..,
MEGJEGYZÉSEK AZ ÉVES FEJLÓDESI UTEM SZÁMlTÁSl MÓDSZEREHEZ
OSVÁTH [LAJOS
A gazdálkodás tavalyi (1979. évi) eredményeire feltételezhetően a szokásosnál is nagyobb mértékben hatottak a megelőző, az 1978. évi gazdasági folyamatok. A két év közötti erőteljes kölcsönhatás a teljesítés adatainak egyszerű áttekintésével
is több területen valószínűsíthető. Elegendő, ha utalunk
— a készletek 1978. évi nagyon jelentős és 1979. évi kis mértékű növekedése,
— a nem rubel elszámolású import 1978. évi erőteljes növekedése és 1979. évi csökke—
nése.
— a nem rubel elszámolású export 1978. évi stagnálása és 1979. évi gyors bővülése közötti. nyilvánvalónak tűnő összefüggésekre.
Bár a két esztendő gazdasági folyamatai között erős a kölcsönhatás, természe- tes, hogy az 1979. évi eredményekben nem csak ez jelenik meg. Meghatározó je- lentősége van a gazdaságpolitikai gyakorlat 1979—ben érvényesített korrekciójának, az ezzel összefüggésben hozott intézkedéseknek. a gazdasági szabályzók módosí-
tásának.
A véleményalkotáshoz szükséges volt, hogy vizsgáljuk a két esztendő, tehát 1978 és 1979 együttes teljesítményét, többek között megállapítsuk a két év együt—
tes gazdasági fejlődését jellemző mutatószámok átlagos értékét.
A KlEGYENLlTETT NÓVEKEDÉSI UTEM
A gyakorlatban a fejlődés ütemét általában az átlagos relatív változással (Cl-1).
vagyis (: láncviszonyszámok (éves fejlődési együtthatók) mértani átlagával jellemez- zük. Az átlagos relatív változás mértéke arra ad választ, hogy a vizsgált utolsó év teljesítését a bázisév szintjéről indulva milyen egyenletes ütemű fejlődés révén lehet elérni.
Ez a mutató csak akkor jellemzi a valóságnak megfelelően a teljes időszak fo- lyamatait. ha a két végpont között valóban egyenletes (egyenletesen növekvő vagy csökkenő) a fejlődés, vagy ha az időszakhoz tartozó éveknek ettől az egyenletes fej-
lődési ütemtől való eltérései kiegyenlítik egymást. A vizsgált időszakot azonban -
egy sor vonatkozásban — éppenhogy nem az egyenletes fejlődés jellemezte. Az át- lagos relativ változás minden esetben. amikor az 1978. évi csökkenést vagy növe-kedést 1979—ben ellenkező irányú fejlődés követte, kifejezetten félrevezető értéke—
lést adott (például a bruttó és a nettó felhalmozás, az összes belföldi felhasználás vagy a nem rubel elszámolású import tekintetében).
A probléma illusztrálására vizsgáljuk meg a nem rubel elszámolású importot.
A vonatkozó adatok:
— teljesítés: 1977-ben 133.4 milliárd, 1978-ban 154,7 milliárd. 1979-ben 140.4 milliárd forint;
—az éves fejlődési együtthatók (az előző évhez viszonyítva): 1978-ban 1.1597; 1979-ben 0.9082:
—— az átlagos relatív változás mértéke:
41 : VÚí97—o.9082 :: 1.0263.
Való igaz, hogy az 1979. évi importhoz évi 263 százalékos növekedés mellett
is el lehetett volna jutni, hiszen l3.'3s,4-1,02632 : 1405. Ebben az esetben azonbana két év együttes importja 133.4 (1.0263-l—1.O2632) : 277.4 milliárd forint lett volna.
a valóságos 154,7—i—140,5 : 2952 milliárd forint helyett. A relatív változás muta—
tója tehát alulértékelte a tényleges folyamatot.
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a két évet együttesen vizsgálva a folya- matokat jobban jellemző mutatót nyerünk, ha azt a növekedési ütemet számítjuk ki, amely mellett — egyenletes fejlődés esetén —— az 1977. évi bázisról indulva, az 1978—1979-ben ténylegesen megvalósult importvolumen jött volna létre. Ezt a mu—
tatót a kiegyenlített növekedési ütem mutatójának (612) nevezzük.
Kétéves időszak esetén nem jelent gondot a mutató kiszámítása: az : 1.0694.
Szembetűnő az átlagos relatív változás (91 : 1.0263) ehhez viszonyított eltérése.
Nem igényel külön bizonyítást, hogy a folyamat közgazdasági tartalmát nem az át- lagos relatív változás. hanem a kiegyenlített növekedés fejezi ki.
Az ötéves tervek kidolgozásakor általában (természetesen nem törvényszerűen minden esetben, illetve minden részfolyamatban) egyenletes fejlődést feltételezünk.
A szükségszerűen jelentkező eltéréseket nem tudjuk (és legtöbbször nem is szük—
séges) prognosztizálni, illetve szimulálni. A tervek teljesítésénél azonban az egyen—
letes fejlődés vagy az egyes évek eltéréseinek a vizsgált időszakon belüli kiegyen- lítődése csak véletlenszerűen fordul elő. ily módon erre is érvényes megállapítás.
hogy a végpontok összemérésével számított növekedési ütem tulajdonképpen so- hasem mutatja meg pontosan a vizsgált időszak fejlődését. Az idősor első és utolsó adatára támaszkodó számítási mód esetén a fejlődés átlagos üteme (mértéke) füg—
getlen attól, hogy az idősor hogyan alakult. így, ha az időszakon belül jelentős in- gadozások voltak, az átlagos növekedési ütem a fejlődés folyamatát nem jellemzi
megfelelően.
Abban az esetben például, ha a folyamat növekedési üteme az időszak végén mérséklődik az időszak elejéhez képest. az átlagos növekedési ütem ,.alulbecsüli"
a folyamatot. (Az átlagos növekedési ütemmel időpontonként végigszorozva a bé- zisidő értékét, a számított értékek összege kisebb a tényleges értékek összegénél, jóllehet' az időszak végpontjára kapott számított érték megegyezik a ténylegessel.) Abban az esetben viszont, ha a növekedés az időszak végén felgyorsul, az át- lagos növekedési ütem ,.túlbecsüli" a folyamatot. (Az átlagos növekedési ütemmel felszorozva a bázisidőpont értékét. a számított értékek összege nagyobb a tényle—
ges értékek összegénél.)
A mértani átlag szerint számolva, az egész időszak értékösszege csak vélet—
lenszerűen egyezik meg a tényleges értékösszeggel. attól — az időszak belsejében lejátszódó ingadozások függvényében —— általában kisebb-nagyobb mértékben el- tér. Az eltérések különösen akkor jelentősek, ha az időszakon belül nagymértékű
növekedések és csökkenések váltják egymást.
.
998 OSVÁTH LAJOS
Megvizsgáltuk, hogy a népgazdaság 1976—1979. évi főbb folyamatai hogyan
minősülnek az átlagos relatív változás szerinti, illetve a kiegyenlített növekedési ütem alkalmazása esetén.A két módszerrel számított érték egy sor esetben közel áll egymáshoz. bár 50-
hasem esik egybe, több esetben viszont eléggé jelentős az eltérés. Az átlagos re—
latív változás mellett adódó és a tényleges volumenek. illetve a két növekedési ütem
közötti különbség különösen számottevő a bruttó és a nettó felhalmozás, a belföl—di felhasználás. a készletállomány, valamint az import adatai esetében.
1. tábla A főbb népgazdasági folyamatok alakulása a két módszer szerint
(1976—1979.)
A 6 k d' ' .. .
l l éves.-illet? 0 es Novekmeny Eltérés
Mutatószám ; 01 l (42 l 42 százglév
l szerint (százalék) lszerint (milliárd forint) kában
l
Bruttó felhalmozás . . , 2.8 5,4 51,7 1032 49,9
Nettó felhalmozás . . . ——0,2 4,1 ..2,3 499 --104,6
Belföldi felhasználás a nettó nemzeti
termelésből . 2.6 3,5 151.0 'l72,9 12.7
Készletállomány 4.8 5,5 206.5 239,3 13.7
Rubel elszámolású import 3.9 2.6 459 305 ——50,5
Dollár elszámolású import 67 9,7 154,7 116,2 33,1
* Alul- (——), illetve felülértékelés.
A népgazdasági tervek előirányzatai általában a tervidőszakra előirányzott bruttó teljesítés adatait tartalmazzák, érdemben azonban tulajdonképpen a bázis- időszakhoz képest elérni kívánt növekedést fogalmazzák meg. Az 1. táblában ezt a növekedést 1976—1979. évi tényszámként a ,,növekmény" "oszlop tartalmazza. Lát- ható. hogy a hagyományosan számitott növekedési ütem mellett nyert növekmény
milyen nagy mértékben tér el a ténylegestől.
A KlEGYENLlTETT NUVEKEDÉSI UTEM KlSZÁMlTÁSA
Azt kell meghatározni. hogy egyenletes növekedési ütem mellett melyik az a (;
érték, amely az éves teljesítések tényleges összegét adja.
Matematikailag megfogalmazva az adott évek tényleges adata legyen:
00, 01, 02, . . . , an
a—hol:
ao - a bázisérték,
ai. az, 03 an- az időszak 1.. 2., 3., ..., n-ik időpontjához tartozó tényleges értékek.
Keressük azt a a növekedési együtthatót. amelyre igaz
S : ao(a—l—a2—l— %a") : ai—l—ag—l— 4—0"
ahol:
5 — az időszak tényleges értékeinek összege.
Vagyis a-ra n—ed fokú egyenletet kell megoldani:
f(a) : (www—Ur %mljo): o
Az egyenlet megoldása után kapott gyökök közül csak egy lehet pozitív értékű.
ugyanis an—l—a""—l— —l— a monoton növekvő függvény, mivel a ) 0. Ez a pozitív
értékű a gyök adja meg a fejlődési együttható értékét.Négy évnél több adat esetén harmadfokúnól magasabb egyenletet kapunk.
melyet a Newton—féle iterációs módszerrel oldhatunk meg. A gyakorlati alkalmazás szempontjából azonban lényegesen egyszerűbb, ha az egyenletet a
utat?-uja" ; 3—
Go
formára alakítjuk út, s olyan táblázatot készítünk, amely az S/ao értékeket adja meg különböző növekedési ütemek (a) és különböző számú évek (n) mellett. Teljesen elegendőnek látszik, ha a táblázat a a : 0.85—1,15, illetve az n : 2—15 tartomá—
nyokra kiszámított értékeket tartalmazza.
Először a tényadatok alapján megállapítjuk az S/ao értéket, majd az időszak éveinek megfelelő sorban megkeressük (: hozzá legközelebb álló értéket. Ennek osz- lopa felett van a megfelelő kiegyenlített növekedési ütem, százalékban. Amennyi—
ben szükséges, a második tizedesjegyet interpolólóssal (aranyos osztással) ható-
rozzuk meg. ' -
2. tábla
Részlet a kiegyenlített növekedési ütem táblázataiból
Az éves klegyenlített növekedési ütem (százalék) Év
106,5 [ 106,6 ! 106.7 ] 106,8 ] 10ó,9 2.1992 22023 22054 22086 2.2117 3.4071 3.4137 3.4202 3.4268 3,4333 4.6936 4.7050 4.7164 4.7278 4,7393 6.0637 6.0815 6.0994 6.1173 6.1352 7.5228 7.5489 7,5750 7.6013 7.6276 9.0768 9,1131 9,1496 9.1861 9.2229 10.7318 10.7806 10,829ó 10.8788 109283 124944 125581 126222 126868 12.7513 14,3715 14,4529 14.5349 14.6173 14.7002 .OÉOPOF'PNP'P'PN
d
Példa: az 1970—1975. években a gazdasági folyamat alakulását a következő
adatok jellemezték.Az 1970—1975. éveket jellemző adatok
Év Milliárd forint
1970. (00) . . . . . . . . . 789
1971. (01) . . . . . . . . . 1025
1972. (az) . . . . . . . . . 803
1973. (03) . . . . . . . . . 77,7
1974. (04) . . ; . . . . . . 1042
1975. (05). . . . . . . . .116,2
1000 OSVÁTH LAJOS
A vizsgálandó időszakban. az 1971—1975. években összesen (ai—l-az—l—ay'rarl—
—l-a5 : 5) 481.7 milliárd forint volt a kumulált tényleges érték. Az adatok alapján a kiegyenlített éves növekedési ütem:
5 __ 481.7
_ x ,151
a.O 78,9 6 O
—- A 6.1051—es értéke az 5 évnek megfelelő sorban a 60994 és a 6.1173 közé:
esik. A 6.0994-hez 106,7 százalék. a 6.1173-hoz 106,8 százalék tartozik.
—— A 6.1051 közelebb van a 6.0994-hez (6,1051-6.0994 : 0,0057; Ó,1173—- 6.1051 : 00122), így a kiegyenlített éves növekedési ütem 6.7 százalék.
— Pontosabb meghatározás esetén:
(6.1051—6,0994): (6,1'l73—6.0994) : 0.0057: 0.179 : 0.3184 vagyis a kiegyenlített éves növekedési ütem két tizedesre 6.73 százalék.
Összehasonlítósul megadom (mértani átlagot számítva) az átlagos relativ vól—
tozós növekedési ütemét:
s —— , s _ *
Vas : VW? aV1,4727 : 1,oso5
GO 78,9
ami 8.1 százalékos évi átlagos növekedést jelent.
A két növekedési ütembőladódó eltérést. valamint az átlagos relativ valtozas mutatójának a korábban említett torzitó hatósót jól szemlélteti. ha a bózisértéket évenként felszorozzuk a kiegyenlített és az atlagos növekedési ütemmel. Ennek alap- ján a következő idősorokat kapjuk.
3. tábla
A növekedési ütemekből adódó idősorok
(milliárd forint)
Kiegyenlített Átlagos
É ___—___ __ W,
v növekedési ütem esetén
1971 . . . . . . . 84.2 85.3
1972 . . . . . . . 899 92,2
1973 . . . . . . . 959 99.15
1974 . . . . . . . 102.4 107.5
1975 . . . . . . . 109,3 116.2
Összesen . 481,7 1 500,8
A példóban az átlagos relatív vóltozós alapján számítva a folyamat egészére
közel 20 milliárd forinttal magasabb érték adódik, mint a tényleges érték, vagyis
az átlagos relativ növekedési ütem ennyivel ..túlbecsüli" a folyamatot.Szólni kell a munkaigényesség kérdéséről. A hivatkozott példából látható. hogy
a kiegyenlített növekedés mutatószómónak kiszámítása — a vonatkozó táblázat bir-
tokában -— nem igényel nagyobb munkáit. mint amennyit egy logaritmusérték meg-határozása kíván a logaritmustóbla alapján.
Kiegészítésül megjegyzem, hogy a kiegyenlített növekedési ütem a táblázat segítségével abban az esetben is megállapítható. ha valamely időszakra csak a
lánc- vagy csak bázisindexek állnak rendelkezésre. A láncindexekből először a bá- zisindexeket kell meghatározni. majd a bázisindexeket kell ugyanúgy összeadni, mint az abszolút számokat. és az így kapott összeget osztani kell 100-zal. mint bázisér- tékkel. Az eredmény megegyezik az S/ao értékkel, aminek alapján a kiegyenlített
növekedési ütemet a táblázatból kikereshetjük.
A kiegyenlitett növekedési ütem természetéből fakad, hogy az idősor értékeinek együttes összege (5) vagy pozitív, vagy negatív szám. A (; értéke mindkét esetben lehet kisebb is. nagyobb is 1—nél (például a növekvő nyereség és növekvő veszteség esetén a)1; csökkenő nyereség és csökkenő veszteség esetén a(1). A a mindig
pozítív szám.
Különleges esetet jelent. ha az ág és az S előjele nem azonos, aminek követ-
keztében az S/ao—ra negatív értéket kapunk. (Például egy vállalatnak a bázisévben
vesztesége, a vizsgált időszak egészében viszont nyeresége van,) Ilyenkor a fejlődési ütem számítása, bármilyen módszert alkalmaztunk is. problematikussá válik. A kiegyenlített növekedési ütem azonban ebben az esetben is kiszámítható: az idő—sort egy alkalmasan megválasztott értékkel eltoljuk úgy. hogy az ao—ra és az S-re—
azonos előjelű értéket kapjunk. A gazdasági folyamatoknál az ilyen típusú idősorok meglehetősen ritkák. llyen esetekben a növekedési ütem számítása közgazdasági-
lag megfontolandó.
A kiegyenlített növekedési ütem mutatója az ág értéknek kivételezett szerepet juttat. Adott hosszúságú idősor értékeinek meghatározott összege mellett az on ér-
tékétől függ a fejlődési ütem (a) mértéke. Ez a matematikai szempontból kifogásol—
ható tulajdonság teljes összhangban van a tervezés gyakorlatával, ahol az adott tervidőszakot megelőző évnek, az ún. bázisévnek ugyancsak kitüntetett a szerepe.
Az ao—ra számított kiegyenlített növekedési ütem mellett az a,, érték a valósá- gostól eltérő, hipotetikus érték lesz. (Kivéve azt a ritka esetet, amikor a mértani ái-
lag azonos a kiegyenlített növekedési ütemmel.)
A középtávú tervezésnél a bázisév kettős szerepet kap: a következő ötéves terv szempontjából az ao, a befejeződő ötéves terv szempontjából pedig az a,, funk—
cióját tölti be. Ezért indokolt lehet. hogy a befejeződő ötéves tervidőszak növeke- dési ütemét az an—ből kiindulva határozzuk meg. Az ehhez kapcsolódó kérdést — például a hatodik ötéves terv előkészítésénél — a következőképpen tehetjük fel:
mekkora évi átlagos fejlődés mellett jött volna létre az 1980. évi teljesítmény, adott 1976—1980. évi összes teljesítmény mellett.
Ha a kiegyenlített növekedési ütem számításánál nem az (1-0-t, hanem az a,, -t*
rögzítjük, akkor az alábbi egyenletet kell megoldani:
ITMs
Á._í :: o.
19 a,,
A megoldás módszere hasonló, mint amikor az ao érték van rögzítve. Ebben az esetben g-nak monoton csökkenő (nem növekvő) függvénye van.
Legyen cu, ha ao van rögzítve. és az, ha a,, van rögzítve. Három eset lehetséges:
; fli— — 1; EL )1
02 ' 012 (12
Az első esetben a növekedési ütem az időszak végén felgyorsult; a második esetben a növekedési ütem egyenletes, és ekkor a kiegyenlített növekedési ütem megegyezik az átlagos relatív változással; a harmadik esetben a növekedési ütem az időszak végén lelassult.
1002 OSVÁTH: A FEJLÖDÉSI UTEM
Könnyen belátható, hogy az átlagos relativ növekedés
ha —--- : 1, akkor helyesen értékeli,
ha 3 ( 1, akkor túlértékeli,
ha a; ) 1, akkor alulértékeli
a tényleges folyamatokat. A cu/ag hányados tehát alkalmas az átlagos relatív nö—
vekedés (mértani átlag) torzító hatásának számszerűsítésére.
Az előzőkben foglalkoztunk a kiegyenlített növekedési ütem mutatójának álta—
lános érvényűségével. Bemutattuk, hogy a mutatószám minden esetben egyértel- műen értelmezhető, ha a)0. A (740 esetben exponenciális közelítés egyáltalán nem alkalmazható; az átlagos relativ változás (mértani átlag) csak korlátosan ér- telmezhető; a kiegyenlitett növekedési ütem a számsor eltolásával számítható. A mondottakra, valamint arra tekintettel. hogy a (440 eset meglehetősen ritkán for—
dul elő, a módszert általános érvényűnek tekinthetjük.
lRO'DALOM
Karaszev, A.: K voproszü ob iszcsiszlenii szrednegodovüh tempov roszta norodnogo hozjajsztva. Vesztnik ník Sztatísztíkí. 1956. évi 5. sz.
Karaszev, A: K voproszü ob iszcsiszlenii szrednegodovüh tempov roszta norodnoga hozjajsztvo. Veszínik Sztatisztiki, 1949. évi 2. sz.
Köves Pál: A statisztikai mutatószámok közgazdasági tartalmáról és a statisztikai tudomány felépítésé—
ről. Kandidátusi értekezés. 1962. (Kézirat)
PE3lOME
Ha HPBKTMKe TeMnbl paasumn oőbluHo xapakrepusyiorcs OTHOCHTeJ'leblM nemei-lennem cpeAHux, reome'rpmecxoü cpeAHei oruocurenbnux aenwunn. Onuaxo 3107 nonaaarenb rom.- KO B TOM cnyuae xapam'epuayer B coorae'rcrsuu c Aeücramenbnocrbio npoueccsr Bcero ne- puoAa, ecnu paaenme menny ABYMH KpaüHuMn rouxamu nanaercn paBHOMeprlM mm ecnu onnal-reuma omenbnblx ronoa or TeMI'IOB paasumn a pamxax AaHHOI'O nepnoAa ypasHo- aemuaaroT Apyr Apyra. B mux cnyuanx cpem-ree ornocwrensnoe HSMGHGHHe npuaogm K omuőonnoi'r ouenxe.
Aarop Aemoncrpwpyer Taxoü pacue'r remnos pocra, : KoropoM cpurypupyior ne ToanO nem'-muhi ABYX Kpap'mnx MOMeHTOB AGHHOFO nepnoga a npnMeHeHue Koroporo nyreM CYM- muponanm semmmi omenbnbix roncs s more naar Ber oőbeM omocwrenbno nai-mom nepuona. B cnyv—rae pasHoMepi—roro paaam'un momno oraneubca or sem—mun Aayx nom-sza—
reneü, ORHaKO B nporuaononomnoM cnyuae paccmarpuaaemue a crarbe 7. H. BblpaBHeHHble 'reMnu pocra nyuiue xapakrepnayror .nem-mü npouecc.
SUMMARY
The rate of growth is generally characterized in practice with the average relative change, the geometric average of link relatives. However. this indicator characterizes ad- eauately the whole period only if the development between the two extreme points was steady or deviations from the overall rate of growth in certain years of the period complement each other. ln other case the average relatíve change provides false evaluatíon.
The study shows a calculation of the rate of growth where not only the values of the two extreme points of the period are taken into account. but where the sum of the values cal—
culated for each year comes to the total value of the whole period. In the case of steady growth the difference between the two indicators remains negligible. otherwise the so—called balanced rate of growth, discussed in the study, characterizes the process more adeauately.
