihály

SZTE TTIK Elméleti Fizikai Tanszék, Szeged, 2015

Tartalom

1 Tartalom

2 Bevezetés

3 A kett®s természet gondolatának kifejl®dése

4 Problémák

5 Mégis a kvantumelektrodinamikai leírás a helyes

6 A tananyag fölépítésér®l

7 Ellen®rz® kérdések

Bevezetés

Kvantumoptikának a kvantumelektrodinamika azon részét szokták nevezni, amely az elektromágneses mez® kvantumos tulajdonságait gyelembe veszi, de a vizsgált mez® frekvenciája a látható tartományba, vagy ahhoz közeli

tartományokba esik, tehát a megfelel® fotonenergia sokkal kisebb mint az elektron nyugalmi energiája.

Ennek következtében a töltések mozgását elegend® a nemrelativisztikus kvantummechanika segítségével leírni, nem szükséges pl. az elektronokat is egy mez® kvantumainak tekinteni, azaz nem használjuk az úgynevezett másodkvantált formalizmust.

Newton, Huyghens, Young, Fresnel

Az elektromágneses mez®, illetve a fény természetének problémája a zika egyik nagyon régi kérdése.

17. században Newton és Huyghens egymással szemben álló álláspontja:

↔

Newtonra mint a korpuszkuláris elmélet képvisel®re szokás tekinteni, Huyghens akinek a nevéhez a fényelhajlás ma is érvényes legegyszer¶bb magyarázata f¶z®dik a hullámtermészet mellett érvelt.

Newton, Huyghens, Young, Fresnel

A hullámtermészet további er®s bizo- nyítéka volt T. Young 1807-ben publi- kált jól ismert kétréses interferenciakí- sérlete,

Animáció:

Ezen a gif animáción a Young-féle kétréses kísérletet követhetjük nyomon Gauss-alakú hullámcsomag esetén.

http://www.embd.be/quantummechanics/movies/qmb5.gif

Newton, Huyghens, Young, Fresnel

J. Fresnel 1818-ban a Francia Akadémia pályáza- tára benyújtott tanulmányában ismertetett kísér- letei a hullámelméletet igazolták.

Az elhajlásra és az interferenciára vonatkozó meg- gyeléseket Fresnel részletes matematikai számítá- sokkal is alátámasztotta.

A. S. Eddington már a 20. században megjegyez- te: Fresnel hullámelméleti modelljének mai szem- mel egyedül az a hiányosság róható föl, hogy nem tudta megnevezni a hullámzani ige alanyát.

Poisson folt, Fresnel és Arago kísérletei

Fresnel pályázatának egyik bírálója, S. D. Poisson a fény részecske természetének híve arra a következtetés- re jutott, hogy ha Fresnel elmélete helyes, akkor egy ko- rong alakú átlátszatlan erny® mögött, az árnyék közepén, az elhajlás következtében egy világos foltnak kellene lát- szani, amit lehetetlennek gondolt, és így a pályamunkát hibásnak ítélte.

A bizottság elnöke, F. Arago ténylegesen is elvégezte a kísérletet és meggyelte az azóta Poisson foltnak, (néha Arago foltnak is) nevezett világos foltot.

Ennek a kísérletnek a nyomán Fresnel elnyerte a pálya- díjat és végérvényesnek látszott a fény hullámtermészeté- nek bizonyítottsága. Ugyanebb®l az id®b®l származnak Fresnel és Arago kísérletei a fény polarizációjára vonatko- zóan, ami szintén a fény hullámtermészetét és azon belül annak transzverzális voltát bizonyította.

S. Poisson

F. Arago

Maxwell elmélete

A 19. század második felében a hullámelméletetJ. C. Maxwell elektrodinamikájakoronázta meg.

Fölismerte hogy az elektromos mez® id®- beli változása is egyfajta áramként és ezál- tal a mágneses mez® forrásaként m¶ködik.

Maxwell tisztán matematikai eszközökkel levezette az elektromágneses hullámok lé- tezésének szükségességét, és a kísérletek számszer¶ adataival való összehasonlítás- ból arra következtetett, hogy a hullámok sebessége megegyezik az akkor már régóta megmért fénysebesség értékével.

Kézenfekv® volt ezután Maxwell következ- tetése: a fényhullám valójában az elektro- mágneses mez® hullámzása.

Hertz kísérletei

Maxwell elméletének meger®sítése: H. Hertz kísérletei Hertz egy elektromos dipólus rezgései-

vel keltett elektromágneses hullámokat és meggyelte azoknak a Maxwell elméleté- b®l következ® tulajdonságait.

Világossá vált, hogya látható fény csupán frekvenciájában(és így hullámhosszában) különbözik a Hertz féle dipólus által kel- tett hullámoktól.

Ma már tudjuk, hogy a látható tarto- mánybeli mez®t is rezg® dipólusok keltik, amelyek az atomban található pozitív töl- tés¶ magok, és a hozzájuk képest mozgó elektronok mozgásából származnak.

Az üregsugárzás spektrumának problémája

A hullámtermészet mellett szóló bizo- nyítékok egyértelm¶nek látszottak egé- szen a 19. század utolsó évéig.

Ekkor Berlinben két laboratóriumban is megmérték egy fölhevített fémtest bel- sejében található üregb®l kibocsátott sugárzás spektrumának frekvencia sze- rinti eloszlását, illetve ennek a h®mér- séklett®l való függését.

A kapott mérési görbe elméleti értelmezésére történt próbálkozások eleinte nem vezettek sikerre.

Animáció:

Ezen a java animáción a fekete test által kibocsátott sugárzás spektrumának h®mérsékletfüggését tanulmányozhatjuk.

http://webphysics.davidson.edu/Applets/BlackBody/BlackBody.html

Az üregsugárzás spektrumának problémája

W. Wien termodinamikai meggondolásai csak a spektrum rövidhullámú részét tudták magyarázni.

A Lord Rayleigh és J. Jeans által levezetett képlet a hosszúhullámú részre adott a kísérletekkel egyez®

magyarázatot.

Rayleigh és Jeans az üregben kialakuló állóhullámo- kat egy-egy oszcillátornak tekintette, majd föltételez- ték, hogy ezek az üreg falávalTh®mérsékleten termikus egyensúlyban vannak. Mint ismert egy sok klasszikus oszcillátorból álló rendszer esetén egy oszcillátorra ek- kor átlagosan kBT energia jut.

Ám az oszcillátorok száma nem korlátos, így a számított teljes energia divergálni látszott.

Lord Rayleigh

Sir James Jeans

A Planck-törvény

1900-ban M. Planck el®bb a Wien és a Rayleigh-Jeans-féle képletek

interpolációjának próbálgatásával egy olyan formulát talált, amely pontosan megadtaa spektrum kísérletileg mért alakját.

Ezt követ®en egy teljesen új elv alapján sikerült a megtalált képletet korrektül is levezetnie.

Az új elv szerint a rezgési módusok az üreg fa- lától az energiát csak meghatározott adagokban, kvantumokban vehetik fölés adhatják le, ennek az energiakvantumnak a nagysága ε =hν-nek meg- felel®en arányos a módus ν frekvenciájával. Az arányossági tényez® a hPlanck állandó, melynek értékét Planck a kísérleti görbével való összeha- sonlítással meg tudta határozni.

Az adagosságból az következik, hogy nagy frek- vencia esetén, amikor a kvantum energiája össze- mérhet®vé válik a kBT termikus átlaggal, a klasszikus ekvipartíció tétel érvényét veszti.

Einstein fotonhipotézise

Érdekes módon, ez nem változtatta meg Planck véleményét arról, hogy a mez® szigorúan véve hullámtermészet¶, és sokáig vitatta Einstein öt évvel kés®bbi következtetését, aki a fotoeektus értelmezéséhez bevezette a fénykvantum fogalmát.

Einstein a ν frekvenciájú monokromatikus hul- lámot fénykvantumok összességének tekintette, amelyek egyenként ε = hν =~ω energiát és en- nek egy nulla nyugalmi tömeg esetén megfelel®

p = ~ω/c = ~k nagyságú impulzust hordoznak.

Ezeket a részecskéket nevezzük ma fotonnak.

Megjegyzés: Az elnevezés jóval kés®bbr®l 1926- ból származik, és a névadó G. Lewis ziko-kémikus nem is az Einstein-féle fénykvantumot értette a foton név kapcsán.

A Compton eektus a részecske természet mellett

A mez® részecske-természete melletti további er®s érvnek szokás tekinteni a Compton eektust.

Ennél az elektronon szóródó elektromágneses hullám (röntgen-sugárzás) frekvenciaváltozá- sát illetve annak kapcsolatát a szórási szöggel avval a föltételezéssel a legegyszer¶bb ma- gyarázni, hogy a sugárzás~ωenergiájú és~k impulzusú golyók sokaságaként viselkedik.

Animáció:

Tanulmányozzuk a Compton-eektust a bal oldali linken találha- tó java animációval, és válaszoljuk meg az ottani tesztkérdéseket.

http://physics.bu.edu/~duffy/semester2/c35_compton.html

A fény kett®s természetének jellege

A fönti tapasztalatok nyomán az a kép vált elfogadottá a zikusok között, hogy a fény illetve általában az elektromágneses mez® a szokásos klasszikus zikai fogalmakkal nem írható le, hanem egy sajátos entitás, amelyr®l ha mégis mint klasszikusan megérthet® objektumról akarunk beszélni, a legegyszer¶bb, ha azt mondjuk, hogy kett®s természet¶, aterjedését hullámegyenletek megoldásaival lehet leírni, az atomos anyaggal való kölcsönhatásakorviszont a részecske jellege lép el®térbe.

Minden anyag kett®s természet¶

A kett®s természet gondolatát még inkább alátá- masztotta a L. de Broglie által fölvetett javaslat, hogy az olyan kicsiny, de nem nulla tömeg¶ ob- jektumok, mint az elektron amelynél eredetileg ilyen kett®sség föl sem merült a mozgásuk során bizonyos értelemben maguk is hullámtulajdonsá- gokat mutat.

Minthogy ezt az elgondolást a kísérletek is bizo- nyították, majd a Schrödinger-féle kvantumme- chanika egy pontos matematikai elmélettel is alá- támasztotta, az elektron kett®s természetére vo- natkozó elgondolás is teljesen elfogadottá vált, s ez sokak szemében eltüntette a fény kett®s termé- szetével kapcsolatos kételyeket is.

A mez® kvantálásának matematikai eljárásáról

A kett®s természet igazi matematikai megfogal- mazása, a mez®t leíró térmennyiségek operáto- rosítása sem váratott magára sokáig. P. Dirac 1927-ben fogalmazta meg a mez® kvantálásának módszerét, amelyet kés®bb W. Heisenberg, W. Pa- uli, P. Jordan majd V. Weisskopf és Wigner Jen®

munkái követtek az 1930-as évek körül.

Ezt az eljárást fogjuk követni mi is.

Kérd®jelek a mez® kvantálását illet®en

Kevéssé ismert, hogy a fönti meggy®z®nek látszó tények ellenére a 20. század során több neves zikus kifejezte azt a nézetét, hogy a foton illetve a mez®

kvantálásának szükségessége nincs eldöntve.

Említettük már, hogy maga Planck is sokáig ellenezte Einstein fotonhipotézisét.

A mez® kvantálása elleni érvek a következ®k:

Az indukált és a spontán emisszió magyarázatához elegend® az atomi nívók diszkrét szerkezete.

Amit a vákuum uktuációnak tulajdonítunk, azt valójában az összes létez®

forrás töltéseloszlásának véletlen változása okozza.

A Compton eektus a mez® hullámtermészetével is magyarázható (Klein- Nishina elmélet)

A fotoeektus törvényei is magyarázhatók a félklasszikus elmélettel.

Az indukált emisszióhoz nem kell a mez®t kvantálni

A Planck törvénynél az üreg sugárzása az üreg falában található atomok gerjesztése nyomán keletkezik, így a kvantálás el®tt meg kell vizsgálnunk magának a fénykibocsátásnak a mechanizmusát.

Ez azonban megtehet® a félklasszikus elmélet segítségével is, csak annyit kell föltennünk, hogy az atomban diszkrét nívók vannak és ekkor a mez®

kvantálása nélkül is kiszámítható két atomi nívó között a mez® hatására létrejöv® átmenet, abszorpció vagy indukált emisszió id®egységre es®

valószín¶sége az Einstein féle B együttható.

Nemdegenerált nívópárok esetén a kétfajta ráta megegyezik és értéke:

B= π 3ε₀

|d21|²

~²

ahol a~kizárólag az atomi állapotokra vonatkozó Schrödinger-egyenlet következtében jelenik meg, ésd₂₁az átmeneti dipólmátrixelem szintén csak az atomra jellemz® adat.

Adott atom esetén a spontán emissziót a világ többi töltésének uktuációs tere okozza

A szokásos félklasszikus elmélet nem magyarázza a vákuumban is jelentkez®

spontán emissziót, mert aszerint, ha nincs mez®, akkor átmenet sincs.

Úgy viszont az Einstein-féleAegyüttható szigorú- an 0 lenne, s ekkor az ismert Einstein-féle levezetés nem adná vissza a Planck-törvényt.

A kvantumoptika a spontán emissziót többek kö- zött az elektromágneses vákuum kvantumos uk- tuációival, azaz implicite a mez® kvantált jellegé- vel magyarázza, de elképzelhet® más magyarázat is.

Elgondolható, hogy amit a vákuum uktuációnak tulajdonítunk, azt valójában az összes létez® for- rás töltéseloszlásának véletlen változása okozza, ez E. Jaynes elmélete.

A spontán emisszió mint súrlódásos folyamat

A spontán emissziót egyszer¶en az energiának az egyetlen kitüntetett

szabadsági fokról (atom) a sok szabadsági fokkal rendelkez® másik objektumra (mez®) való átadásából származik, ami mindennapos tapasztalat pl. a

súrlódásos folyamatoknál, függetlenül attól, hogy ez a környezet diszkrét adagokban vagy folytonosan képes átvenni az energiát.

A Compton eektus tisztán a hullámelmélettel is magyarázható

A Compton eektust illet®en az elemi levezetésen túl ismert annak az O.

Klein és Y. Nishina által adott értelmezése is, amely szerint ott egy klasszikus elektromágneses hullám szóródik egy elektronon, amely gyorsulása révén egy másodlagos hullámot kelt. Ennek a hullámelméleti frekvenciaeltolódása összhangban van a "golyómodellel" kapható eredménnyel, de valójában ennél a levezetésnél nem kell föltétlenül a mez® kvantumos szerkezetére hivatkozni.

A fotoeektus tulajdonságai a félklasszikus elméletb®l is következnek

A fotoeektusnál a klasszikus mez®t tartalmazó kölcsönhatási energiával számolt id®függ® perturbációszámítás eredményeképpen az átmeneti rátát (az id®egységre es® átmeneti valószín¶séget) aFermi-féle aranyszabály:

w_{f i}= (2π/~)| hf|H_int|ii |²δ(ε_f−ε_i−~ω) szolgáltatja, amely at1/ωesetben érvényes.

Optikai terek esetében viszont, aholω= 10¹⁵/s, ez utóbbi minden gyakorlati esetben teljesül, azaz az elektron kibocsátás ezen elmélet szerint is lényegében késedelem nélkül történik.

Aδ függvény argumentuma, amelybenε_f a végs® szabad elektron állapotnak a folytonos spektrumba es® energiája, mígε_i a kötött állapoté, mutatja a fotoelektromos egyenlet érvényességét. Az átmeneti mátrixelem a mez®

amplitúdójával, annak négyzete pedig az intenzitással arányos.

Tehát a fotoeektus minden lényeges tulajdonsága kiadódik a félklasszikus elméletb®l is⇒nincs föltétlenül szükség a mez® kvantálására.

Mégis a kvantumelektrodinamikai leírás a helyes

Az optikai frekvenciával változó mez® vizsgálata mind kísérleti mind elméleti szempontból új lendületet kapott alézerek fölfedezésével1960-ban.

Azt nem sokkal kés®bb követték R. Glaubernek az optikai koherencia kvan- tumelméletére vonatkozó munkái 1963-ban, amelyet 2005-ben Nobel díjjal ismertek el, és számos újabb szép kísérleti eredmény, amelyek alapján a fotonok léte ma már mégsem vonható kétségbe.

Emellett szólnak azok a még az 1950-es években Jánossy Lajos által kezde- ményezett és kés®bb mások által (Clauser, Grangier) nagyon nagy pontos- sággal megismételt kísérletek, amelyek a foton oszthatatlanságát mutatták egy félig átereszt® tükrön való áthaladáskor.

Ugyancsak a mez® kvantálásának a szükségességét bizonyította a megfelel®

körülmények között létrejöv® úgynevezett fotonritkulás jelensége

A rezonátoros kvantumelektrodinamikai kísérletek a mez®

diszkrét szerkezetét igazolják

Egy további nagyon szép, a foton létezését igazoló kísér- leti eredmény (1996) az egymódusú üregen áthaladó, az- zal rezonáns kölcsönhatásba lép® atomok két állapotának betöltöttségében jelentkez® Rabi oszcillációk frekvenciájá- nak diszkrét volta, amiért S. Haroche érdemelte ki a Nobel díjat 2012-ben.

Éppen ez volt az egyik pont, amelynél Jaynes és munka- társa Cummings 1963-ban rámutattak a klasszikus illet- ve a kvantumos mez® által szolgáltatott eredmények kü- lönböz®ségére és az akkoriban teljesen elképzelhetetlennek gondolt kísérletek elvégzésének szükségességére.

Mindezek az elméleti és kísérleti eredmények tehát meger®sítették a fény kett®s természetének koncepcióját, amit a kvantumtérelmélet önt matematikai alakba.

A tananyag fölépítésér®l

A következ®kben a mez® kvantálásának egyik lehetséges útját járva el®- ször bevezetjük a foton fogalmát el®bb egyetlen modell módusra majd egy tetsz®leges sokmódusú mez®re.

Áttekintjük a mez® néhány fontos speciális kvantumállapotát és azok meg- adásának különböz® módjait.

Tárgyaljuk az interferencia jelenségének kvantumos értelmezését és a kvan- tumoptikában nagyon fontos eszköznek bizonyult nyalábosztóval kapcso- latos tényeket.

Ezután áttérünk az egyetlen atom és egyetlen kvantumos módus kölcsön- hatásának alapvet® tulajdonságaira és az azokat bizonyító Nobel-díjjal ju- talmazott kísérletek ismertetésére.

Végezetül három kísérletileg is meggyelt jelenséget ismertetünk, ami az elektromágneses vákuum létezésével, illetve annak az atomokra vagy akár makroszkópikus testekre kifejtett hatásával magyarázható. Ezek a spontán emisszió, a Lamb-féle eltolódás és a Casimir-eektus.

Ellen®rz® kérdések

1 Milyen kísérleti bizonyítékok szóltak a fény hullámtermészete mellett?

2 Hogyan következett Maxwell elméletéb®l a fény hullámtermészete, és mi- lyen kísérlet látszott azt ennek kapcsán bizonyítani?

3 Milyen kísérleti eredmények látszottak a fény részecske-természete mellett szólni?

4 Mik az elemi fotonképhez mint részecskéhez tartozó zikai mennyiségek értékei?

5 Milyen kísérletek alapozták meg a foton mint oszthatatlan objektum fo- galmát?

6 Fogalmazzuk meg röviden a fény kett®s természetének mibenlétét.